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浙江省宁波市余姚市2024届高三上学期期末数学试题（学生版）
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这是一份浙江省宁波市余姚市2024届高三上学期期末数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学试题卷
说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. 2C. 1D.
3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A B. 5C. 2D. 1
5. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）
A. 1878B. 1881C. 1891D. 1993
8. 已知为双曲线：一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 相关系数越接近1，变量，相关性越强
B. 若随机变量，满足，则
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型拟合效果越差
D. 设随机变量服从二项分布，则
10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 的最小值是
D. 方程在区间内恰有个实数解
11. 在棱长为2正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A. P为中点时，的值最小
B. 不存在点P，使得平面平面
C. P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D. P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
12. 已知O为坐标原点，F为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为的直线交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N，则下列说法正确的是（ ）
A. C的准线方程为B.
C. 三角形的面积D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________.
14. 已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15. 已知，求__________.
16. 已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，，.
（1）求A；
（2）已知M为直线上一点，，，求的面积.
18 已知数列满足，，，
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
19. 如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20. 杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束.
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
21. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内恒成立，求整数的最大值.
22. 在平面直角坐标系中，，是椭圆：的左、右焦点，是C的左顶点，过点A且斜率为的直线交直线上一点M，已知为等腰三角形，.
（1）求C的方程；
（2）在直线上任取一点，直线：与直线交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意，恒成立，求m的值.
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
获胜概率
高三数学试题卷
说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. 2C. 1D.
3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A B. 5C. 2D. 1
5. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）
A. 1878B. 1881C. 1891D. 1993
8. 已知为双曲线：一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 相关系数越接近1，变量，相关性越强
B. 若随机变量，满足，则
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型拟合效果越差
D. 设随机变量服从二项分布，则
10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 的最小值是
D. 方程在区间内恰有个实数解
11. 在棱长为2正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A. P为中点时，的值最小
B. 不存在点P，使得平面平面
C. P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D. P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
12. 已知O为坐标原点，F为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为的直线交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N，则下列说法正确的是（ ）
A. C的准线方程为B.
C. 三角形的面积D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________.
14. 已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15. 已知，求__________.
16. 已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为，设圆锥顶点为P，平面为经过圆锥顶点的平面，且与直线所成角为，设平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，，.
（1）求A；
（2）已知M为直线上一点，，，求的面积.
18 已知数列满足，，，
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
19. 如图所示，在多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，，点P是棱上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20. 杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束.
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
21. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内恒成立，求整数的最大值.
22. 在平面直角坐标系中，，是椭圆：的左、右焦点，是C的左顶点，过点A且斜率为的直线交直线上一点M，已知为等腰三角形，.
（1）求C的方程；
（2）在直线上任取一点，直线：与直线交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意，恒成立，求m的值.
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
获胜概率
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