浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

这是一份浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|3x−1≤1}，则A∩B＝（ ）
A．[1，3]B．（1，3]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）
2．已知复数z满足z=−zi（i为虚数单位），且|z|=2，则z2＝（ ）
A．2iB．﹣2iC．2+2iD．2−2i
3．已知随机变量X1，X2分别满足二项分布X1～B（n1，13），X2～B（n2，13），则“n1＞n2”是“D（X1）＞D（X2）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若0＜x＜12，则不等式1x+11−2x的最小值是（ ）
A．3+22B．6C．42D．9
5．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg2≈0.3）（ ）
A．3 小时B．4 小时C．5 小时D．6小时
6．已知定义在R上的函数f（x）满足sinxf（x）+csxf′（x）＞0，则（ ）
A．f(π3)＜3f(π6)B．f(π6)＜3f(π3)
C．f(π3)＞3f(π6)D．f(π6)＞3f(π3)
7．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an+1＝an+bn，bn+1＝an﹣bn，则an＝（ ）
A．2n﹣1B．2n−12
C．2n+12D．22n−1+(−1)n4
8．已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝23，二面角D﹣AB﹣C的大小为23π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84 π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．已知平面向量a→=（3，1），b→=（x，﹣3），则下列命题正确的是（ ）
A．若a→∥b→，则x=−33B．若a→⊥b→，则x=3
C．若|a→+b→|=7，则x＝0D．若＜a→，b→＞=5π6，则x=−3
（多选）10．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形且∠DAB=π3，A1A=32AB，∠A1AB＝∠A1AD，O为A1C1的中点，P为线段AB1上的动点，则下列命题正确的是（ ）
A．{OA→，BD→，AB1→}可作为一组空间向量的基底
B．{OA→，OD→，AB→}可作为一组空间向量的基底
C．直线OP∥平面C1BD
D．向量CP→在平面AB1D1上的投影向量为OP→
（多选）11．已知函数f（x）＝cs2x，g(x)=sin(2x+π3)，则（ ）
A．将函数y＝f（x）的图象右移π12个单位可得到函数y＝g（x）的图象
B．将函数y＝f（x）的图象右移π6个单位可得到函数y＝g（x）的图象
C．函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x=π24对称
D．函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于点(7π24，0)对称
（多选）12．已知数据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，若去掉x4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记x1，x2，x3，x4的平均数与方差为x1，s12，记x4，x5，x6，x7的平均数与方差为x2，s22，则（ ）
A．x1+x2＞2x4
B．x1+x2＜2x4
C．s12−s22＞14[k=14 （xk﹣x4）2−k=47 （xk﹣x4）2]
D．s12−s22＜14[k=14 （xk﹣x4）2−k=47 （xk﹣x4）2]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线y=3的倾斜角是 ．
14．已知二项式（1+2x）n的展开式中含x2的项的系数为84，则n＝ ．
15．位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”．如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 米．（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
16．已知点P是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a，b＞0）与圆x2+y2＝a2+13c2在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率e＝ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝8，角C为锐角，已知△ABC的面积为47．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）若CD为AB上的中线，求∠BDC的余弦值．
18．已知Sn为公差为2的等差数列{an}的前n项和，若数列{Snan}为等差数列．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求数列{S2n}的前n项和．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AC=12AA1＝2，AB⊥AC，D，E分别为线段CC1，BB1上的点，CD＝1．
（Ⅰ）证明：平面BDA⊥平面ECA1；
（Ⅱ）若点B1到平面ECA1的距离为47，求直线BD与平面ECA1所成的角的正弦值．
20．已知点F1，F2为椭圆C：x22+y2＝1的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足F1P∥F2Q，且P，Q在x轴上方，直线F1Q，F2P交于点G．已知直线PF1的斜率为k（k＞0）．
（Ⅰ）当k＝1时，求|PF1|+|QF2|的值；
（Ⅱ）记△PF1G，△QF2G的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值．
21．我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水．某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
（Ⅰ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？
（Ⅱ）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求P（B|A）．
参考公式与数据：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
22．定义满足f（x0）＝f'（x0）的实数x0为函数y＝f（x）的然点．已知f（x）＝（lnx+a）e﹣x．
（Ⅰ）证明：对于∀a∈R，函数y＝f（x）必有然点；
（Ⅱ）设x0为函数y＝f（x）的然点，判断函数g（x）＝f（x）﹣f（x0）的零点个数并证明．
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中秋天气
元宵天气
合计
降水
无降水
降水
19
41
60
无降水
50
90
140
合计
69
131
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828