2023-2024学年浙江省金华市永康市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市永康市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知x=3y，则x+yy的值为( )
A. 14B. 13C. 3D. 4
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视，正在播放动画片B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯D. 实心铁块放入水中会下沉
3.已知一个斜坡AB的长为m米，坡角为α度，则斜坡高度BC为( )
A. msinα米
B. msinα米
C. mcsα米
D. mtanα米
4.将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为( )
A. y=−2(x−4)2B. y=−2x2−4C. y=−2(x+4)2D. y=−2x2+4
5.如图，折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，图中BC的长为( )
A. 205π18cmB. 22πcmC. 205π9cmD. 23πcm
6.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，则点D的坐标为( )
A. (−1,−2)B. (−23,−2)C. (−2,−1)D. (−2,−23)
7.在△ABC中，∠C=90°，tanA=43，则csA为( )
A. 35B. 34C. 45D. 43
8.如图，点A，B，C，D都在⊙O的圆周上，AB/​/OC，OA//BC，则∠BDC的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 60°
9.在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(2,1)，D(3,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为( )
A. 2B. 32C. 76D. 56
10.如图，平行线l1，l2分别经过⊙O直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3/​/l1交AB于点D，若l1，l2之间的距离为16，ADBD=13，BC=20，则AB的长为( )
A. 4 26
B. 21
C. 5 17
D. 7 10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心的距离为5cm，那么点P在______(选填“圆内”，“圆上”，“圆外”)．
12.如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似.你添加的条件是______．
13.如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为______．
14.如图1，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为3米，半径为2米，则圆心O到水面AB的距离为______米.
15.函数y=x2−3x(x>0)x(x<0)的图象如图所示，若直线y=x+t与该图象只有一个交点，则t的取值范围为______．
16.如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.E为BD上一点，DF⊥AE于点F，交AO于点G，连结CF交BD于点H．
(1)若DE=7，BE=1，则tan∠ODG的值为______；
(2)若DE：BE=7，则CH：CF的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：2cs30°+sin45°−tan60°
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知二次函数y=x2+2x−3．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)若此抛物线与x轴交于A，B两点，求AB的长．
19.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F．
(1)求证：△ABE∽△CFB；
(2)若△DEF的面积为4，DFCF=23，求△ABE的面积．
20.(本小题8分)
小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏.已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为90°，90°，180°，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
(1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率；
(2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率；
(3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，小明进行如下的测量.已知测角仪的高度AB为1.75m，从点B处看塔顶P的仰角为30°，向前移动64m到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为60°．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为23°，且测得点E到塔中心F的距离为5m.求古塔的高度PF(参考数据：sin23°≈0.39，cs23°=0.92，tan23°=0.42， 3≈1.73，结果精确到0.1米)．
22.(本小题10分)
请阅读下列材料并完成相应的问题：如果一个点把一条线段分割成两部分，较长线段与整条线段之比等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，也称为中外比.如图1，点B是线段AC的黄金分割点，ABAC或BCAB就是黄金比，其比值为 5−12.当等腰三角形的底与腰之比为黄金比时，这个三角形是黄金三角形．
(1)已知一本书的宽与长之比等于黄金比，它的长为26cm，求它的宽；
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：△ABC是黄金三角形；
(3)如图3，AB是⊙O的内接正十边形的边长，求sin18°的值．
23.(本小题10分)
已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表：
(1)若n=−2时，求此时二次函数的表达式；
(2)当x=0.5时y>0，求m+n的取值范围；
(3)若点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值．
24.(本小题12分)
如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，CD⊥AB于点D，在BC上截取CE=AC，连结AC，AE，AE与CD相交于点F．
(1)求证：AF=CF；
(2)若AD=2，AE=6，
①求CF的长；
②如图2，连结BC，BC与AE相交于点G，求△ABG的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x=3y，
∴xy=3，
∴x+yy=3+11=4．
故选：D．
先利用内项之积等于外项之积得到xy=3，然后根据合比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故A不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、实心铁块放入水中会下沉，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AB=m，∠A=α，sinα=BCAB，
∴BC=AB⋅sinα=m⋅sinα(米)．
故选：B．
坡角的正弦值=垂直高度：坡面距离，据此即可解答．
此题主要考查学生解直角三角形的应用，掌握坡角和三角函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为：y=−2x2−4．
故选：B．
根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5.【答案】C
【解析】解：∵折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，
∴BC的长为164⋅π×25180=2059π(cm)，
故选：C．
根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，
∴点D的坐标为(−13×6,−13×2)，即(−2,−23).
