【开学摸底考】高一数学 01（上海专用）-2023-2024学年高一数学下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．计算 4 ．
【分析】进行指数和对数的运算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：4．
【点评】考查指数式和对数式的运算．
2．若关于的不等式的解集是，的子集，则的取值范围是 ， ．
【分析】由已知得，由此根据、、三种情况进行分类讨论，能求出的取值范围．
【解答】解：，
，
关于的不等式的解集是，的子集，
①当时，不等式的解集，，，
，解得；
②当时，不等式的解集，，成立；
③当时，不等式的解集，，，
，解得．
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查实数取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质及分类讨论思想的合理运用．
3．已知函数，则的值为 2 ．
【分析】由已知得，从而（2），由此能求出结果．
【解答】解：函数，
，
（2）．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
4．将函数的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位可得到函数 的图像．
【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可．
【解答】解：将函数的图像向左平移2个单位，
得到，
再向上平移2个单位可得到函数，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用图象函数变换关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
5．用列举法表示集合为： ，， ．
【分析】通过对、的正负分类讨论即可求出集合．
【解答】解：当、时，，
当、时，，
当时，，
综上可知，集合可表示为：，，，
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，熟练掌握分类讨论思想方法和集合间的关系是解题的关键，属于基础题．
6．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】问题转化为：的解集是的解集的真子集，可解决此题．
【解答】解：由解得，由解得，
根据题意得：，，，，解得：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查充分、必要条件应用及一元二次不等式和绝对值不等式解法，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
7．若函数，则使得不等式（a）成立的的取值范围为 ， ．
【分析】由（a），可得（a），结合已知函数即可求解．
【解答】解：因为（a），
所以（a），
所以，
故答案为，
【点评】本题主要考查了不等式的求解，解题的关键是由已知函数解析式定出（a）的范围．
8．已知幂函数的图象过点，则的单调递增区间为 ．
【分析】根据幂函数的图象与性质，求出解析式，再求的单调递增区间．
【解答】解：幂函数的图象过点，
，
解得，
，
的单调递增区间是．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9．已知，则 2 ．
【分析】先求出，，由此利用对数性质能求出的值．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学莫基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，则 ；当，时，函数的值域为 ．
【分析】根据高斯函数的定义，结合题意，直接求解即可．
【解答】解：根据题意，；
当时，，此时；
当，时，，此时；
当，时，，此时；
故当，时，函数的值域为，，．
故答案为：；，，．
【点评】本题考查高斯函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题．
11．已知实数若、满足，则的最小值是 5 ．
【分析】把已知式子变形，用换元法，再配凑成均值不等式的形式，求出最小值．
【解答】解：，设，，
则原式，
，当且仅当，即时，有最小值5，即的最小值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，式子配凑变形，考查了灵活解决问题的能力，属于中档题．
12．设，若时均有，则 0 ．
【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值．
【解答】解：当时，显然成立，此时；
当时，由成立，得成立，
，，
当时，由成立，得成立，
，，
时均有，．
故答案为：0．
【点评】本题考查了利用不等恒成立求参数的值，考查了分类讨论思想，属中档题．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．若，，则
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．
【解答】解：，，
，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
14．已知函数，且，那么（2）等于
A．B．C．6D．10
【分析】由函数的解析式是一个非奇非偶函数，且偶函数部分是一个常数，故可直接建立关于与（2）的方程，解出（2）的值
【解答】解：由题，函数，且，
则（2）
解得（2）
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，根据函数解析式的特征建立关于与（2）的方程，对解答本题最为快捷，本方法充分利用了函数奇偶性的性质，达到了解答最简化的目的，题后应注意总结本方法的使用原理
15．与角终边相同的角可以表示成
A．，B．，
C．，D．，
【分析】利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可．
【解答】解：因为，
故可以表示成，，
故选：．
【点评】本题主要考查了找出终边相同的角，属于基础题．
16．已知函数，．若，在上有三个零点，则的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】画出函数的图象，利用函数的零点个数，结合函数的性质求解的范围即可．
【解答】解：函数开口向下，．若，
，（1），
函数的图象如图，在上有三个零点，可得，
可得：，解得，
所以．
故选：．
【点评】本题考查函数的零点个数的求解与判断，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
三、解答题（本大题共有5题，17-20题每题15分，21题16分，满分76分）
17．已知全集，，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解；
（2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，又，，
所以；
（2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于，
①当时，，；
②当时，由真包含于得（等号不能同时成立），，
综上所述，的取值范围是，．
【点评】本题考查集合间关系的应用，考查集合的运算，属于基础题．
18．已知函数，．
（1）设集合，，求集合；
（2）当时，求的最大值和最小值．
【分析】（1）由题意可得，解，即可得答案；
（2）由题意可得，令，则有，根据二次函数的性质求出在，上的最值即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，
即，
所以，
解得，
所以；
（2）因为，
令，
因为，所以，
即，
所以，，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在，上单调递增，
所以；
又，（2），
所以．
【点评】本题考查了转化思想、对数的运算、二次函数的性质，属于中档题．
19．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有，定义域为，（1）即可求得，的值．
（2）将变形为：，因为是奇函数，，在利用减函数解不等式即可
【解答】解：（1）因为是奇函数，所以，
即；
；
又定义域为，则有（1），
可得：；
经检验：是奇函数，满足题意．
所以，的值分别为2，1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知在上为减函数；
又因是奇函数，
从而不等式：等价于，
因为减函数，，
得：
即对一切有：，开口向上，
从而判别式△
即的取值范围是
【点评】本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力．属于中档题．
20．2015年10月，实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结，党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持我国人力资源禀赋优势．某镇2021年1月，2月，3月新生儿的人数分别为52，61，68，当年4月初我们选择新生儿人数和月份之间的下列两个函数关系式①；②，，，，都是常数），对2021年新生儿人数进行了预测．
（1）请你利用所给的1月，2月，3月份数据，求出这两个函数表达式；
（2）结果该地在4月，5月，6月份的新生儿人数是74，78，83，你认为哪个函数模型更符合实际？并说明理由．
（参考数据：，，，，
【分析】（1）根据三组数据代入，即可求解．
（2）分别代入（1）问求出函数的解析式，检验与实际的差异，即可求解．
【解答】解：（1）由月的新生儿人数，可得关于函数①，，
解得，
代入函数②，，解得，，，
故．
（2）当，5，6时，代入函数①，分别可得，，76，77，
当，5，6时，代入函数②，分别得，78，81，
故函数②更符合实际．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
21．已知函数，其中．
（1）当函数为偶函数时，求的值；
（2）若，函数，，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数，，若对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据函数为偶函数，得到关于的方程，然后求出的值；
（2）将代入中，然后令，得到，再分，和三种情况，求出使得的最小值为0的值；
（3）由对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得，可知的值域包含于的值域，然后分，和三种情况求出的取值范围．
【解答】解：（1）函数为偶函数，
（1），
，
．
（2）若，函数，
令，，则，
①当，即时，，解出，符合题意；
②当，即时，（1），解出，不符合题意；
③当，即时，，无解，
存在实数，使得的最小值为0．
（3）对每一个不小于3的实数，都有小于3的实数，使得，
的值域包含于的值域；
①当时，，而，不符合题意；
②当时，，当且仅当等号成立，
以的值域为，而，
则，，解得，；
③当时，，当且仅当等号成立，
的值域为，而，
，函数为减函数，（6），
当，得到，
综上所述，
实数的取值范围为．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的最值及其几何意义，考查了方程思想，转化思想和分类讨论思想，属中档题