数学4 角平分线教学课件ppt

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在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
活动1:画下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
你能证明这两个结论吗？
点拨：两条角平分线相交于一点，证该点也在第三条角平分线上
发现：三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F求证： ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE，同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P 在∠A的平分线上. ∴ ∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
符号语言：∵如图，在△ABC中， ∠B 、∠C的平分线相交于点P， ∴ ∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
三角形三条内角的平分线性质定理
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm，AC的长;
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，
知识点一：三角形三边的垂直平分线
（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.(2)求证：AB=AC+CD.
1. 已知，如图，△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P，PD⊥AB，PE⊥ BC，PF ⊥CA，垂足分别为D、E、F，PD=2cm，则PE=_____，PF=_____.
2．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）A．三角形的三条角平分线的交点处B．三角形的三条中线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对
3. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．如图，已知△ABC的周长是20，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（　　）
A．20B．12C．10D．8
5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（　　）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别为30，40，50，AO，BO，CO分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（　　）
A．3：4：5B．1：2：3C．2：3：4D．1：1：1
　6. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.　求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴　CD＝DE (角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上中点，连接AM、DM，且AM平分∠BAD，求证：DM平分∠ADC．
证明：过M作MN⊥AD于N，∵∠B=90°，AM平分∠BAD，∴BM=NM，∵M为BC的中点，∴BM=CM，∴MN=CM，又∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°=∠MND，∴DM平分∠ADC．
8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积.
7．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.
完成课本P32习题1.10中第1、2、3、4题