云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县第一中学2023-2024学年高二上学期期末教学测评数学试卷(含答案)

这是一份云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县第一中学2023-2024学年高二上学期期末教学测评数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知直线,,若,则实数( )
A.-2B.-1C.0D.1
3．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.B.C.D.
4．已知空间向量,,若,则的值为( )
A.4B.2C.1D.无法确定
5．已知集合,,则中的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.l或2
6．要得到函数的图象,只要将函数的图象( )
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
7．红灯笼,起源于中国的西汉时期,两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高,若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积.如图1,已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为( )
A.B.C.D.
8．已知,（e为自然对数的底数）,比较a,b,c的大小( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于三角函数的性质,下列说法正确的是( )
A.函数的最小周期为
B.函数的一个对称中心为
C.函数的图象关于对称
D.函数在区间上单调
10．设,,为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,则上列命题中正确的是( )
A.若,,,,则
B.若,且,则
C.若,,则
D.若,,,,则
11．下列说法正确的是( )
A.若直线l过点,且被两直线,截得的线段恰被点A平分,则直线l的方程为
B.命题,,若命题p是假命题,则
C.中,是的充要条件
D.“”是“,的夹角为钝角”的充分不必要条件
12．如图所示,四棱锥中,F为BC的中点,E、G分别为线段PA、PB上的一动点;为等边三角形,底面ABCD为平行四边形,平面平面PBC,,,下列说法正确的是( )
A.存在点E,使得平面PDF
B.若E为PA的中点,则三棱锥的体积为
C.PD为定值6
D.若三棱锥与三棱锥的体积之比为,则线段EG长度的最小值为2
三、填空题
13．已知复数,i为虚数单位,则_____________.
14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为_________________.
15．已知关于x的不等式在上有解,则a的取值范围为______________.
16．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则周长的最小值为_______________.
四、解答题
17．《青年大学习》是共青团中央组织的以“学习新思想,争做新青年”为主题的党史团课学习行动,2023年已开展到第9期.团县委为了解全县青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况,从全县随机抽取1000名青年进行调查,统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟）,根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
(1)求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的第75百分位数;
(2)县宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会.办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在和的青年中共抽取5人,且从参会的5人中又随机抽取2人发言,求学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率.
18．已知圆C经过,两点,且圆心在直线上,直线.
(1)求圆C的方程;
(2)证明：直线l与圆C相交.
19．某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值（单位：）,计算得男生样本的均值为170,方差为17,女生样本的均值为160,方差为30.
(1)根据以上信息,能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
(2)如果已知男、女样本量按比例分配,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？
20．如图,已知底面ABCD是正方形,平面ABCD,,,点E、F分别为线段PB、CQ的中点.
(1)求证：平面PADQ;
(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值.
21．在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,.
(1)证明：;
(2)求当面积取得最大值时,的周长.
22．已知椭圆,A是椭圆的右顶点,B是椭圆的上顶点,直线与椭圆交于M、N两点,且M点位于第一象限.
（1）若,证明：直线AM和AN的斜率之积为定值;
（2）若,求四边形MBN的面积的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题,
则“,”的否定为：
,.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为直线,,若,则,解得.
故选：B.
3．答案：C
解析：由抛物线可得,
则抛物线的焦点坐标为,准线方程为.
所以抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,所以,使得,
即对应坐标成比例,即,
则,,所以.
故选：A.
5．答案：A
解析：首先联立方程,
得,解得：或,
当时,,此时,舍去;
当时,,此时,舍去,
所以为空集.
故选：A.
6．答案：A
解析：因为,
所以将的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
故选：A.
7．答案：C
解析：由题意得：,
所以cm,
所以cm,
所以两个球冠的面积为cm2,
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：
,
故选：C.
8．答案：D
解析：由三角函数线可得：不等式,
则,
又函数为增函数,为减函数,
则,
所以,
综上所述：,
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A选项,函数的最小周期为,A对;
对于B选项,因为,
所以,函数的一个对称中心为,B错;
对于C选项,因为,
则且,
故函数的图象不关于直线对称,C错;
对于D选项,当时,,
又因为正弦函数在上单调递增,所以,函数在上单调递增,D对.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：由,,为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,知：
A.若,,,,则与相交或平行,故A错误;
B.若,,且,则由面面垂直的判定定理得,故B正确;
C.若,,则l与相交､平行或,故C错误;
D.若,,,,
则由线面平行的性质定理得.故D正确.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对于A,设两交点为B,C,点B在直线上,则,,
由中点坐标公式得：,代入方程,得,
则,则,
所以所求直线方程为,即,故A正确;
对于B,因为命题p是假命题,所以,为真命题,
当时,不等式为恒成立;
当时,需满足,解得,
综上所述,a的取值范围为,故B不正确;
对于C,若,由三角形中“大边对大角”可知,,
由正弦定理可知,;
若,由正弦定理可知,,从而,
故“”是“”的充要条件,故C正确;
对于D,“,的夹角为钝角”的充要条件是“且不平行于”,
所以“”是“,的夹角为钝角”的必要不充分条件,故D不正确.
故选：AC.
