2024赣州高二上学期期末考试数学试题

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第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知直线：和：．若，则m的值为（ ）
A. B. 3C. 1或3D. 或3
4. 阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A. 50B. 60C. 125D. 243
5. 设F为抛物线C：的焦点，A为平面内定点，若抛物线C上存在点P使得的最小值为5，则点A可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，为双曲线C：（，）的两个焦点，以为直径的圆与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. “杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《详解九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（ ）
A. 1716B. 924C. 792D. 462
8. 古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9. 关于概率统计，下列说法中正确的是（ ）
A. 两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强
B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
C. 若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56
D. 已知，若，则
10. 在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A. //平面B. 平面//平面
C. ⊥平面D. 平面平面
11. 已知四棱锥的底面为矩形，底面，以为直径的圆交线段于点，若，则（ ）
A. 平面
B. 二面角的平面角为
C. 的面积的最小值为
D. 存在某个位置，使得点到平面的距离为
12. 已知圆：（），这些圆的全体构成集合，则（ ）
A. x轴截圆所得的弦长为2
B. 对任意正整数k，圆内含于圆
C. 任意正实数m，存在，使得圆与直线有交点
D. 存在正实数m，使得A中与直线相交的圆有且仅有2024个
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 展开式中常数项为___________．
14. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为___________．
15. 某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是___________．
16. 已知，为椭圆C：的焦点，过的直线l与C交A，B两点，则的内切圆面积最大值为___________．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据：
并计算得，，．
（1）求变量关于的线性回归方程；
（2）根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级．
参考公式：线性回归方程为，其中以．
18. 已知圆C：，点．
（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；
（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．
19. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；
（2）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
20. 现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
（1）求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
（2）若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
21. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，，．
（1）设平面平面，证明：；
（2）直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面ABG？若存在，确定G的位置并说明理由；
（3）若，，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
22. 已知椭圆C：（）的离心率为，直线l：是椭圆C与圆：的一条公切线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点为椭圆C的一点，直线：交圆于M，N两点，以M，N为切点分别作圆的切线，两条切线交于点Q，证明：为定值．城市编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
x
1.300
1.444
0.786
1.652
1.756
1754
1.200
1.500
1.200
0.908
135
y
66
76
21
170
156
120
72
120
100
129
1030