河南省新乡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省新乡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点，，，均在横梁的端点处，若，则的长为（ ）
A． B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某学校随机调查了该校100名学生一周的睡眠状况，并把他们平均每天的睡眠时间（单位：h）统计如下：
根据以上结果，若随机抽查该校一名学生，则该学生一周平均每天的睡眠时间不低于的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．某咖啡店11月第一周的营业额为万元，第三周营业额为5万元．设这三周营业额的平均每周的增长率为，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点，，均在正方形网格纸中的格点上，则的值是（ ）

A．B．C．D．
8．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
9．如图，矩形的边，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，若与的面积之比为，则的长为（ ）
A．B．C．D．5
10．如图，抛物线分别交x轴，y轴于点A，B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线的图象上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．计算： ．
12．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式为 ．
13．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
14．已知，是方程的两个根，则 ．
15．如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)解方程：．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
(1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，；
(3)求（2）中的面积．
18．如图，等边三角形的边长为6，点为上的一点，点为上的一点，连接，，若，，求的长．
19．九年级班评选生物课代表时，甲、乙两名同学的选票一致．生物老师决定通过游戏的方式确定最终课代表的人选，游戏规则如下：
第一步：将正面分别印有“月季”“百合”“蜜蜂”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张；
第二步：将正面分别印有“蜻蜓”“桑蚕”“玫瑰”图案的卡片（除卡片正面图案不同外，其余完全相同）背面朝上，洗匀后，随机抽取一张；
若两次抽取的卡片图案为同一类目（同为昆虫或同为花卉），选甲为课代表，反之选乙为课代表．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
20．灵宝苹果细脆多汁，酸甜爽口，深受大家喜爱．某水果批发商销售一批灵宝苹果，每箱苹果的成本是元，经过调查发现当每箱苹果的售价是元时，每天可售出箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出箱．
(1)若水果批发商某天销售灵宝苹果的利润为元，且使顾客得到最大优惠，求每箱灵宝苹果的售价；
(2)这批灵宝苹果在市场一售而空，水果批发商又以同样的价格购进一批灵宝苹果，当每箱灵宝苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？
21．小颖家和学校仅隔一条马路，站在阳台上就能看见教室所在的教学楼．在学习完“解直角三角形”后，老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度，小颖决定测量教室所在教学楼的高度．并制订了测量方案，测量结果如下表：
请运用所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助小颖求出教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
22．随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉式立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面呈抛物线形，如图以主路桥面最低点为原点，以原点所在的水平直线为轴建立平面直角坐标系，已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点到的距离为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象．在一次暴雨后，桥面积水跨径为，小林的爸爸打算驾驶普通轿车从公司回家，已知普通轿车的安全涉水深度不大于，请你帮小林的爸爸计算一下他能否驾车从这个下沉式立交桥安全通过？
23．在中，，，点是边上一动点（不与点，重合），作射线，将沿折叠得到点的对应点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．
【问题发现】（1）如图1，①与的数量关系为________；②若，猜想线段与的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中②的结论还成立吗？并说明理由；
【拓展应用】（3）在（2）的基础上，已知，，在点移动的过程中，若为直角三角形，请直接写出的长．
时间（h）
人数
6
32
41
21
活动课题
测量教室所在教学楼的高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、手机应用——测量
方案示意图
测量步骤
如图，点，在同一水平直线上．
（1）利用手机应用“测量”测得小颖家阳台处离地面的距离为；
（2）利用测角仪在处测得教学楼点处的俯角，教学楼点处的俯角．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数非负，根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若有意义，则即，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．．
【详解】解： A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作于，作于，由题意知，，，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，作于，
由题意知，，，
∴，
∴，即，
解得，，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相关运算法则逐一计算，即可判断答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查概率公式求概率．用第3、4组的人数和除以总人数即可得．
【详解】解：该学生一周平均每天的睡眠时间不低于的概率是，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据第一周的营业额为万元，第三周营业额为5万元列出方程．
【详解】解：设这三周营业额的平均每周的增长率为，则可列方程为：
，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了求正弦值，取格点，勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，