故选：D．
根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B点额横纵坐标都乘以−13得到点D的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=43，
设BC=4x，AC=3x，
∴AB= (3x)2+(4x)2=5x，
∴csA=ACAB=3x5x=35．
故选：A．
先根据正切的定义得到tanA=BCAC=43，则可设BC=4x，AC=3x，利用勾股定理得到AB=5x，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵AB/​/OC，OA//BC，
∴四边形ABCO是平行四边形，∠AOB=∠OBC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴∠AOB=∠COB，
∴∠COB=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=∠OCB=∠COB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=12∠BOC=30°，
故选：C．
连接OB，根据题意求出四边形ABCO是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出∠OBC=∠OCB=∠COB，则△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=2a+b+c=04a+2b+c=1，
解得：a=32b=−72c=2，
设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=2a+b+c=09a+3b+c=3，
解得：a=76b=−196c=2，
设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=24a+2b+c=19a+3b+c=3，
解得：a=56b=−136c=2，
设过B、C、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
a+b+c=04a+2b+c=19a+3b+c=3，
解得：a=12b=−12c=0，
∵12<56<76<32，
∴a的值最大为：32．
故选：B．
待定系数法分别求出表达式比较a的大小即可．
本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
10.【答案】C
【解析】解：过C点作CM⊥l1于点M，MC的延长线交l2于N点，如图，
∵l1/​/l2，
∴MN⊥l2，
∴MN=16，
∵l3//l1//l2，
∴MCCN=ADBD=13，
∴MCMN=14，
∴MC=14MN=14×16=4，
∴CN=12，
在Rt△BCN中，BN= BC2−CN2= 202−122=16，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACM+∠CAM=90°，∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CAM=∠BCN，
∵∠CMA=∠CNB，
∴△ACM∽△CBN，
∴ACBC=MCNB，即AC20=416，
解得AC=5，
在Rt△ACB中，AB= AC2+BC2= 52+202=5 17．
故选：C．
过C点作CM⊥l1于点M，MC的延长线交l2于N点，如图，利用平行线的性质得到MN⊥l2，则MN=16，再利用平行线分线段成比例定理计算出MC=4，则CN=12，于是利用勾股定理可计算出BN=16，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后证明△ACM∽△CBN，利用相似比可计算出AC=5，最后利用勾股定理可计算出AB的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．
11.【答案】圆外
【解析】解：∵点到圆心的距离d=5>4=r，
∴该点P在⊙O外．
故答案为：圆外．
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
12.【答案】答案不唯一∠AED=∠ACB
【解析】解：∵∠A=∠A
∴当∠AED=∠ACB或∠ADE=∠ABC或AEAC=ADAB时，△ADE∽△ABC．
△ADE和△ABC中，∠A是公共角，再找一组对应角相等，或者夹∠A的两边对应成比例都可得到两三角形相似．
本题的主要考查点是三角形相似的判定．
13.【答案】 22
【解析】解：如图，连接BC．
观察图象可知△ABC使是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴cs∠BAC= 22．
故答案为： 22．
连接BC，判断出△ABC是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是判断出∠BAC=45°．
14.【答案】 72
【解析】解：过点O作OC⊥AB，连接OA，则AC=12AB=1.5米，如图，
在Rt△AOC中，OC2=OA2+AC2，
∴OC= 22−1．52= 72米．
故答案为： 72．
过点O作OC⊥AB，连接OA，则AC=12AB=1.5米，在Rt△AOC中用勾股定理可求OC．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】t>0或t=−4
【解析】解：∵y=x+t与y=x平行，
∴当t>0时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，
联立y=x2−3xy=x+t，
∴x2−3x=x+t，即，x2−4x−t=0，
∵只有一个交点，
∴16+4t=0，
∴t=−4，
∴t的取值范围为：t>0或t=−4．
