2023-2024学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. “买中奖率为1%的奖券100张，一定中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C. 天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨
D. “清明时节雨纷纷”为随机事件
3.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从A滑行到B.已知AB=200m，则这名滑雪运动员的高度下降了m．( )
A. 200sinαB. 200csαC. 200tanαD. 200tanα
4.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
5.抛物线y=12(x−1)2−3的顶点坐标是( )
A. (12,−3)B. (−1,−3)C. (−1,3)D. (1,−3)
6.如图，P是正△ABC内的一点，若将△BPC绕点B旋转到△BP′A，则∠PBP′的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
7.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
A. I=2R
B. I=3R
C. I=5R
D. I=6R
8.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于点C，则OC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP：②OA2=OE⋅OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=1116，其中正确结论的是( )
A. ①③④B. ①③C. ②④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.如果x：y=1：2，那么x+yy=______．
11.已知x=1是方程x2−ax+7=0的一个根，则a的值是______．
12.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
13.如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为________m2．
14.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE/​/BC，若AD：DB=2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于______．
15.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：(π−1)0+4sin45°− 8+|−3|．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：3x>−8−x2(x−1)≤6．
18.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为(1,3)、(4,1)、(5,3)，
(1)请以原点O为位似中心，在第一象限内作出△ABC的位似图形△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1相似比为1：2；
(2)写出点A、B的对应点的坐标A1 ______、B1 ______．
19.(本小题8分)
为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解：C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有多少人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)从九年级一班“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20.(本小题8分)
如图是湖南师大附中博才实验中学湘江校区的钟楼，为了测量其高度，小明站在水平地面的点C处，用测角仪测得钟楼顶部A的仰角∠ADE=85°，测得钟楼底部B的俯角∠EDB=30°，若测角仪距地面的高度DC=1m．
(1)求测角仪到钟楼的距离BC(结果保留根号)；
(2)求钟楼的高度AB(结果保留整数)．
(参考数据：sin85°≈0.996,cs85°≈0.087,tan85°≈11.430, 3≈1.732)
21.(本小题9分)
新时代对中小学劳动教育提出了明确要求：把劳动教育纳入人才培养全过程，与德育、智育、体育、美育相融合.为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，湖南师大附中博才实验中学湘江校区的师生们要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成(如图所示).若设劳动教育基地的BC边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系；
(2)满足条件的劳动教育基地面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？
22.(本小题9分)
如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CE=1，BD= 5，tanF=34，求FB⋅FA的值．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．
24.(本小题10分)
定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”.如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED，若∠BDE+∠C=180°，则称DE为△ABC边BC的“幸福线”．
(1)已知DE为BC边的“幸福线”，AD=3，BD=4，AC=5，求AE的长；
(2)如图2，若△ABC内接于⊙O，A为弧BC的中点，DE、EF分别为BC、AB边的“幸福线”，求证：CO⊥EF；
(3)在(2)的条件下，若AB=10，BC=12，如图3过F点作AC的“幸福线”FG交AB于点G，当四边形AGFE面积最大时，求∠ACD的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、“买中奖率为1%的奖券100张，一定中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，原说法错误，不符合题意；
D、“清明时节雨纷纷”是随机事件，正确，符合题意．
故选：D．
根据随机事件的概念、概率的意义和概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了随机事件、概率的意义和概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设运动员高度下降了x(m)，
由题意可知：sinα=hAB，
∴h=200sinα，
故选：A．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选：D．
由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】D
【解析】解：抛物线y=12(x−1)2−3的顶点坐标是(1,−3)．
故选：D．
由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△BPC绕点B旋转到△BP′A，
∴∠PBP′=∠ABC=60°，
故选：B．
由旋转的性质可得∠PBP′=∠ABC=60°．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
由图象可知，函数经过点B(3,2)，
