2023-2024学年广东省肇庆市德庆县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市德庆县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次函数y=2x2+4x−3的常数项为( )
A. 2B. 3C. 4D. −3
2.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. x−3=0B. x−y=0C. x2−3=0D. x2−y=0
3.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4.点P(−2,−1)关于原点对称点的坐标是( )
A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−2,−1)D. (2,1)
5.每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”.某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
6.已知⊙O的直径为9，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和⊙O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
7.如果将抛物线y=x2向上平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是( )
A. y=(x−2)2B. y=(x+2)2C. y=x2−2D. y=x2+2
8.下列说法正确的是( )
A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D. 明天太阳从东方升起是随机事件
9.神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的( )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 黄金分割
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a>0，b>0，c>0
B. a>0，b<0，c<0
C. a<0，b>0，c<0
D. a<0，b<0，c<0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=2(x−2)2−3的顶点坐标是______．
12.如图所示，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数是______度．
13.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为______．
14.任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于______．
15.已知a2−a−2=0，计算(a+3)(a−4)的值为______．
16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，分别以点A，C为圆心，AB，CD为半径画弧，图中阴影部分面积为______(结果保留π)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2−2x−8=0．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，⊙O中，弧AB=弧AC，∠C=70°，求∠A的度数．
19.(本小题6分)
在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1．
(2)若点B的坐标为(−3,5)，试在图中画出直角坐标系，并标出B1，C1两点的坐标．
20.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−6x+4．
(1)用配方法将其化为y=a(x−h)2+k的形式；
(2)写出它的图象的开口方向和对称轴．
21.(本小题8分)
新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
22.(本小题8分)
中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．
(1)求证：四边形ACBD是菱形；
(2)如果∠B=60°，BC=2，求菱形ACBD的面积．
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
25.(本小题10分)
如图，已知顶点为M(32,258)的抛物线过点D(3,2)，交x轴于A，B两点，交y轴于点C、点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AD上方时，求△PAD面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：二次函数y=2x2+4x−3的常数项为−3，
故选：D．
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
2.【答案】C
【解析】解：A.方程x−3=0所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程x−y=0中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程x2−3=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程x2−y=0中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=12AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= 132−122=5．
故选：B．
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
4.【答案】D
【解析】解：∵点关于原点对称的性质为x，y坐标都为原坐标点的相反数，
∴点P(−2,−1)关于原点对称点的坐标是(2,1)，
故选：D．
点关于原点对称的性质为x，y坐标都为原坐标点的相反数．
本题考查关于原点对称的性质，较简单．
5.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6.【答案】A
【解析】解：∵圆半径r=4.5，圆心到直线的距离d=4．
故r>d，
∴直线与圆的位置关系是相交．
故选：A．
欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若dr，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
7.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=x2向上平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是y=x2+2．
故选：D．
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误；
C、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，说法正确；
D、明天太阳从东方升起是随机事件，说法错误；
故选：C．
根据必然事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断相应事件的类型解答．
本题主要考查了必然事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9.【答案】D
【解析】解：∵蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，
又∵黄金分割比为：−1+ 52≈0.618，
∴蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，
∴b>0，
故选：C．
根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．
11.【答案】(2,−3)
【解析】解：∵二次函数y=2(x−2)2−3，
∴二次函数的顶点坐标为(2,−3)，
故答案为(2,−3)．
利用顶点式表达式的特点求解即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式表达式的特点．
12.【答案】70
【解析】解：∵∠ACB、∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
欲求∠AOB，已知了同弧所对的圆周角的度数，可根据圆周角和圆心角的关系来求解．
此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
13.【答案】17°
