2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式中，是分式的是( )
A. 12B. x+12C. 2x+1D. x−1
2.下列分式中，最简分式是( )
A. xy4x2B. a2+b2a+bC. 2−x4−x2D. 3−xx2−6x+9
3.等腰三角形的一个角为40°，则它的底角的度数为( )
A. 40°B. 70°C. 40°或70°D. 80°
4.若式子 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>3B. x≥3C. x>−3D. x≥−3
5.在3.14,− 2,π,14,−0.31,38,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)，这些数中，无理数的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 2的倒数是( )
A. 2B. 22C. − 2D. − 22
7.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A. 在同一个三角形中，等边对等角
B. 两个角互余的三角形是等腰三角形
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D. 如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
8.计算 3× 7的结果为( )
A. 10B. 7 3C. 3 7D. 21
9.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是
( )
A. M点B. N点C. P点D. Q点
10.若关于x的分式方程3x−1−1=mx−1有增根，则m的值为( )
A. 1B. 3C. 1或3D. 2
11.对于命题“在同一平面内，若a/​/b，a/​/c，则b/​/c”，用反证法证明，应假设( )
A. a⊥cB. b⊥cC. a与c相交D. b与c相交
12.下列二次根式中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 3 2B. 2 3C. 2D. 6
13.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 3cm
14.按如图所示的运算程序，当输出的y值为0时，x的值是( )
A. 1B. 2C. ±1D. ±2
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为( )
A. 225
B. 289
C. 324
D. 170
16.赛龙舟是端午节的主要习俗之一，也是中国民俗传统与运动精神的完美结合.2019年起，深圳大沙河生态长廊龙舟邀请赛连续4年举办，已然成为深圳市标志性的体育赛事.2022年龙舟邀请赛设置了标准龙舟(22人龙舟)500米直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛(比赛起点相同)，甲队每秒的速度比乙队快0.5米，结果甲队比乙队提前14秒到达终点.设甲队的速度为x米/秒，下列方程正确的是( )
A. 500x=500x+0.5−14B. 500x−0.5=500x−14
C. 500x=500x−0.5−14D. 500x+0.5=500x−14
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
17.若分式1x+1有意义，则实数x的取值范围是 ．
18.分式1x2y和2xy2的最简公分母是______．
19.如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=56°，则∠DCB的度数是______．
20.若a，b为等腰△ABC的两边，且满足(a−4)2+ b−8=0，则△ABC的周长为______．
21.计算aa2−1+1a−1的结果是______．
22.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为6.4km，则M，C两点间的距离为______km．
23.如果两个三角形全等，那么它们的周长______相等.(填“一定”或“不一定”)
24. 6与最简二次根式5 a+1是同类二次根式，则a= ______．
25.如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个．
26.如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为______厘米．
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.(本小题8分)
解分式方程：2x+xx+3=1．
28.(本小题8分)
先化简，再求值：x−1x÷(x−1x)，其中x= 3−1．
29.(本小题10分)
已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB/​/FC，DF交AC于点E，DE=EF．
求证：AE=CE．
30.(本小题10分)
某项工作，甲、乙两人合做3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成.已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍.甲、乙单独完成这项工作各需多少天？
31.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．
(1)如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E.写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；
(2)如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E.写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．
32.(本小题12分)
某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、12是单项式，属于整式，故选项不符合题意；
B、x+12是多项式，属于整式，故选项不符合题意；
C、2x+1是分式，故选项符合题意；
D、x−1是多项式，属于整式，故选项不符合题意．
故选：C．
根据分式的定义分析判断即可．
本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
2.【答案】B
【解析】解：A、xy4x2=y4x，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、a2+b2a+b是最简分式，故此选项符合题意；
C、2−x4−x2=2−x(2−x)(2+x)=1x+2，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、3−xx2−6x+9=−x−3(x−3)2=−1x−3，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3.【答案】C
【解析】解：当40°为顶角时，底角为：(180°−40°)÷2=70°．
40°也可以为底角．
故选：C．
等腰三角形中相等的角叫底角，另外一个角叫顶角，所以本题有两种情况．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中有两个相等的角，叫做底角．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得，x+3≥0，
解得x≥−3．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5.【答案】C
【解析】解：在3.14,− 2,π,14,−0.31,38,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)，这些数中，有理数有3.14,14,−0.31,38=2，共有4个；无理数有− 2,π,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)，共有3个．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
【解答】
解：由 2× 22=1，得 2的倒数是 22，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
故选：C．
交换命题的题设与结论，写出逆命题即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答．
8.【答案】D
【解析】解： 3× 7
= 3×7
= 21．
故选：D．
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．
故选A．
根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：方程的两边都乘以(x−1)，得3−(x−1)=m，
即4−x=m
由于分式方程有增根，
所以x=1
当x=1时，4−1=m
即m=3
故选：B．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
本题考查了解分式方程及分式方程的增根．一般增根类问题按如下步骤进行：①根据公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程求出字母的值．
11.【答案】D
【解析】解：c与b的位置关系有c/​/b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c/​/b”时，应先假设c与b相交．
故选：D．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12.【答案】A
【解析】解：A、3 2与 2是同类二次根式，故符合题意；
B、2 3与 2不是同类二次根式，故不符合题意；
C、2与 2不是同类二次根式，故不符合题意；
D、 6与 2不是同类二次根式，故不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答．
13.【答案】A
【解析】解：∵点P关于OA的对称点是P1，
∴P1M=PM．
∵点P关于OB的对称点是P2，
∴PN=P2N.