∴2=k3，得k=6，
∴反比例函数解析式为y=6x．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为I=6R．
故选：D．
本题考查了用待定系数法确定反比例函数解析式．
观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=kx(k≠0)即可求得k的值．
8.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=12AB=4，
在Rt△ABC中，OA=5，AC=4，
由勾股定理可得：OC= OA2−AC2= 52−42=3．
故选：C．
由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得AC=12AB=4，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．
本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
AD=AB∠DAP=∠ABQAP=BQ，
∴△DAP≌△ABQ(SAS)，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴AODO=OPOA，
∴AO2=OD⋅OP，
∵AE>AB，
∴AE>AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE⋅OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中，
∠FCQ=∠EBPCQ=BP∠Q=∠P，
∴△CQF≌△BPE(ASA)，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
AD=CD∠ADC=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴S△ADF=S△DCE，
∴S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，
即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△PBE∽△PAD，
∴BPBE=PADA=43，
∴BE=34，
∴QE=134，
∵△QOE∽△PAD，
∴OQPA=OEAD=QEPD=1345=1320，
∴QO=135，OE=3920，
∴AO=5−QO=125，
∴tan∠OAE=OEOA=1316，故④错误，
故选：B．
由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD⋅OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE⋅OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=34，QE=134，即可求QO=135，OE=3920，由三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：xy+1=12+1，即x+yy=32．
故答案为：32．
根据合比性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用了和比性质：ab=cd⇒a+bb=c+dd．
11.【答案】8
【解析】解：∵x=1是方程的一个根，
∴1能使方程两边等式成立，
把x=1代入方程有：12−a×1+7=0，
1−a+7=0，
∴a=8，
故答案为：8．
把x=1代入方程就能求出a的值．
本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值．
12.【答案】15π
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可得出答案．
【解答】
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长=6π，侧面面积=12×6π×5=15πcm2．
故答案为：15π．
13.【答案】2.4
【解析】解：长方形的面积=3×2=6(m2)，
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的40%，
∴世界杯图案的面积约为：6×40%=2.4(m2).
故答案为2.4．
本题考查利用频率估计概率．
根据题意求出长方形的面积，利用频率估计概率可得世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系，计算即可．
14.【答案】4：25
【解析】解：∵AD：DB=2：3，
∴AD：AB=2：5，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积是：(ADAB)2=425．
故答案为：4：25．
根据DE/​/BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14，
∴2(BE+CE)=10，
∴BC=5．
故答案为5．
根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质．
16.【答案】解：原式=1+4× 22−2 2+3
=1+2 2−2 2+3
=4．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：3x>−8−x①2(x−1)≤6②，
由①移项得：3x+x>−8，
合并同类项得：4x>−8，
解得：x>−2，
由②去括号得：2x−2≤6，
移项得：2x≤6+2，
合并同类项得：2x≤8，
解得：x≤4，
∴不等式组的解集为−2【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
18.【答案】(2,6) (8,2)
【解析】解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)因为△ABC与△A1B1C1相似比为1：2，且点A、B、C的坐标依次为(1,3)、(4,1)、(5,3)，
所以OAOA1=12，OBOB1=12，
即A1(2,6)、B1(8,2)．
(1)根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故连接OA，OB，OC，且分别延长OA，OB，OC的一倍，分别记上A1，B1，C1，再依次连接；
(2)依据作图直接写出答案即可．
本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】解：(1)16÷40%=40(人)，
所以接受问卷调查的学生共有40人；
(2)扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：840×360°=72°；
B等级的人数为40−6−16−8=10(人)；
补全条形统计图为：
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．
【解析】本题考查了统计图的应用，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
(1)用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
(2)用360°乘以D等级所占的百分比得到扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，然后计算出B等级的人数后补全条形统计图；
(3)画树状图表示所有12种等可能的结果，再找出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
20.【答案】解：(1)由题意知，四边形BCDE是矩形，
∴BE=DC=1m.BC=DE，
在Rt△BDE，中，∠EDB=30°，BE=1m.tan∠EBD=BEDE，
∴1DE= 33，
∴DE= 3m，
∴AB=DE= 3m.
