2023-2024学年四川省巴中市九年级（上）期末数学试卷（华师大版）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省巴中市九年级（上）期末数学试卷（华师大版）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x3−2x=0B. xy−2y=0C. 1x2+x=2D. x2=3
2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是( )
A. 8与 3B. 2与 12C. 5与 15D. 75与 27
3.一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为( )
A. (x+4)2=17B. (x−4)2=17C. (x+4)2=15D. (x−4)2=15
4.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ACCD=ABBC
D. AC2=AD⋅AB
5.若α，β(α≠β)是一元二次方程x2−5x−24=0的根，则α+β的值为( )
A. −5B. 5C. 24D. −24
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE=3OB，△ABC的周长为3，则△DEF的周长为( )
A. 9B. 12C. 16D. 27
7.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示csα的值，错误的是( )
A. BDBCB. BCABC. ADACD. CDAC
8.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A. 只闭合1个开关
B. 只闭合2个开关
C. 只闭合3个开关
D. 闭合4个开关
9.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD=9米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度( )
A. 8米B. 9米C. 10米D. 10.2米
10.对于实数a，b定义新运算：a⊗b=ab2−b，若关于x的方程1⊗x=2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k>−18B. k<−18C. k>−18且k≠0D. k<−18且k≠0
11.已知−1A. 2aB. −2aC. −2aD. 2a
12.如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出34+342+343+⋯+34n=( )
A. 1B. 4n−14nC. 1−14nD. 4n+14n
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若二次根式 1x−1有意义，则x的取值范围是______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD=2：3，GD=4，则AF的长为______．
15.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为 ．
16.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=______．
17.一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，则另一个是女孩的概率是______．
18.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
(1)计算：sin245°− 27+12( 3−2006)0+6tan30°．
(2)解方程：
①x2−6x+5=0；
②(4x−1)2=8x−2．
20.(本小题8分)
已知：如图ADAE=ABAC=BDCE．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)如果∠BAC=90°，AB=6，BC=3 5，AE=1，求DE的长．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，且∠BAC=90°，BC=5，求k的值．
22.(本小题9分)
某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车或地铁，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后，绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
(1)本次调查中一共调查了______名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
23.(本小题10分)
△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,2)，C(2,1)．

(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
(2)以原点O为位似中心在原点的另一侧画出△A2B2C2，使AB：A2B2=1：2，并直接写出点C2的坐标．
24.(本小题10分)
某商场今年年初以每件10元的进价购进一批“网红”商品.当商品售价为20元时，一月份销售2250件，三月份销售3240件.设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等．
(1)求二月和三月该商品的月平均增长率；
(2)从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加50件，当商品降价多少元时，商场获利29610元？
25.(本小题10分)
随着5G技术的进步与发展，生活中的测量技术也与时俱进.小颖与家人到经开区九寨山公园游玩时想用无人机来测量公园内A，B两点之间的距离(A,B位于同一水平地面上)，如图所示，小颖站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为81.5m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小颖的身高，AD=1.5m，CD=100m(点A，B，C，D在同一平面内).求A、B两点之间的距离.(结果精确到1m， 3≈1.7)
26.(本小题14分)
已知，如图在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边AC上，DE/​/AB交BC于点E．
(1)当CD=2时，求线段BE的长；
(2)已知，点G，H在AB边上且四边形DGHE是矩形，求四边形DGHE的最大面积；
(3)已知点M是边AB上的一动点，当线段DE的长为何值时，△DEM是等腰直角三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.方程3x3−2x=0中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程xy−2y=0中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程1x2+x=2是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程x2=3符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义对题目中给出的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：A、 8=2 2和 3不是同类二次根式，本选项不合题意；
B、 12=2 3与 2不是同类二次根式，本选项不合题意；
C、 5与 15不是同类二次根式，本选项不合题意；
D、 75=5 3， 27=3 3是同类二次根式，本选项符合题意．
故选：D．
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2−8x−1=0，
∴x2−8x=1，
∴x2−8x+16=1+16，即(x−4)2=17，
故选：B．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD⋅AB，即ACAD=ABAC，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
5.【答案】B
