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山西省阳泉市2024届高三上学期期末数学试题（学生版）
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这是一份山西省阳泉市2024届高三上学期期末数学试题（学生版），共6页。
高三数学
注意事项：
1．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将本试题的答题卡交回．
5．试题满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A. B. C. 1D.
4. 若，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点A，抛物线C：的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）
A. B. C. D.
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了（ ）
A 192里B. 148里C. 132里D. 124里
8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，完全选对得满分，漏选得2分，错选得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 图象的一条对称轴方程为
B. 图象的一个对称中心为
C. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象
D. 将图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
11. 已知､是双曲线C：的上､下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线C的渐近线方程为
B. 以为直径的圆方程为
C. 点M的横坐标为
D. 的面积为
12. 如图，矩形中，，为边中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（ ）
A. 翻折到某个位置，使得
B. 翻折到某个位置，使得平面
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 点在某个球面上运动
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知，，若，则____．
14. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A+的概率是______.
15. 等差数列的前n项和为，若，则______
16. 已知函数．若存在实数，，使在上的值域为，请写出一个符合条件的的值____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 中，角，，的对边分别是，，，
（1）求角；
（2）若为边的中点，且，求的最大值.
18. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）设，若点到平面的距离为,
求二面角的大小.
20. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
21. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值.
22. 设函数．
（1）证明：当时，；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围．
高三数学
注意事项：
1．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将本试题的答题卡交回．
5．试题满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A. B. C. 1D.
4. 若，且，则（ ）
A B. C. D.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点A，抛物线C：的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）
A. B. C. D.
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了（ ）
A 192里B. 148里C. 132里D. 124里
8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，完全选对得满分，漏选得2分，错选得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 图象的一条对称轴方程为
B. 图象的一个对称中心为
C. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象
D. 将图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ）
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
11. 已知､是双曲线C：的上､下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线C的渐近线方程为
B. 以为直径的圆方程为
C. 点M的横坐标为
D. 的面积为
12. 如图，矩形中，，为边中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（ ）
A. 翻折到某个位置，使得
B. 翻折到某个位置，使得平面
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 点在某个球面上运动
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知，，若，则____．
14. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A+的概率是______.
15. 等差数列的前n项和为，若，则______
16. 已知函数．若存在实数，，使在上的值域为，请写出一个符合条件的的值____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 中，角，，的对边分别是，，，
（1）求角；
（2）若为边的中点，且，求的最大值.
18. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）设，若点到平面的距离为,
求二面角的大小.
20. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
21. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值.
22. 设函数．
（1）证明：当时，；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围．
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