∵△PMN的周长=6cm，P1M=PM，PN=P2N，
∴P1P2=P1M+MN+P2N=PM+PN+MN=6cm，
故选：A．
根据轴对称的性质可知P1M=PM，PN=P2N；因为△PMN的周长已知，则可把其中的两边PM，PN代换为P1M，P2N，则根据P1P2是相关线段的和即可求出其长．
本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键．
14.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据输出y=0确定出x的值即可．
【解答】
解：根据题意得：y=1x−2≠0，
∴y=x2−1=0，
解得：x=1或x=−1，
则x的值是±1，
故选：C．
15.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=172=289，
∴正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和=AC2+BC2=289，
故选：B．
由勾股定理得AB2=AC2+BC2=172=289，再由正方形的面积公式即可得出结论．
本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：∵甲队的速度为x米/秒，甲队每秒的速度比乙队快0.5米，
∴乙队的速度为(x−0.5)米/秒．
根据题意得：500x=500x−0.5−14．
故选：C．
根据甲、乙两队速度之间的关系，可得出乙队的速度为(x−0.5)米/秒，利用时间=路程÷速度，甲队比乙队提前14秒到达终点，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案是：x≠−1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
18.【答案】x2y2
【解析】解：分式1x2y和2xy2的最简公分母是x2y2．
故答案为：x2y2．
根据最简公分母的定义求解．
本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
19.【答案】56°
【解析】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠BDC=90°，
∴∠A+∠B=90°=∠B+∠DCB，
∴∠A=∠DCB，
∵∠A=56°，
∴∠DCB=∠A=56°．
故答案为：56°．
先证明∠ACB=∠BDC=90°，可得∠A+∠B=90°=∠B+∠DCB，从而可得∠DCB=∠A=56°．
本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20.【答案】20
【解析】解：∵(a−4)2+ b−8=0，
∴a−4=0，b−8=0，
∴a=4，b=8，
如果等腰三角形的腰长是4，
∵4+4=8，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是4，4只能是底边长，
如果等腰三角形的腰长是8，
∵8+4>8，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长是8底边是4，
∴等腰三角形的周长=8×2+4=20．
故答案为：20．
由非负数的性质求出a=4，b=8，由三角形三边关系定理，判定等腰三角形的腰长是8底边是4，即可得到等腰三角形的周长=8×2+4=20．
本题考查等腰三角形的性质三角形三边关系，非负数的性质：算术平方根、偶次方，关键是由非负数的性质求出a、b的值，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长和底边的长．
21.【答案】2a+1a2−1
【解析】解：原式=a(a+1)(a−1)+a+1(a+1)(a−1)
=2a+1(a+1)(a−1)
=2a+1a2−1．
先把分母是多项式的分解因式，然后再通分，最后按照同分母的分式相加即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的分解因式的方法．
22.【答案】3.2
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°
∵M是AB的中点，
∴CM=12AB，
∵AB=6.4km，
∴CM=3.2km，
∴M，C两点间的距离为3.2km．
故答案为：3.2．
由直角三角形斜边中线的性质得到CM=12AB=3.2km，即可得到答案．
本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
23.【答案】一定
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴两个全等三角形的对应边相等，
∴它们的周长一定相等．
故答案为：一定．
由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
24.【答案】5
【解析】解：∵ 6与最简二次根式5 a+1是同类二次根式，
∴a+1=6，
∴a=5．
故答案为：5．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义解题即可．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
25.【答案】4
【解析】【分析】
本题考察了利用轴对称设计图案的知识，根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】
解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故答案为4．
26.【答案】2
【解析】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 62+82=10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12−10=2cm，
故答案为2．
首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
27.【答案】解：方程两边同乘x(x+3)，去分母得：2(x+3)+x2=x(x+3)，
去括号得：2x+6+x2=x2+3x，
移项，合并同类项得：x=6，
检验：当x=6时，x(x+3)≠0，
所以，原分式方程的解为x=6．
【解析】方程两边同乘x(x+3)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
28.【答案】解：x−1x÷(x−1x)=x−1x÷x2−1x=x−1x⋅x(x+1)(x−1)=1x+1
当x= 3−1时，原式=1 3= 33．
【解析】首先对所求分式进行化简，然后把x的值代入求解即可．
分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
29.【答案】证明：∵AB/​/FC，
∴∠ADE=∠CFE，
在△AED和△CEF中，
∠ADE=∠CFE，
DE=FE，
∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∴AE=CE．
【解析】此题根据已知条件及对顶角相等的知识先证得△AED≌△CEF，则易求证AE=CE．
主要考查了全等三角形的判定定理和性质；由平行线得到内错角相等是解决本题的突破口，做题时注意运用．
30.【答案】解：设甲单独完成这项工作需x天，则乙单独完成这项工作需2x天，
由题意得：3x+3+12x=1，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×5=10，
答：甲单独完成这项工作需5天，乙单独完成这项工作需10天．
【解析】设甲单独完成这项工作需x天，则乙单独完成这项工作需2x天，根据甲、乙两人合做3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
31.【答案】解：(1)AD+BE=ED．
理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴CD=BE，AD=CE，
∴ED=EC+CD=AD+BE．
(2)AD=DE+BE．
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴CD=BE，AD=CE，
∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．
【解析】(1)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；
(2)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．
32.【答案】解：(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，
根据题意，得90x=15040−x，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40−x=25．
答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，
根据题意，得960<15y+25(48−y)≤1000，
解得20≤y<24．
∵y是整数，
∴y取20，21，22，23，共有4种方案．
方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，
方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，
方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，
方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件．
【解析】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，根据购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，可列出不等式组求解．
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以购进这两种玩具的总资金数做为不等量关系列不等式组求解．