12．答案：ABD
解析：对于A选项,如下图所示,取PD的中点H,连接FH,
当点E为PA的中点时,EH为的中位线,则,且,
因为四边形ABCD为平行四边形,则且,
因为F为BC的中点,所以,且,
所以,且,所以,四边形BEHF为平行四边形,则,
因为平面PDF,平面PDF,则平面PDF,
所以,当点E为PA的中点时,平面PDF,A对;
对于B选项,因为,,
因为F为BC的中点,则,
因为平面PDF,则点B到平面PDF的距离等于点E到平面BDF的距离,
当点G为PB的中点,连接AG,
因为为等边三角形,所以,,
因为平面平面PBC,平面平面,平面PBC,
所以,平面PBC,且,
因为四边形ABCD为平行四边形,则,
因为平面PBC,平面PBC,则平面PBC,
所以,点D到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离,
所以,B对;
对于C选项,取线段PB的中点O,连接OA、OF,
由B选项可知,平面PBC,
因为O、F分别为PB、BC的中点,则,
因为,则,
以点O为原点,分别以OA、OF、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
由,
所以,,
所以,C错;
对于D选项,,
又,所以,即,
由余弦定理得,
当且仅当时,等号成立,所以线段EG长度的最小值为2,选项D正确,
故选：ABD.
13．答案：
解析：方法一：因为,
所以.
方法二：.
故答案为：.
14．答案：
解析：不妨设双曲线的一条渐近线为,
圆的圆心为,半径,
则圆心到渐近线的距离为
所以弦长,
化简得：,即,解得,
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：原不等式等价于在有解,则,
又因为函数在上单调递增,则,所以.
故答案为：.
16．答案：9
解析：方法一：由余弦定理得：,
即,又,
则,所以,即,
则,又两边之和大于第三边,即,
所以c的取值范围,所以周长的最小值为.
方法二：（均值换元法）设,,,
则由正弦定理和等比和定理得：,
所以,
由得,所以,
所以周长的最小值为.
故答案为：9.
17．答案：(1)84
(2)
解析：（1）由频率之和为1,即,解得,
频率直方分布图中从左到右的个小矩形面积面积依次记为、、···、,
因为,,
所以设第75百分位数为x,则,则,解得,
即样本第75百分位数为84.
（2）学习时长在和的青年人数之比为.
从中抽5人,则学习时长在的抽取2人,记为A、B,
学习时长在的抽取3人,记为a、b、c,
从5人中随机再抽2人的方法为：AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、ab、ac、bc,共10种,
其中学习时长在中至少有人被抽中的方法有：AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc,共7种,
故学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）方法一：设所求圆的标准方程为,
由已知条件得：,解得：,
所以圆C的方程为.
方法二：因为点C为圆心,点C在直线上,
则可设.
所以,即,解得,
所以圆心,半径长,
所以圆C的方程为.
方法三：由已知可得线段AB的中点坐标为,,
所以弦AB的垂直平分线的斜率为,线段AB的垂直平分线方程为,
则圆心是直线与的交点.
由得：,
即圆心坐标为,半径长,
所以圆C的方程为.
（2）证明：方法一：因为,即
所以由直线l的方程可知：直线l恒过定点,
又因为点P到圆心的距离为,
所以点P在圆C内部,即直线l与圆C相交.
方法二：由直线,
可得圆心到l的距离.
因为,
所以,
即,
所以直线l与圆C相交.
19．答案：(1)不能,因为题目没有给出男、女生的样本量
(2)均值为166,方差为46.2
解析：（1）不能,因为题目没有给出男、女生的样本量.
（2）总体样本的均值为,
总体样本的方差为.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：
方法一：如图,
分别取AB、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH.
由题意可知点E、F分别为线段PB、CQ的中点,
所以,.
又因为,所以,
则点E、G、H、F四点共面.
因为G、H分别为AB、CD的中点,
所以.
又因为平面ADQP,平面ADQP,
所以平面ADQP.
又因为,平面ADQP,平面ADQP,
所以平面ADQP.
又因为,FH、平面EGHF,
所以平面平面ADQP.
因为平面EGHF,
所以平面ADQP.
方法二：因为ABCD为正方形,且平面ABCD,
所以AP、AB、AD两两互相垂直,
以点A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,、、、、,,所以.
因为,,,平面PADQ,平面PADQ,
所以平面PADQ,则平面PADQ的一个法向量.
因为,所以.
又因为平面ADQP,所以平面ADQP.
（2）设平面PCQ的法向量,
因为,,
则,取,可得,
所以平面PCQ的一个法向量为,
易知平面CQD,,
所以平面CQD的一个法向量.
设平面PCQ与平面CQD夹角为,
则,
所以平面PCQ与平面CQD夹角的余弦值为.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：由,得：,
由正弦定理得：,所以.
（2）由余弦定理得：,
所以,
所以,
当且仅当,即时,面积取得最大值,此时,
所以的周长为.
22．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明：设,则,
,,,,
在椭圆上,
为定值.
（2）设,依题意：,M点在第一象限,.
联立：得：,
,,
设A到l的距离为,B到l的距离为,
,,
.
又
（当时取等号）,
.
四边形AMBN的面积的最大值为.