2023-2024学年湖南省永州市祁阳市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市祁阳市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式：①2x，②32−a，③x+y5，④xπ，其中表示分式的有( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①②④
2.下列各数中，3.14159，−38，0.131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1个)，−π， 25，−17，无理数的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. x+2x=3x2B. (−5)2=5C. x6÷x3=x2D. (x3)2=x5
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 60°
D. 80°
6.若aA. a3>b3B. −3a<−3bC. 3a>3bD. a−37.有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：|a+c|− (b−c)2=( )
A. a−b−2cB. −a−bC. a+cD. a−b
8.下列命题是真命题的是( )
A. 如果a是整数，那么a是有理数B. 内错角相等
C. 任何实数的绝对值都是正数D. 两边一角对应相等的两个三角形全等
9.若关于x的方程x+3x+1=mx+1+2有增根，则m值为( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
10.如图，已知：∠MON=30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为( )
A. 64B. 32C. 16D. 128
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当x ______时，式子x x+3在实数范围内有意义．
12.世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是7纳米，已知1纳米=10−9米.用科学记数法将7纳米表示为______米.
13.如图，△ABD≌△EBC，AB=2cm，BC=6cm，则DE= ______cm．
14.如图，CA平分∠BCD，BC=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=50°，则∠BAE的度数为______°.
15.已知xm=−2，xn=4，则x3m−n的值为______．
16.若数a使关于x的不等式组x−a>2x−3a<−2无解，且使关于x的分式方程axx−5−55−x=−3有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：| 5−2|+(2023+π)0+2 5−(−12)−1．
18.(本小题6分)
解不等式：x3<4x−52，并把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题6分)
如图：点A，B，C，D在一条直线上，CE/​/DF，AE/​/BF，AE=BF.求证：AB=CD．
20.(本小题8分)
先化简(x2−4x+4x2−x)÷(1−1x−1)，然后从− 321.(本小题8分)
解分式方程：3−x2−x−3=xx−2．
22.(本小题9分)
如图，AB/​/CD，以点A为圆心，以小于AC长为半径作圆弧，分别交AC，AB于F，E两点，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)若∠ACD=118°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM，垂足为N，试探究CN是否平分∠ACD．
23.(本小题9分)
为培养大家的阅读能力，我校七年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，付费分别是18000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.5倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多500本．
(1)求我校七年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
(2)我校七年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于4本，且两种书总费用不超过130元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？
24.(本小题10分)
在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如(2+ 3)(2− 3)=1，( 5+ 2)( 5− 2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如1 3=1× 3 3× 3= 33，2+ 32− 3=(2+ 3)(2+ 3)(2− 3)(2+ 3)=7+4 3．
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
(1)解决问题：3− 5的有理化因式是______，23 2分母有理化，得______；
(2)计算：12− 3+ 12−9 13；
(3)化简：2 3+1+2 5+ 3+2 7+ 5+……+2 2023+ 2021− 2023．
25.(本小题10分)
(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=4，AC=6.求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE=AD，连接BE.利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线AD的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N.求证：BM+CN>MN；
(3)问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM，AC=AN，连接MN，请你探索AD与MN的数量与位置关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：代数式①2x，②32−a的分母中含有字母，属于分式．
故选：A．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
2.【答案】B
【解析】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，−π，共两个．
故选：B．
无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3.【答案】C
【解析】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，为所需管道最短．
故选：C．
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”.由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
4.【答案】B
【解析】解：A、x+2x=3x，故此选项不符合题意；