在中，
∴
∴，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设，由四边形是矩形，可得，根据折叠的性质得：，，从而得出，证得，再利用相似三角形性质得出，最后在中，通过，列出方程求解即可．
【详解】设，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
，，
，
，
∵在中，，
∴
解得：（舍去），
∴．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到，再由对称轴为直线，得到，由此即可判断①③；由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点，即可判断②；由抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，由此即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①③正确；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点，在抛物线的图象上，且，
∴，故④错误；
∴正确的有2个，
故选B．
11．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案．
【详解】解：2cs45°
=
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象平移左加右减，上加下减是解题的关键．
根据左加右减，上加下减进行求解作答即可．
【详解】解：由题意知，平移后的抛物线的表达式为，即，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到长，然后根据勾股定理求出长时解题的关键．
【详解】解：∵在中，是边的中点，
∴，
∴，
又∵是的中点，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握的两根，满足，是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出的长，然后再根据勾股定理可得到有关的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键．
【详解】解：∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴,
设，
∵沿折叠得到，
∴，，
①当点F落在上时，过点F作的平行线交于一点M，如图所示：
，
此时，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：；
②当点F落在直线上时，延长边,过点F作的平行线交的延长线于一点N，如图所示：
，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
解得：，
综上的长为或，
故答案为：或．
16．(1)；
(2)，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和解题步骤是解题关键．
（1）先计算乘方和二次根式，再合并同类项即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得：，．
17．(1)，图见解析；
(2)图见解析；
(3)30.
【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形．掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似图形的性质，画出即可；
（3）用割补法求出面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形，
点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求作三角形，
（3）由题图，知，
与的位似比为，
面积比为．
．
18．
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质；根据一线三等角模型，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
．
，
．
．
，

，即，
解得．
．
即的长为．
19．不公平，详见解析．
【分析】列表列出所有等可能的结果，找出其中同为昆虫或同为花卉的情况，根据概率公式即可分别求得选甲、乙为课代表的概率，概率相等即为公平，不相等即为不公平．本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式求概率、游戏的公平性，解题关键是准确地用表格或树状图列出所有等可能情况．
【详解】解：由题意，列表如下：
由表知，一共有9种等可能的情况，其中同为昆虫或同为花卉的情况有4种，
选甲为课代表的概率是，选乙为课代表的概率是．
，
这个游戏对双方不公平．
20．(1)元
(2)当售价为元时，每天可以获得最大利润，最大利润为元
【分析】（1）设每箱灵宝苹果的售价为元，根据题意，得，计算求出满足要求的解即可；
（2）设每箱灵宝苹果的售价为元，销售利润为元，依题意得，，然后根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每箱灵宝苹果的售价为元，
根据题意，得，整理得，
解得，，
要使顾客得到最大优惠，，
∴，
答：每箱灵宝苹果的售价为60元．
（2）解：设每箱灵宝苹果的售价为元，销售利润为元，
依题意得，．
∵，
当时，有最大值，，
答：当每箱灵宝苹果的售价为元时，每天可以获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
21．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，延长交射线于点，先证明四边形为矩形，得到，设，则，解得到，解得到，由此建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，延长交射线于点．
由题意得，
四边形为矩形．
，
设，则，
在中，，
在中，，
∴
解得，
答：教学楼的高度约为．
22．(1)；
(2)能安全通过．
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据题意得出点的坐标为，设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2） 将代入二次函数解析式，得出水面深，比较普通轿车的安全涉水深度，即可求解．
【详解】（1）解： ，主路桥面的最低点到的距离为，
点的坐标为
设抛物线的表达式为，把点代入，得
，
解得．
抛物线的表达式为．
（2）在中，当时，
，
水面深10cm．
，
小林的爸爸能驾车从这个立交桥安全通过．
23．（1）①；②；（2）不成立，见解析；（3）的长为或
【分析】（1）①如图1，延长交于点，连接．由折叠的性质得，，，，，．由三角形内角和定理，对等角相等可求；②证明，则；
（2）由（1）知，证明，则，即．
（3）由勾股定理得，，由，可得，，由题意知，分，两种情况求解：当时，如图2，延长交于，由（2）知，，则，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，，即，求得满足要求的解，进而可求；当时，则，如图3，重合，由折叠的性质可知，，设，则，由勾股定理得，，求得，，进而可求．
【详解】（1）解：①如图1，延长交于点，连接．
图1
由折叠的性质得，，，，，．
∵，，，
∴，
故答案为：；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：不成立，理由如下：
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴（1）中②的结论不成立；
（3）解：∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，，
由题意知，分，两种情况求解：
当时，如图2，延长交于，
由（2）知，，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴；
当时，则，如图3，重合，

由折叠的性质可知，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键．
第一步
第二步
月季
百合
蜜蜂
蜻蜓
（月季，蜻蜓）
（百合，蜻蜓）
（蜜蜂，蜻蜓）
桑蚕
（月季，桑蚕）
（百合，桑蚕）
（蜜蜂，桑蚕）
玫瑰
（月季，玫瑰）
（百合，玫瑰）
（蜜蜂，玫瑰）