【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2−5x−24=0的根，
∴α+β=5，
故选：B．
直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若x1，x2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵OE=3OB，
∴OBOE=13．
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OBOE=13，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：3．
∵△ABC的周长为3，则△DEF的周长为9．
故选：A．
根据位似图形的概念得到AB//DE，即可证明△AOB∽△DOE根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
本题考查位似变换的性质，相似三角形的判定与性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
【解答】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴csα=cs∠ACD=BDBC=BCAB=DCAC，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
此题考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大．
9.【答案】A
【解析】解：过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，
∴四边形CDBE为矩形，
则BD=CE=9m，CD=BE=2m．
设AE=x m，则1：1.5=x：9，
解得x=6，
故旗杆的高度AB=AE+BE=6+2=8(m)．
故选：A．
根据矩形CDBE的对边平行且相等．落在墙上的影子长与物体本身的长度相等解答即可．
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
10.【答案】A
【解析】解：∵1⊗x=2k，
∴x2−x=2k，
方程化为一般式为x2−x−2k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×(−2k)>0，
解得k>−18．
故选：A．
先利用新定义得到x2−x=2k，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4×(−2k)>0，再解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
11.【答案】C
【解析】解：∵−1∴a+1a<0，a−1a>0，
∴ (a−1a)2+4+ (a+1a)2−4
= (a+1a)2+ (a−1a)2
=−a−1a+a−1a
=−2a，
故选：C．
根据−10，再把原式化简为 (a+1a)2+ (a−1a)2，根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，当a≥0时， a2=a；当a<0时， a2=−a．
12.【答案】C
【解析】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C，
的面积为1×14，
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积−△A1B1C的面积=34=1−14；
∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积−△A2B2C的面积=14−142=342
…，
∴第n个四边形的面积=14n−1−14n=34n，
∴34+342+343+…+34n=(1−14)+(14−142)+…+(14n−1−14n)=1−14n，
故答案为：C．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
13.【答案】x>1
【解析】解：由题意可得：
x−1>0，
∴x>1，
故答案为：x>1．
根据二次根式 a(a≥0)，以及分母不能为0，列不等式进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a≥0)以及分母不为0是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=4，
∴AB=CD=4，AD=BC，AD//BC，
∴△FAE∽△FBC，
∴AEBC=FAFB，
∵AE：AD=2：3，
∴AE：BC=2：3，
∴23=FAFB，
又∵FB=FA+AB，AB=4，
∴23=FAFA+4，
解得FA=8，
即AF的长是8，
故答案为：8．
根据平行四边形的性质，可以得到AB=CD=4，AD=BC，AD//BC，然后即可得到△FAE∽△FBC，从而可以得到AEBC=FAFB，再根据题目中的数据，即可计算出AF的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出△FAE∽△FBC．
15.【答案】 22
【解析】解：连接BC，
由勾股定理可得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC=BCAC= 5 10= 22，
故答案为： 22．
根据网格求出三角形△ABC的三边，得到△ABC是直角三角形，再进行求解．
此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用．
16.【答案】1+ 5
【解析】解：∵AB=2，
设AD=x，则FD=x−2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD=ADAB，2x−2=x2，
解得x1=1+ 5，x2=1− 5(不合题意舍去)，
经检验x1=1+ 5是原方程的解．
故答案为：1+ 5．
可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
17.【答案】12
【解析】解：∵一对夫妇有两个孩子，其中一个孩子是男孩，
∴另一个是女孩的概率是12，
故答案为：12．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
18.【答案】245
【解析】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC= AC2+AB2= 62+82=10，
∵∠OCP′=∠ACB，∠OP′C=∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴COCB=OP′AB，
∴410=OP′6，
∴OP′=125，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′=245．
故答案为245．
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．
本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)原式=( 22)2−3 3+12×1+6× 33
=12−3 3+12+2 3
=1− 3；
(2)①x2−6x+5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
所以x1=5，x2=−1；
②(4x−1)2=8x−2，
(4x−1)2−2(4x−1)=0，
(4x−1)(4x−1−2)=0，
4x−1=0或4x−1−2=0，
所以x1=14，x2=34．
【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算，然后把 27化简后合并即可；
(2)①先利用因式分解法把方程转化为x−5=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可；
②先把方程变形为(4x−1)2−2(4x−1)=0，再利用因式分解法把方程转化为4x−1=0或4x−1−2=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
20.【答案】(1)证明：∵ADAE=ABAC=BDCE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ADAE=ABAC，
∴ADAB=AEAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵AB=6，BC=3 5，