B、 (−5)2=5，故此选项符合题意；
C、x6÷x3=x3，故此选项不符合题意；
D、(x3)2=x6，故此选项不符合题意；
故选：B．
分别根据合并同类项法则、二次根式的性质与化简、同底数幂的除法和幂的乘方判断即可．
本题考查合并同类项、二次根式的性质与化简、同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=100°−40°=60°，
故选：C．
根据等腰三角形的性质可得∠BAC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得∠EAC=∠C=40°，再根据∠BAE=∠BAC−∠EAC求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．
6.【答案】D
【解析】解：A选项，∵a∴a3B选项，∵a∴−3a>−3b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a∴3a<3b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a∴a−3故选：D．
根据不等式的基本性质判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，c|b|>|a|，
所以a+c<0，b−c>0，
所以原式=−a−c−b+c=−a−b．
故选：B．
根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得c|b|>|a|，进而可得a+c<0，b−c>0，再根据绝对值、二次根式的性质进行化简即可．
本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质是正确解答的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、如果a是整数，那么a是有理数，所以A选项正确；
B、两直线平行，内错角相等，所以B选项错误；
C、任何实数的绝对值都是非负数，所以C选项错误；
D、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以D选项错误．
故选：A．
根据有理数的分类对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据绝对值的意义对C进行判断；根据全等三角形的判定方法对D进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9.【答案】B
【解析】解：方程两边乘(x+1)得：x+3=m+2(x+1)，
∵方程有增根，
∴x+1=0，
∴x=−1，
∴−1+3=m+2(−1+1)，
解得：m=2．
故选：B．
方程两边乘(x+1)，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x=−1，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，
∵∠MON=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1/​/A2B2/​/A3B3，B1A2//B2A3，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△A7B7A8的边长为26=64，
故选：A．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1/​/A2B2/​/A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
11.【答案】>−3
【解析】解：由题意得：x+3>0，
解得：x>−3，
故答案为：>−3．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】7×10−9
【解析】解：7纳米=7×10−9米．
故答案为：7×10−9．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】4
【解析】解：∵△ABD≌△EBC，
∴BE=AB=2cm，BD=BC=6cm，
∴DE=BD−BE=4cm；
故答案为：4．
全等得到BC=BD，AB=BE，即可得解．
本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
14.【答案】80
【解析】解：∵CA平分∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
CB=CD∠ACB=∠ACDCA=CA，
∴△ACB≌△ACD(SAS)，
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠EAC=∠D+∠ACD=46°，
∴∠B+∠ACB=50°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠ACB)=180°−50°=130°，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=130°−50°=80°，
故答案为：80．
由CA平分∠DCB，得∠ACB=∠ACD，即可证明△ACB≌△ACD，得∠B=∠D，所以∠B+∠ACB=∠D+∠ACD=∠EAC=50°，则∠BAC=130°，所以∠BAE=∠BAC−∠EAC=80°．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
15.【答案】−2
【解析】解：∵xm=−2，xn=4，
∴x3m−n
=(xm)3÷xn
=(−2)3÷4
=−8÷4
=−2．
故答案为：−2．
根据幂的乘方与积的乘方将x3m−n化为=(xm)3÷xn，再代入计算即可．
本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂除法的计算方法以及幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确解答的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：不等式组x−a>2x−3a<−2得x>a+2x<3a−2，
∵关于x的不等式组x−a>2x−3a<−2无解，
∴3a−2≤a+2，即a≤2．
分式方程去分母得：ax+5=−3x+15，即(a+3)x=10，
∵分式方程axx−5−55−x=−3有正整数解，
∴x=10a+3，则a+3=1；5；10.解得a=−2，2，7．
综上满足条件的a的值有−2；2．
∴−2×2=−4．
故答案为：−4．
分别解不等式组和分式方程，根据条件得到a的值，再进行乘积计算即可．
本题考查了分式方程的解和一元一次不等式的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：| 5−2|+(2023+π)0+2 5−(−12)−1
= 5−2+1+2 5−(−2)
= 5−2+1+2 5+2
=3 5+1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：去分母，得：2x<3(4x−5)，
去括号，得：2x<12x−15，
移项，得：2x−12x<−15，
合并同类项，得：−10x<−15，
系数化为1，得：x>1.5，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19.【答案】证明：∵CE//DF，
∴∠ECA=∠D，
∵AE/​/BF，
∴∠FBD=∠A，
在△AEC与△BFD中，
∠ECA=∠D∠A=FBDAE=BF，