由y=x+t与y=x平行可得当t>0时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，将y=x2−3x与直线y=x+t联立方程组，使b2−4ac=0，此时只有一个交点．
本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．
16.【答案】34 2546
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，
∴∠DOG=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFG=90°，
∴∠AFG=∠DOG，
∵∠DGO=∠AGF，
∴∠OAE=∠ODG，
∵DE=7，BE=1，
∴AC=BD=8，
∴OA=OD=4，OE=DE−OD=3，
∴tan∠ODG=tan∠OAE=OEOA=34，
故答案为：34；
(2)如图，
作FX//AB，交BE于X，
∴△EFX∽△EAB，
∴ABBF=AEEF，
不妨设DE=7，BE=1，
由(1)知：tan∠ODG=34，
∴sin∠ODG=35，
∴EF=DE⋅sin∠ODG=215，
在Rt△AOE中，OA=4，OE=3，
∴AE=5，
∴ABFX=5215=2521，
∵AB/​/CD，
∴FX//CD，
∴△CHD∽△FHX，
∴CFFH=CDFX=ABFX=2521，
∴CFCF=2546，
故答案为：2546．
(1)可证得∠OAE=∠ODG，进一步得出结果；
(2)作FX//AB，交BE于X，可证得△EFX∽△EAB，从而ABBF=AEEF，不妨设DE=7，BE=1，可求得EF=DE⋅sin∠ODG=215，在Rt△AOE中求得AE=5，从而ABFX=5215=2521，可证得△CHD∽△FHX，从而得出CFFH=CDFX=ABFX=2521，进而得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：原式=2× 32+ 22− 3，
= 3+ 22− 3，
= 22．
【解析】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
18.【答案】解：(1)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)；
(2)当y=0时，x2+2x−3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∴点A、B的坐标为(−3,0)，(1,0)，
∴AB=1−(−3)=4．
【解析】(1)把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
(2)解方程x2+2x−3=0得点A、B的坐标为(−3,0)，(1,0)，从而可得AB的长．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB；
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴△DEF∽△AEB，
∵DFCF=23
∴DFCD=DFAB=25，
∴S△DEF：S△AEB=(25)2=4：25，
∵S△DEF=4，
∴S△ABE=25．
【解析】(1)根据平行四边形的性质求出∠A=∠C，∠CBE=∠E，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)根据平行四边形的性质求出AB/​/CD，进而推出△DEF∽△AEB，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把蓝色部分分成圆心角为90°的两个扇形，共4种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能，
∴P指针落在红色区域=14；
(2)列表法，
共有16种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种，
∴P指针都落在蓝色区域=416=14；
(3)∵P指针落在黄色区域=14，P指针都落在蓝色区域=416=14．
∴公平．
【解析】(1)求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率；
(2)列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率；
(3)
本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握P=事件可能出现的结果÷所有可能结果．
21.【答案】解：(1)如图1，
∵∠PBD=30°，∠PDG=60°
∴∠BPD=∠PBD=30°
∴PD=BD=64m．
答：点D与塔顶P的距离为64m；
(2)如图，过点E，F作BD的垂线，分别交BD的延长线于点M，N．
∵∠PDG=60°PD=64m，
∴DN=32m，PN=32 3m．
∵MN=EF=5m，
∴DM=27m，
∵∠EDG=23°，
∴FN=EM=27tan23°=11.34m，
∴PF=PN−FN=32 3−11.34=55.36−11.34=44.02(m)≈44.0m．
答：这个宝塔的高度PF约为44.0m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．
22.【答案】(1)解：设这本书的宽为xcm，则x26= 5−12，
解得x=13 5−13，
答：它的宽为(13 5−13)cm．
(2)证明：如图2，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12×(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BC=BD=AD，
∵∠CBD=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴BCAC=CDBC，
∴ADAC=CDAD，
∴点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，