答：测角仪到钟楼的距离BC为 3m；
(2)在Rt△ADE中，∠ADE=85°，DE= 3m.tan∠ADE=AEDE，
∴AE=DE⋅∠ADE= 3⋅tan85°≈1.732×11.430≈20(m)，
∴AB=20+1=21(m)．
答：钟楼的高度AB约为21m．
【解析】(1)由题意知，四边形BCDE是矩形，根据矩形的性质得到BE=DC=1m.BC=DE，在Rt△BDE中，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)在Rt△ADE中，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，仰角俯角问题，矩形的性质，掌握三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题可知BC的长为x米，
由四边形ABCD是矩形，得AB=40−x2=20−x2，
∴y=(20−x2)⋅x=−12x2+20x；
(2)劳动教育基地面积能达到150平方米，理由如下：
把y=150代入y=−12x2+20x，
得−12x2+20x=150，
解得x1=10，x2=30，
由题意可知0∴当x=10时，劳动教育基地面积能达到150平方米；
(3)由y=−12x2+20x，得抛物线的对称轴为直线x=20，
∵a=−12<0，
∴当x<20时，y随着x的增大而增大，
∴当x=15时，y取得最大值，最大值为187.5，
答：当x时15米时，劳动教育基地面积y最大，最大面积是187.5平方米．
【解析】(1)用含x的式子表示BC和AB，结合矩形的面积公式即可求出函数表达式；
(2)把y=150代入y=−12x2+20x，再根据x的取值范围求出答案；
(3)求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性求出最值．
本题考查了二次函数的应用，矩形面积问题，解一元二次方程，二次函数求最值，本题的关键是根据题意得到自变量的取值范围，根据二次函数的增减性求最值．
22.【答案】(1)证明：连接OD，如图1，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD/​/AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，

∵AB是⊙O直径，AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=CD= 5，
∴DE= CD2−CE2= ( 5)2−12=2；
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠DEC，
∵∠DAE=∠CED，
∴△ADE∽△DCE，
∴AD：CD=DE：CE，
即AD：2= 5：1，
∴AD=2 5，
∴AE= AD2−DE2= (2 5)2−22=4，
∴AB=AC=AE+CE=5；
∵tanF=34，
∴AEFE=34，
∴FE=4AE3=163，
∴FA= FE2+AE2= (163)2+42=203，
∴FB=FA−AB=203−5=53，
∴FB⋅FA=203：53=4：1．
【解析】(1)连接OD，只需证EF⊥OD即可；
(2)首先利用勾股定理求得DE= CD2−CE2=2，连接AD，得到△ADE∽△DCE，利用AD：CD=DE：CE，解得AD=2 5，然后利用勾股定理求得AE= AD2−DE2=4，结合tanF=34，得到AEFE=34，求得FE=163，再利用勾股定理求得FA= FE2+AE2=203，FB=FA−AB=53，然后得解．
本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理以及等腰三角形性质及应用，解答本题的关键是掌握并能熟练应用勾股定理．
23.【答案】解：(1)∵OB=OC=4，
∴点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,−4)，
把B(4,0)，C(0,−4)代入y=12x2+bx+c，
得8+4b+c=0c=−4，
解得b=−1c=−4，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x−4；
(2)在抛物线上存在点M，使∠ABC=∠BCM，理由如下：
过点C作CM/​/x轴，交抛物线于点M，

∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∵∠ABC=∠BCM，
∴∠BCM=45°，
∴∠OCM=90°，
∴CM⊥y轴，
把y=−4代入y=12x2−x−4，
得12x2−x−4=−4，
解得x1=2，x2=0(点C的横坐标，舍去)，
∴点M的坐标为(2,−4)；
(3)把y=0代入y=12x2−x−4，
得12x2−x−4=0，
解得x1=−2或x2=4，
∴点A的坐标为(−2,0)，
∴AB=6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵GA=GB，
∴点G在线段AB的垂直平分线上，
设点G的坐标为(1,t)，
同理可得点G在线段DE的垂直平分线上，
∵DE⊥x轴于点F，
∴设D(m,n)，则E(m,2t−n)，
∴S△ABE=12⋅AB⋅EF=12⋅6(2t−n)=3(2t−n)，
