2023-2024学年海南省儋州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省儋州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 6B. 1 3C. 8D. 12
2.当x=−1时，二次根式 3x+7的值为( )
A. ±2B. 2C. −2D. 2
3.方程x(x+2)=0的根是( )
A. x=2B. x=0
C. x1=0，x2=−2D. x1=0，x2=2
4.如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(2,4)，(1,1)，(3,2)，将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为( )
A. (−3,−2)B. (3,−2)C. (−3,2)D. (2,−3)
5.在课后服务的乒乓球兴趣课上，老师将从小亮、小莹和小李3人中选2人进行乒乓球对决，恰好选中小莹和小李的概率为( )
A. 13B. 23C. 25D. 35
6.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF/​/AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为( )
A. 30mB. 24mC. 18mD. 12m
7.海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一.随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为x，则可列方程( )
A. 7(1+x%)2=45B. 7(1+2x)=45
C. 7(1+x)2=45D. 7+7(1+x)+7(1+x)2=45
8.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比i=1：2(即BC：CA=1：2)，则cs∠ABC=( )
A. 13B. 23C. 33D. 55
9.如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE=25：9，则CE：BC等于( )
A. 2：5B. 3：5C. 16：25D. 9：25
10.如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F为正方形内部一点，连接DE、DF，若DE平分∠ADF且DA=DF，则BF的长为( )
A. 3
B. 2
C. 2 55
D. 4 55
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.计算： 6÷ 3= ______．
12.已知a是方程x2−2x−1=0的一个根，则3a2−6a+2024的值为______．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连结BD，若sin∠CBD=35，则BC的长为______．
14.如图，O是正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别为AB，BC边上的点且BE+EF=FC，则∠EOF= ______度；若OE= 62OF，则AECF= ______．
三、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题18分)
(1)计算：( 5+3)( 5−3)+6cs60°；
(3)解方程：x2−6x+5=0；
(2)计算：( 3−2)2− 3( 12−2)．
16.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−3x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根x1、x2互为倒数，求m的值．
17.(本小题10分)
某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．
(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
18.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，连结AE，F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．
(1)求证：△AFD∽△EBA；
(2)若AB=4，AD=3 3，DF=2 3，求DE的长．
19.(本小题12分)
如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向上.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．
(1)填空：∠DAC= ______度，∠ACB= ______度；
(2)求码头A到D处的距离AD(结果保留根号)；
(3)若规划修建从D处到海岸线l的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号)
20.(本小题16分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD边上的点，连结AE，交BD于点H，过点D作DF⊥AE于点G，交BC于点F．
(1)求证：△ADE～△DCF；
(2)当DF恰好平分∠BDC时，
①判断△DHE的形状，并说明理由；
②求证：CE=2OH；
③记△AOH的面积为S1，△ACE的面积为S2，当S1S2=310时，时ABAD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 6符合最简二次根式的定义，故此项符合题意；
B.1 3= 33，故此项不符合题意；
C. 8=2 2，故此项不符合题意；
D. 12= 22，故此项不符合题意；
故选：A．
最简二次根式必须同时满足以下条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；据此进行逐一判断即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：当x=−1时，
原式= −3+7=2，
故选：B．
将x=−1代入二次根式中计算即可．
本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【解答】
解：x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=−2．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(2,4)，(1,1)，(3,2)，将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为(3,−2)．
故选：B．
根据关于y轴大小，横坐标互为相反数，组织B相同，可得答案．