∴△AEC≌△BFD(AAS)，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，
∴AB=CD．
【解析】证明△AEC≌△BFD，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质；解决此类问题，首先要根据全等三角形的判定，证明三角形全等，然后得出结论．
20.【答案】解：原式=(x−2)2x(x−1)÷x−2x−1
=(x−2)2x(x−1)×x−1x−2
=x−2x，
当x=32时，原式=32−232=−13．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：3−x2−x−3=xx−2，
方程两边都乘2−x，得3−x−3(2−x)=−x，
3−x−6+3x=−x，
−x+3x+x=6−3，
3x=3，
x=1，
检验：当x=1时，2−x≠0，
所以分式方程的解是x=1．
【解析】方程两边都乘2−x得出3−x−3(2−x)=−x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AB/​/CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
∵∠ACD=118°，
∴∠CAB=62°，
由作图可知AM平分∠CAB，
∴∠MAB=12∠CAB=31°；
(2)结论：CN平分∠ACD．
理由：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB/​/CD，
∴∠CMA=∠MAB，
∴∠CAM=∠CMA，
∴CA=CM，
∵CN⊥AM，
∴CN平分∠ACD．
【解析】(1)利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠MAB．
(2)证明CA=CM，再利用等腰三角形的性质证明．
本题考查作图−基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)设《西游记》的订购单价是x元，则《朝花夕拾》的订购单价是1.5x元，
根据题意得：180001.5x−7000x=500，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×10=15(元)．
答：《西游记》的订购单价是10元，《朝花夕拾》的订购单价是15元；
(2)设这个班订购y本《朝花夕拾》，则订购(10−y)本《西游记》，
根据题意得：y≥415y+10(10−y)≤130，
解得：4≤y≤6，
又∵y为正整数，
∴y可以为4，5，6，
∴这个班订购这两种书籍有3种方案，
方案1：这个班订购4本《朝花夕拾》，6本《西游记》，所需总费用为15×4+10×6=120(元)；
方案2：这个班订购5本《朝花夕拾》，5本《西游记》，所需总费用为15×5+10×5=125(元)；
方案3：这个班订购6本《朝花夕拾》，4本《西游记》，所需总费用为15×6+10×4=130(元)．
∵120<125<130，
∴最低总费用为120元．
答：这个班订购这两种书籍有3种方案，按照这些方案订购最低总费用为120元．
【解析】(1)设《西游记》的订购单价是x元，则《朝花夕拾》的订购单价是1.5x元，利用数量=总价÷单价，结合用18000订购《朝花夕拾》的数量是用7000元订购《西游记》的数量多500本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入1.5x中，即可得出《朝花夕拾》的订购单价；
(2)设这个班订购y本《朝花夕拾》，则订购(10−y)本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于4本，且两种书总费用不超过130元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，可得出各订购方案，求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】3+ 5 23
【解析】解：(1)3− 5的有理化因式为3+ 5；
23 2=2× 23 2× 2= 23；
故答案为：3+ 5， 23；
(2)原式=2+ 3+2 3−3 3
=2；
(3)原式= 3−1+ 5− 3+ 7− 5+⋅⋅⋅+ 2023− 2021− 2023
=−1．
(1)根据有理化因式和分母有理化求解；
(2)先分母有理化，然后把各二次根式化为最简二次根式，最后合并即可；
(3)先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
25.【答案】SAS 1【解析】(1)解：如图1，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴EB=AC=6，
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：BE−AB∵AB=4，
∴2∵AE=2AD，
2<2AD<10，
∴1故答案为：SAS，1(2)证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDN中，
ND=NF∠BDF=∠CDNCD=BD，
∴△BFD≌△CND(SAS)，
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，FD=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF，
∴BM+CN>MN；
(3)解：2AD=MN，AD⊥MN，理由如下：
如图3，延长AD于E，使得ED=AD，连接BE，延长DA交MN于F，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
BD=CD∠BDE=∠CDAAD=ED，
∴△CDA≌△BDE(SAS)，
∴BE=AC，∠ACD=∠EBD，
∵∠MAN+∠MAB+∠BAC+∠CAN=360°，∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠MAN+∠CAB=180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠MAN=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBD=∠ABE，
在△MAN和△ABE中，
AM=AB∠MAN=∠ABEAN=BE，
∴△ABE≌△MAN(SAS)，
∴MN=AE=2AD，∠BAE=∠AMN，
∵∠MAF+∠MAB+∠BAE=180°，∠MAB=90°，
∴∠MAF+∠BAE=90°，
∴∠MAF+∠AMN=90°，
∴AF⊥MN，
即AD⊥MN．
(1)通过证明△ADC≌△EDB，得到EB=AC=6，在△ABE中，根据三角形三边关系可得：BE−AB(2)延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，通过证明△BFD≌△CND(SAS)，得到BF=CN，由DM⊥DN，FD=ND，得到MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF；
(3)延长AD于E，使得ED=AD，连接BE，延长DA交MN于F，证明△CDA≌△BDE(SAS)得到BE=AC，∠ACD=∠EBD，证明△ABE≌△MAN(SAS)得到MN=AE=2AD，∠BAE=∠AMN，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到AD⊥MN．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．