∴AC= BC2−AB2= 45−36=3，
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
∴13=DE3 5，
∴DE= 5．
【解析】(1)通过证明△BAD∽△CAE，可得∠BAD=∠CAE，由相似三角形的判定可得结论；
(2)由勾股定理可求AC的长，由相似三角形的性质可得AEAC=DEBC，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)
=4k2+4k+1−4k2−4k
=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，
∴AB+AC=2k+1，AB⋅AC=k2+k，
∵∠BAC=90°，BC=5，
∴AB2+AC2=52，
(AB+AC)2−2AB⋅AC=25，
(2k+1)2−2(k2+k)=25，
解得：k1=−4，k2=3，
∴AB+AC=2×(−4)+1=−7，不符合题意，
故k的值为3．
【解析】(1)利用根的判别式进行求解即可；
(2)由根与系数的关系可得：AB+AC=2k+1，AB⋅AC=k2+k，再结合勾股定理，可得到方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，理解清楚根与系数的关系，根的判别式是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)200；72；
(2)C选项的人数为200−(20+60+30+40)=50(名)，
补全条形图如下：
(3)画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的结果有3种，
∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为39=13．
【解析】【分析】
(1)根据B组的人数以及所占百分比，得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算，即可求得E选项对应的扇形圆心角的度数；
(2)求出C组的人数即可补全图形；
(3)画树状图得出所有等可能结果，再求出符合要求的结果数，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
此题考查了列表法与画树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图和概率公式的应用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
【解答】
解：(1)本次调查的学生人数为60÷30%=200(名)，
扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是360°×40200=72°，
故答案为：200；72；
(2)见答案；
(3)见答案；
23.【答案】解：(1)如图所示；

点C1的坐标为(2,−1)；
(2)如图所示；
点C2的坐标为(−4,−2)．
【解析】(1)根据轴对称性质即可画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
(2)把A、B、C的横纵坐标后乘以−2得到出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A 2B2C2．
本题考查作图−轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：2250(1+x)2=3240，
解得：x=20%或x2=−2.2(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为20%；
(2)设当商品降价m元时，商品获利29610元，
根据题意可得：(20−10−m)(3240+50m)=29610，
解得：m1=1，m2=−55.8(不合题意舍去)．
答：当商品降价1元时，商品获利29610元．
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：2250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：2250(1+x)件；三月份的销售量为：2250(1+x)(1+x)件，又知三月份的销售量为：3240件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=29610列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
25.【答案】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥CF，垂足为G，

由题意得：AD=FG=1.5m，DG=AF，CF=81.5m，CE/​/AB，
∴∠ECB=∠ABC=60°，CG=CF−FG=81.5−1.5=80(m)，
在Rt△BCF中，BF=CFtan60∘=81.5 3≈163 36(m)，
在Rt△CDG中，CD=100m，
∴DG= CD2−CG2= 1002−802=60(m)，
∴DG=AF=60m，
∴AB=AF+BF=60+163 36≈108(m)，
∴A、B两点之间的距离约为108m．
【解析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥CF，垂足为G，根据题意可得：AD=FG=1.5m，DG=AF，CF=81.5m，CE/​/AB，从而可得∠ECB=∠ABC=60°，CG=80m，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵DE/​/AB，
∴∠CDE=∠A，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，CD=2，
∴CECD=tan∠CDE=tanA=BCAC=86=43，
∴CE=43CD=43×2=83，
∴BE=BC−CE=8−83=163，
∴BE的长是163．
(2)如图1，作CF⊥AB于点F，交DE于点L，
∵点G，H在AB边上且四边形DGHE是矩形，
∴DG⊥AB，
∵DE//AB，
∴△DEC∽△ABE，∠CLE=∠CFB=90°，
∴CL⊥DE，
∴CLCF=DEAB，
∵12AB⋅CF=12AC⋅BC=S△ABC，且AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴12×10CF=12×6×8，
∴CF=245，
∴CL=CFAB⋅DE=24510DE=1225DE
∴DG=LF=245−CL=245−1225DE，
∴S矩形DGHE=DE⋅DG=DE(245−1225DE)=245DE−1225DE2，=12−1225(DE−5)2，
∴当DE=5时，S矩形DGHE最大=12，
∴四边形DGHE的最大面积是12．
(3)如图2，△DEM是等腰直角三角形，且DM=DE(或EM=DE)，
∴∠AMD=∠MDE=90°，
∴DM⊥AB，
由(2)得DM=245−1225DE，
∴DE=245−1225DE，
解得DE=12037；
如图3，△DEM是等腰直角三角形，且DM=EM，
作MN⊥DE于点N，DK⊥AB于点K，则DN=EN，
∴DK=MN=12DE，
∵DK=245−1225DE，
∴12DE=245−1225DE，
解得DE=24049，
综上所述，当线段DE的长为12037或24049时，△DEM是等腰直角三角形．
【解析】(1)由DE/​/AB，得∠CDE=∠A，则CECD=tan∠CDE=tanA=BCAC=43，所以CE=43CD=83，则BE=BC−CE=163；
(2)作CF⊥AB于点F，交DE于点L，可证明△DEC∽△ABE，得CLCF=DEAB，由12AB⋅CF=12AC⋅BC=S△ABC，且AB= AC2+BC2=10，得12×10CF=12×6×8，求得CF=245，进而求得CL=1225DE，则DG=LF=245−CL=245−1225DE，所以S矩形DGHE=DE(245−1225DE)=12−1225(DE−5)2，则当DE=5时，S矩形DGHE最大=12；
(3)分两种情况讨论，一是DM=DE(或EM=DE)，则DM⊥AB，由(2)得DM=245−1225DE，则DE=245−1225DE，求得DE=12037；二是DM=EM，作MN⊥DE于点N，DK⊥AB于点K，则DK=MN=12DE，由DK=245−1225DE，得12DE=245−1225DE，求得DE=24049．
此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．