本题考查了作图−轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好选中小莹和小李的可能性有2种，
∴恰好选中小莹和小李的概率为26=13，
故选：A．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出恰好选中小莹和小李的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．
先由EF/​/AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．
【解答】
解：∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=ECAC=14，
∴AB=4EF=24m，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
7(1+x)2=45，
故选：C．
根据题意和题目中的数据，可以得到方程7(1+x)2=45，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8.【答案】D
【解析】解：设BC=x，
∵迎水坡AB的坡比i=1：2，
∴AC=2x，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 5x，
则cs∠ABC=BCAB=x 5x= 55，
故选：D．
设BC=x，根据坡度的概念用x表示出AC，根据勾股定理求出AB，再根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD，CD/​/AB
∴△AOB∽△EOD
∴S△AOB：S△DOE=(AB)2：(DE)2=25：9
∴AB：DE=5：3
∴设AB=5a，则DE=3a
∴BC=CD=5a，EC=2a
∴EC：BC=2：5
故选：A．
由题意可得AB=BC=CD，AB/​/CD，则可证△AOB∽△EOD，可得DE：AB=3：5，即可求CE：BC=2：5．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点E作EH⊥BF，如图：
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE=∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
DA=DF∠ADE=∠FDEDE=DE，
∴△ADE≌△FDE(SAS)，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
∵EH⊥BF，
∴∠BEH=∠FEH，
∴∠DEF+∠FEH=90°，
∵∠DEF+FDE=90°，
∴∠HEF=∠FDE，
∵E为AB中点，AD=4，
∴EF=2，DE=2 5，
∴tan∠HEF=tan∠FDE，即HFEF=EFDE，
∴HF2=22 5，解得HF=2 55，
∴BF=2HF=4 55．
故选：D．
根据题意可得△ADE≌△FDE，从而得出AE=EF，结合E为AB中点，即可得出△BEF是等腰三角形，过点E作EH⊥BF，则有∠DEH=90°，即可得出∠HEF=∠FDE，再根据锐角三角函数即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，锐角三角形函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
11.【答案】 2
【解析】解： 6÷ 3= 63= 2，
故答案为： 2．
根据二次根式的除法法则进行计算．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】2027
【解析】解：∵a是方程x2−2x−1=0的一个根，
∴a2−2a−1=0，
∴a2−2a=1，
∴3a2−6a+2024=3(a2−2a)+2024=3×1+2024=2027．
故答案为：2027．
先根据一元二次方程的解的定义得到a2−2a=1，再把3a2−6a+2024变形为3(a2−2a)+2024，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
13.【答案】8
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DB=DA，
设DB=DA=x，
∵AC=16，
∴CD=AC−CD=16−x，
∵sin∠CBD=CDBD=35，
∴16−xx=35，
∴x=10，
∴BD=10，CD=6，
∴BC= BD2−CD2=8，
故答案为：8．
由作法得MN垂直平分AB，得到DB=DA，设DB=DA=x，求得CD=AC−CD=16−x，根据三角函数的定义得到x=10根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
14.【答案】45 32
【解析】解：(1)如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，
∵C△EBF=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，
∴BE=MC，
∵O为正方形中心，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，
在△OBE和△OCM中，
OB=OC∠OBE=∠OCMBE=CM，
∴△OBE≌△OCM(SAS)，
∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，
∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，
在△OFE与△OFM中，
OE=OMEF=FMOF=OF，
∴△OFE≌△OFM(SSS)，
∴∠EOF=∠MOF=12∠EOM=45°；
∴∠AOE+∠FOC=135°，
∵∠EAO=45°，
∴∠AOE+∠AEO=135°，
∴∠FOC=∠AEO，
∵∠EAO=∠OCF=45°，
∴△AOE∽△CFO．
∴OEOF=AEOC=OACF= 62，
∴AE= 62OC，AO= 62CF，
∵AO=CO，
∴AE= 62× 62CF=32CF，
∴AECF=32．
故答案为：45；32．
在FC上截取FM=FE，连接OM.首先证明△OBE≌△OCM(SAS)，得出∠EOM=90°，再证明△OFE≌△OFM(SSS)，推出∠EOF=∠MOF=12∠EOM=45°；再证得△AOE∽△CFO，得出OEOF=AEOC=OACF= 62，即可求出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(1)原式=( 5)2−32+6×12
=5−9+3
=−1；
(2)x2−6x+5=0，
则(x−1)(x−5)=0，
∴x−1=0或x−5=0，
∴x1=1，x2=5；
(3)原式=( 3)2−2× 3×2+22−( 3×12−2 3)
=3−4 3+4−6+2 3
=1−2 3．