∴△ABC是黄金三角形．
(3)解：如图3，∵AB是⊙O的内接正十边形的边长，
∴OA=OB，∠AOB=110×360°=36°，
由(2)可知，△OAB是黄金三角形，
∴AB= 5−12OA，
作OI⊥AB于点I，则∠AIO=90°，AI=BI=12AB=12× 5−12OA= 5−14OA，
∵∠AOI=∠BOI=12∠AOB=12×36°=18°，
∴sin18°=AIOA= 5−14OAOA= 5−14，
∴sin18°的值为 5−14．
【解析】(1)设这本书的宽为xcm，则x26= 5−12，求得x=13 5−13，所以它的宽为(13 5−13)cm；
(2)由AB=AC，∠A=36°，求得∠ABC=∠C=72°，则∠CBD=∠ABD=12∠ABC=36°，所以∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，则BC=BD=AD，再证明△BDC∽△ABC，得BCAC=CDBC，所以ADAC=CDAD，则点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，所以△ABC是黄金三角形；
(3)由AB是⊙O的内接正十边形的边长，得OA=OB，∠AOB=36°，则△OAB是黄金三角形，所以AB= 5−12OA，作OI⊥AB于点I，则AI=BI=12AB= 5−14OA，而∠AOI=∠BOI=12∠AOB=18°，所以sin18°=AIOA= 5−14．
此题重点考查二次根式的化简、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、正多边形与圆、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】解：(1)根据表格数据可设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+2，
把x=3，y=−2代入，得−2=4a+2，
解得a=−1，
∴二次函数的表达式为：y=−(x−1)2+2=−x2+2x+1；
(2)把x=0.5代入y=a(x−1)2+2得：14a+2>0，
解得：a>−8．
当x=2时，y=m，则m=a+2，
当x=3时，y=n，则n=4a+2，
∴m+n=5a+4>−40+4=−36，
∵a≠0，
∴m+n≠4，
∴m+n的取值范围为：m+n>−36且m+n≠4；
(3)∵点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，
∴a<0，
∴mn=(a+2)(4a+2)=4a2+10a+4=4(a+54)−94，
∴当a=−54时，mn的最小值为−94，
∵a=−54在a<0范围内，
∴mn的最小值为−94．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)将x=0.5代入y=a(x−1)2+2可得a>−8.再分别将x=2和x=3代入求出m、n，计算即可；
(3)由已知可知：a<0，计算mn并配方可得结果．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连结BC．

∵CE=AC，
∴∠CAE=∠ABC，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF；
(2)解：①如图2，连结OC，OC交AE于点G．

∵CE=AC，CD⊥AB，
∴∠CGF=∠ADF=90°，AG=12AE=3，
∵AF=CF，∠AFD=∠CFG，
∴△AFD≌△CFG(AAS)，
∴DF=FG，
∴CD=AG=3，
设CF=AF=x，则DF=3−x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴(3−x)2+22=x2，
解得x=136，
即CF=136，
②如图3，连结OF，OC，OC与AE相交于点H．

∵CE=AC，
∴OC⊥AE，
由①可知CH=AD=2，AH=3，FD=3−136=56，
设OA=OC=R，则OH=R−2，
在Rt△AOH中，OA2=OH2+AH2，
∴R2=(R−2)2+32，
解得R=134，
∴S△AOF=12OA⋅DF=12×134×56=6548，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠CAF+∠CGA=90°，
∵AF=CF，
∴∠ACD=∠CAF，
∴∠BCD=∠CGA，
∴FG=FC，
∴AF=FG，
∵OA=OB，
∴OF//BG，OF=12BG，
∴△AOF∽△ABG，
∴S△AOFS△ABG=(OFBG)2=14，
∴S△ABG=6512．
【解析】(1)根据圆周角定理求出∠CAE=∠ABC，∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ACD=∠ABC，等量代换得出∠ACD=∠CAE，根据等腰三角形的判定即可求出AF=CF；
(2)①根据垂径定理求出OC⊥AE，AG=3，利用AAS证明△AFD≌△CFG，根据全等三角形的性质得出DF=FG，根据线段的和差求出CD=AG=3，设CF=AF=x，则DF=3−x，根据勾股定理求解即可；
②连结OF，OC，OC与AE相交于点H.根据垂径定理求出OC⊥AE，AH=3，根据勾股定理求出OA=134，根据三角形面积公式求出S△AOF=6548，根据等腰三角形的判定与性质求出AF=FG，进而推出OF是△ABG的中位线，根据三角形中位线的性质得出OF//BG，OF=12BG，即可判定△AOF∽△ABG，根据相似三角形的性质求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
n
m
2
m
n
…
第一次第二次
红色
黄色
蓝色
蓝色
红色
(红，红)
(红，黄)
(红，蓝)
(红，蓝)
黄色
(黄，红)
(黄，黄)
(黄，蓝)
(黄，蓝)
蓝色
(蓝，红)
(蓝，黄)
(蓝，蓝)
(蓝，蓝)
蓝色
(蓝，红)
(蓝，黄)
(蓝，蓝)
(蓝，蓝)