2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（14）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，所以.
，所以.
所以，，所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2.已知复数z满足．则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】，所以.
故选：D
3.已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上
所以；

故选：D
4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为：；
令，解得：，展开式中的常数项为.
故选：B.
5.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知､决策､执行等基本特征可以辅助甚至替代人类完成危险､繁重､复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围.为了研究，两个机器人专卖店的销售状况，统计了2020年2月至7月，两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A．根据店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在内
B．根据店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势
C．根据，两店的营业额折线图，可得店的营业额极差比店大
D．根据，两店的营业额折线图，可得店7月份的营业额比店多
【答案】C
【解析】
根据店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值为：，故正确；
根据店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，故正确；
店的营业额的极差为：，店的营业额的极差为: ,故店的营业额极差比店小，故C错误；
由折线图可知店7月份的营业额比店多，故D正确.
故选：C
6.定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，．
设，则．
又，∴，∴．
故选：B
7.函数，则方程在上的根的个数为（ ）
A. 14B. 12C. 16D. 10
【答案】B
【解析】由题意，函数满足，
所以函数为偶函数，
当时，，
因为，即，
设，可得，解得或，
即或，此时共有4个解；
当时，，
因为，即，
设，可得，解得或（舍去），
即，此时共有2个解，
所以方程在上的根的个数为个.
故选：B.
8.已知直线l：与圆相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线的距离最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】直线过点，
圆的圆心为，半径为，.
点在圆上.
设，则，
所以，
即，
整理得（点除外）
所以点轨迹是以为圆心，半径为的圆，点除外.
所以点M到直线的距离最大值为：
.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设，，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，取，则，B错；
对于C选项，，，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，
所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.
故选：ACD.
10.棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A. 与是异面直线 B. 与所成角为
C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD.
11.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中A是影响音的响度和音长，是影响音的频率.平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是，令.已知一个音的发音的频率为200，发音函数，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 的最大值为
C. 在上单调递减 D. 图象过图象的最值点
【答案】ACD
【解析】A选项，，A正确.
B选项，，
，
由于，
所以当，即，时，递增；当，即，时，递减.
所以
，所以B错误.
C选项，，
，
所以当或时，递增；
当或时，递减；
，此时递减，C选项正确.
D选项，由B选项的分析可知，的最大值点为，
.图象过图象的最大值点.
，所以为奇函数，
，所以为奇函数，
所以图象过图象的最小值点.
所以D选项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个的值为_________.
【答案】4（答案不唯一，满足即可）
【解析】由题意得，
，令,解得
或，
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取极大值，
所以的一个取值可取，
故答案为：4（答案不唯一，满足即可）.
13.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以.
.
故答案为： ；
14.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为________.
【答案】
【解析】由题设知：，，且抛物线E为，
∴直线为，联立抛物线方程有，
整理得：，则，即，
令且，则，
∴，
∴，
令，如上图易知：，即，可得，
∴，又，
∴，整理得，而，
∴，则.
故答案为：