【解析】(1)根据平方差公式、特殊角的三角函数值计算；
(2)利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
(3)根据完全平方公式、二次根式的乘法法则计算．
本题考查的是一元二次方程的解法、实数的运算，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、实数的运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−3x+m−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−3)2−4(m−1)=9−4m+4=13−4m≥0，
解得：m≤134；
(2)∵方程x2−3x+m−1=0的两个实数根x1、x2互为倒数，
∴x1x2=1，即m−1=1，
解得：m=2．
【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可；
(2)根据两实数根互为倒数，得到两实数根乘积为1，利用根与系数的关系求出m的值即可．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：(1)∵共20名志愿者，女生5人，
∴选到女生的概率是520=14，
故答案为：14；
(2)不公平，
根据题意画图如下：
∵共有9种情况，和为偶数的情况有5种，
∴牌面数字之和为偶数的概率是59，
∴甲参加的概率是59，乙参加的概率是49，
∴甲参加的概率>乙参加的概率，
∴这个游戏不公平．
(1)直接利用概率公式求出即可；
(2)利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
此题主要考查了游戏公平性以及概率公式应用，正确画出树状图是解题关键．
18.【答案】证明：(1)∵在▱ABCD中，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB；
(2)∵△ADF∽△EAB，
∴ADAE=FDAB，
∴3 3AE=2 34，
解得：AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：DE= AE2−AD2= 62−(3 3)2=3．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可；
(2)根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答．
19.【答案】45 90
【解析】(1)根据题意可得：∠BAD=15°，∠BAC=60°，∠BCF=30°，AB/​/FG，从而可得∠ACG=∠BAC=60°，∠BCF=∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACD中，∠DAC=∠BAC−∠BAD=45°，
故答案为：45，90；
(2)在Rt△ABC中，AB=24，∠ABC=90°−∠BAC=30°，
∴AC=12AB=12(千米)，
在Rt△ACD中，∠DAC=45°，
∴AC=CD=12千米，AD= 2AC=12 2(千米)，
答：码头A到D处的距离AD为12 2千米；
(3)∵AB=24千米，
∴AC=12AB=12(千米)，BC= 3AC=12 3(千米)，
在Rt△ACD中，∠CAD=∠BAC−∠BAD=45°，
∴CD=AC⋅tan45°=12(千米)，
∴BD=BC−CD=(12 3−12)千米，
在Rt△BDE中，∠ABC=30°，
∴DE=12BD=(6 3−6)千米，
∴输油管道的最短长度是(6 3−6)千米．
(1)根据题意可得：∠BAD=15°，∠BAC=60°，∠BCF=30°，AB/​/FG，从而可得∠ACG=∠BAC=60°，∠BCF=∠ABC=30°，然后利用平角定义可得∠ACB=90°，在Rt△ACD中，∠DAC=∠BAC−∠BAD=45°，
(2)在Rt△ABC中，AB=24，∠ABC=90°−∠BAC=30°，则AC=12AB，在Rt△ACD中，∠DAC=45°，
则AC=CD=12千米，AD= 2AC；
(3)过点D作DE⊥AB，垂足为E，从而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性质可得AC=12千米，BC=12 3千米，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而求出BD的长，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠DEA=∠CFD，
又∵∠ADE=∠DCF，
∴△ADE～△DCF；
(2)①解：△DHE是等腰三角形，理由如下：
∵DF平分∠BDC，
∴∠GDH=∠GDE，
∵DF⊥AE，
∴∠DGH=∠DGE=90°，
在△DGH和△DGE中，
∠GDH=∠GDEDG=DG∠DGH=∠DGE，
∴△DGH≌△DGE(ASA)，
∴DH=DE，
∴△DHE是等腰三角形；
②证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，
如图1，过点C作CM//BD交AE延长线于点M，

则△AOH∽△ACM，
∴OHCM=AOAC=12，
∴CM=2OH，
由①得：DH=DE，
∴∠DEH=∠DHE，
∵CM//BD，
∴∠DHE=∠CME，
∵∠DEH=∠MEC，
∴∠MEC=∠CEM，
∴CE=CM，
∴CE=2OH；
③解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
如图2，过点A作AK⊥BD于点K，则∠AKD=∠BAD=90°，

∵∠ADK=∠ADB，
∴△ADK∽△BDA，
∴AKAB=ADBD，
∴AKAD=ABBD，
∴S1=12OH⋅AK，
∵S2=12CE⋅AD，CE=2OH，
∴S1S2=12OH⋅AK12×2OH⋅AD=AK2AD=310，
∴AKAD=35，
∴ABBD=35，
设AB=3x，则BD=5x，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD= BD2−AB2= (5x)2−(3x)2=4x，
∴ABAD=3x4x=34．
【解析】(1)由矩形的性质得∠ADE=∠DCF=90°，再证∠DEA=∠CFD，即可得出结论；
(2)①证△DGH≌△DGE(ASA)，得出DH=DE，即可得出结果；
②过点C作CM//BD交AE延长线于点M，则△AOH∽△ACM，得出OHCM=AOAC=12，推出CM=2OH，再证∠MEC=∠CEM，则CE=CM，即可得出结论；
③过点A作AK⊥BD于点K，则∠AKD=∠BAD=90°，先证△ADK∽△BDA，得出AKAD=ABBD，再由S1=12OH⋅AK，S2=12CE⋅AD，CE=2OH，推出ABBD=35，设AB=3x，则BD=5x，然后由勾股定理求出AD=4x，即可得出结果．
本题是相似性综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．