∵GD2=GA2，
∴(1−m)2+(t−n)2=(−2−1)2+(0−t)2，
整理得m2−2m+1+n2−2tn−9=0①，
∵点D在抛物线上，
∴12m2−m−4=n，
得m2=2m+2n+8②，
将②代入①得，n2−2tn+2n=0，
∵n≠0，
∴n−2t+2=0，即2t−n=2，
∴S△ABE=3(2t−n)=6．

【解析】(1)把B(4,0)，C(0,−4)代入y=12x2+bx+c，求出b和c的值即可得到函数解析式；
(2)过点C作CM/​/x轴，交抛物线于点M，把y=−4代入y=12x2−x−4，即可求出点M的坐标；
(3)设过点A、B、D得圆的圆心为点G，证明点G在线段AB的垂直平分线上，设点G的坐标为(1,t)，进而设D(m,n)，则E(m,2t−n)，得S△ABE=12⋅AB⋅EF=3(2t−n)，由(1−m)2+(t−n)2=(−2−1)2+(0−t)2以及12m2−m−4=n，求出2t−n的值，即可得到△ABE的面积．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，本题的关键是熟练掌握设而不求的方式解题．
24.【答案】(1)解：∵DE为BC边的“幸福线”，
∴∠BDE+∠C=180°，
∵∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠C=∠ADE，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AD=3，BD=4，AC=5，
∴35=AE7，
解得AE=215；
(2)证明：连接AO，
∵EF是AB边的“幸福线”，
∴∠B+∠AEF=180°，
∵∠AEF+∠CEF=180°，
∴∠B=∠CEF，
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∵A是BC的中点，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠OAC，
∴∠BAO=∠ACO，
∵∠BAO+∠ABC=90°，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴CO⊥EF；
(3)解：由(2)可知△ABC是等腰三角形，
设FC=x，则BF=12−x，
∵∠FEC=∠B，
∴△FEC∽△ABC，
∴(FCAB)2=S△EFCS△ABC，
连接AO延长交BC于点H，
∴AH⊥BC，
∴BH=6，
在Rt△ABH中，AB=10，BH=6，
∴AH=8，
∴S△ABC=12×12×8=48，
∴x2100=S△EFC48，
∴S△EFC=1225x2，
同理可得△BFG∽△BAC，则S△BFG=1225(12−x)2，
∴四边形AGFE面积=48−1225x2−1225(12−x)2=−2425(x−6)2+33625，
∴当x=6时，四边形AGFE面积最大，
此时FC=BF=6，
过点D作DM⊥BC交于M点，
∵△FEC∽△ABC，
∴FCAB=ECBC，即610=EC12，
解得EC=365，
∵∠ADE=∠ACB，∠ACB=∠ABC，
∴∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴BD=EC=365，
∵sinB=810=DMBD=DM365，csB=MBBD=610，
∴DM=14425，BM=10825，
∴CM=12−BM=19225，
在Rt△CDM中，CD= DM2+CM2=485，
在△ACD中，AC2=AD2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∴tan∠ACD=ADDC=145485=724．
【解析】(1)根据定义推导出∠C=∠ADE，由此可证明△ADE∽△ACB，再由相似的性质得到ADAC=AEAB，代入数据即可求AE；
(2)连接AO，由EF是AB边的“幸福线”，推导出∠B=∠CEF，由O是△ABC的外心，推导出∠OAC=∠ACO，由A是BC的中点，得到∠ABC=∠ACB，由此可得AO是∠BAC的平分线，推理出∠BAO=∠OAC，∠BAO=∠ACO，即可得∠ECF+∠CEF=90°即可；
(3)设FC=x，则BF=12−x，由△FEC∽△ABC，得(FCAB)2=S△EFCS△ABC，连接AO延长交BC于点H，求出S△ABC=12×12×8=48，即可求出S△EFC=1225x2，同理可得△BFG∽△BAC，则S△BFG=1225(12−x)2，四边形AGFE面积=48−1225x2−1225(12−x)2=−2425(x−6)2+33625，当x=6时，四边形AGFE面积最大，过点D作DM⊥BC交于M点，根据△FEC∽△ABC，求出EC=365，再判断出△ADE是等腰三角形，进一步求出BD=EC=365，再由sinB=810=DMBD，csB=MBBD=610，分别求出DM=14425，BM=10825，从而得到CM=19225，CD=485，利用勾股定理逆定理判断出△ACD是直角三角形，即可求tan∠ACD=724．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握等弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，弄懂定义是解题的关键．