高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

这是一份高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步达标检测题，共21页。
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若 AC=a，BD=b，则FE=（ ）
A．112a+14bB．34a+14bC．14a+112bD．14a+34b
【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）
2．在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=a，AF=b，则AC=（ ）
A．67a+37bB．37a+67b
C．34a+13bD．13a+34b
【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）
3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底a，b表示为（ ）
A．12(a+b)B．23a+13b
C．13a+23bD．13(a+b)
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）
4．在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则AF=（ ）
A．14a+34bB．23a+13bC．34a+14bD．13a+23b
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）
5．已知G是△ABC的重心，点D满足BD=DC，若GD=xAB+yAC，则x+y为（ ）
A．13B．12C．23D．1
【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）
6．在△ABC中，D为边BC的中点，E在边AC上，且EC=2AE，AD与BE交于点F，若CF=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．-12B．-34C．12D．34
【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）
7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yADx,y∈R，则x-y等于（ ）
A．1B．-1C．12D．-12
【变式2-3】（2022秋•安徽期末）
8．已知四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．12B．13C．14D．1
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
（1）向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
（2）利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）
9．若a=(3,2),b=(0,-1)，则4a+3b的坐标为（ ）
A．(5,12)B．(12,6)C．(12,5)D．(-12,-5)
【变式3-1】（2022·高二课时练习）
10．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AD=2,4，AC=1,3，则BD=（ ）
A．-2,4 B．-3,-5 C．3,5 D．-3,-7
【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）
11．已知向量a=(-1,2),b=(3,-5)，则3a+2b等于（ ）
A．(3,-4)B．(0,-4)C．(3,6)D．(0,6)
【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）
12．已知向量a=2,-1，b=1,6，c=7,3，则c可用a与b表示为（ ）
A．3a+bB．a+3bC．3a+2bD．3a-b
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）
13．在平面直角坐标系中，已知a=1,-2，b=3,4.
(1)若3a-b// a+kb，求实数k的值；
(2)若(a-tb)⊥b，求实数t的值.
【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）
14．已知a=1,0,b=2,1
（1）当k为何值时，ka-b与a+2b垂直
（2）若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A､B､C三点共线，求m的值．
【变式4-2】（2023·高一单元测试）
15．已知a=1,2，b=-3,2．
(1)当k为何值时，ka+b与a-3b垂直？
(2)当k为何值时，ka+b与a-3b平行？
【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）
16．已知向量a=3,2，b=x,-1
(1)当2a-b⊥b，求x的值；
(2)当c=-8,-1，a∥b+c，求向量a与b的夹角α
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）
17．如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120∘，|OA|=|BC|=2|AB|=4．
(1)求AB坐标；
(2)若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）
18．已知平行四边形ABCD中，EC=2DE，FC=2BF，FG=2GE.
(1)用AB，AD表示AG；
(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如图建立直角坐标系，求GB和DF的坐标.
【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）
19．已知半圆圆心为O点，直径AB=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若PA=34CA-14CB，求PA与CB夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使PA⋅PO取得最小值，并求此最小值．
【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）
20．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，点M满足OM=12OA，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与OC共线的单位向量a的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使(OA-λOP)⊥CM?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三角函数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）
21．已知O为坐标原点，OA=(1,3),OB=(csα,sinα)．
(1)若α=π3，求|OA+OB|；
(2)若α∈0,π2，求OA⋅OB的取值范围．
【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）
22．已知向量a=2,1,b=csθ,sinθ.
(1)若a⊥b，求3csθ+sinθcsθ-sinθ的值；
(2)求a⋅b的最大值及a⋅b取得最大值时角θ的余弦值.
【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖·高三阶段练习）
23．已知a=sinx+csx,2csθ,b=2sinθ,12sin2x.
(1)若c=(-3,4)且 x=π4,θ∈0,π时，a与c的夹角为钝角，求csθ的取值范围；
(2)若θ=π3，函数fx=a⋅b，求fx的最小值.
【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）
24．已知向量a=csx,sinx,b=3,-3,x∈0,π.
(1)若a+b∥b，求x的值；
(2)记fx=a⋅b，求函数fx的图象向右平移π3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数gx的图象，求函数gx的值域.
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用a,b表示出FD,DE即可求解作答.
【详解】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如图，
则OC=12AC=12a,OD=12BD=12b，而点E为CD的中点，
有DE=12DC=12(OC-OD)=14a-14b，由DE//AB得：|FD||BF|=|DE||AB|=12，
则有FD=13BD=13b，
所以FE=FD+DE=13b+14a-14b=14a+112b.
故选：C
2．B
【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD，BC=AD，DC=AB，
因为BE=12EC，DF=2FC，
所以BE=13BC，DF=23DC
所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD，
AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB,
因为AE=a，AF=b，
所以AB+13AD=aAD+23AB=b，解得 AB=97a-37bAD=97b-67a，
所以AC=AB+AD=97a-37b+97b-67a=37a+67b，
故选：B.
3．C
【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【详解】因为BD=2DC，所以BD=23BC.
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)
=13AB+23AC=13a+23b
故选：C
4．D
【分析】设AF=λAE 0