【解析】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，
∴∠B′AC=50°−33°=17°．
故答案为：17°．
先利用旋转的性质得到∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，从而得到∠B′AC的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14.【答案】13
【解析】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，
∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于：26=13．
故答案为：13．
由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】−10
【解析】解：∵a2−a−2=0，
∴a2−a=2，
∴(a+3)(a−4)
=a2−4a+3a−12
=a2−a−12
=2−12
=−10，
故答案为：−10．
先根据已知条件求出a2−a的值，然后利用多项式乘多项式法则进行化简，把a2−a的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
16.【答案】4π3−2 3
【解析】解：阴影部分的面积为：2×2sinA−60π×22360=4π3−2 3，
故答案为：4π3−2 3．
根据“割补法”求面积．
本题考查了扇形面积的计算，知道阴影面积的表示方法是解题的关键．
17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
18.【答案】解：∵⊙O中，AB=AC，∠C=70°，
∴∠B=∠C=70°．
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°−∠B−∠C
=180°−70°−70°
=110°−70°
=40°．
【解析】本题考查了圆周角定理的推论，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理的推论，三角形的内角和定理是解题的关键．
根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B=∠C=70°，再利用三角形内角和定理求出即可得到结果．
19.【答案】解：(1)如图所示：△AB1C1为所求三角形；

(2)根据B坐标(−3,5)，确定出平面直角坐标系，如图所示，
则B1(4,4)，C1(0,4)．
【解析】(1)根据题意做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向选择90°后的图形△AB1C1即可；
(2)根据B的坐标确定出平面直角坐标系，进而确定出B1，C1坐标即可．
此题考查了作图−旋转变换，这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、推理论证的能力．
20.【答案】解：(1)y=x2−6x+4=x2−6x+9−5=(x−3)2−5，
故二次函数的顶点式为：y=(x−3)2−5；
(2)由二次函数的顶点式y=(x−3)2−5可得：
抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=3．
【解析】(1)将二次函数y=x2−6x+4配方成顶点式即可；
(2)根据顶点式，直接写出开口方向和对称轴即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5，x2=−2.5(不合题意舍去)，
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；
(2)由(1)得，45×(1+50%)=67.5(万)，
答：预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【解析】(1)根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程；
(2)利用(1)中所求，进而利用2023年出口量=2022年出口量×(1+增长率)，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)14
(2)将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P(M)=212=16．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P(M)=212=16．
【解析】解：(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为14．
故答案为14；
(2)见答案；
【分析】
(1)根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
(2)此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD，
∴AC=BD，AD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BD=AD=BC，
∴四边形ACBD是菱形；
(2)解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠B=60°，BC=AC=2，
∴△ABC是等边三角形，
∴BE=12BC=1，AB=BC=2，
∴AE= AB2−BE2= 3，
∴AE×BC=2 3．
故菱形ACBD的面积为2 3．
【解析】(1)根据旋转的性质可得AC=BD，AD=BC，从而得到AC=BD=AD=BC，即可求证；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，先证明△ABC是等边三角形，可得BE=12BC=1，AB=BC=2，再由勾股定理可得AE= 3，再由菱形的面积公式计算，即可求解．
本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC=MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与⊙O相切．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
(2)当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．
此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
25.【答案】解：(1)根据题意设抛物线解析式为y=a(x−32)2+258(a≠0)，
把点D(3,2)的坐标代入得94a+258=2，
解得a=−12，
∴抛物线解析式为y=−12(x−32)2+258=−12x2+32x+2，
(2)如图，由已知抛物线过点y=−12x2+32x+2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令y=0，则−12x2+32x+2=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴A，B的坐标为A(−1,0)，B(4,0)，
令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为(0,2)，
∵D(3,2)，
∴CD/​/x轴，
设经过A(−1,0)D(3,2)两点的直线AD的解析式为v=kx+b(k≠0)，
把A，D的坐标代入得：−k+b=03k+b=2，
解得k=12b=12，
所以直线AD的解析式为y=12x+12，
过点P作x轴的垂线，分别交CD，AD，x轴于点G，H，E，连结PD，AD，

∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为(p,−12p2+32p+2)(−1则点H的坐标为(p,12p+12)，
∴PH=(−12p2+32p+2)−(12p+12)=−12p2+p+32，
∴S△PAD=S△PAH+S△PDW=12PH×AE+12PH×DG=12PH(AE+DG)=12×(−12p2+p+32)×4=−p2+2p+3=−(p−1)2+4，
∵−1<0，
∴当p=1时，S△PAD有最大值4，
此时点p的坐标为(1,3)．
【解析】(1)根据题意设出抛物线解析式的顶点式，再把点D坐标代入解析式求出a的值；
(2)先求出A，B，C的坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，过点P作x轴的垂线，分别交CD，AD，x轴于点G，H，E，连结PD，AD，设点P的坐标为(p,−12p2+32p+2)(−1本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值等知识，关键是用待定系数法求出函数解析式，由二次函数的性质解答．
第1部
第2部
A
B
C
D
A
BA
CA
DA
B
AB
CB
DB
C
AC
BC
DC
D
AD
BD
CD