2023-2024学年广西柳州两校高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年广西柳州两校高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合U={x∈N|x<6}，A={0,2,4}，B={1,2,5}，则(∁UA)∩B=( )
A. {5}B. {0,1,5}C. {1,5}D. {0,1,3,5}
2.sin120°=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若ac3B. 若aC. ∀x∈R，x2+1>0
D. “x2>4”是“x<−2”的充分不必要条件
4.下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是( )
A. y=|sinx|B. y=1−cs2xC. y=−3sin2xD. y=1+2tanx
5.为了得到函数y=sin(2x−π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A. 向左平移π6个单位B. 向左平移π3个单位C. 向右平移π6个单位D. 向右平移π3个单位
6.加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点.某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以5%的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为( )
A. f(x)=ax+b
B. f(x)=a⋅bx+c(a≠0,b>0且b≠1)
C. f(x)=a⋅x2+bx+c(a≠0)
D. f(x)=a⋅lgbx+c(a≠0,b>0且b≠1)
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，设a=f(lg47)，b=f(lg123)，c=f(0.2−0.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A. c8.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)在[0,π]上恰有2个不同零点，则正实数ω的最小值是( )
A. 116B. 83C. 52D. 176
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若幂函数f(x)=xα的图象过点(3, 3)，则f(9)=3
B. 函数f(x)=x与函数f(x)=x2x表示同一个函数
C. 若f(x)=x2+ax−a−1(a∈R)在[1,+∞)上单调递增，则a的取值范围为[2,+∞)
D. 函数f(x)=2x−3+lg13x的零点可能位于区间(1,3)中
10.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=15，则( )
A. π2<α<3π4B. sinαcsα=−1225
C. tanα=−34D. csα−sinα=−75
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称
B. f(π6)=2
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称
D. 函数f(x)在区间[2π3,7π6]上单调递增
12.已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，f(−x)=f(x)；
②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0；
③f(−1)=0．
则下列选项成立的是( )
A. f(3)B. 若f(m−1)C. 若f(x)x>0，则x∈(−1,0)∪(1,+∞)
D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知一扇形的圆心角为30°，弧长是πcm，则扇形的面积是______cm2．
14.求值sin2π12−cs2π12= ______．
15.已知sin(α+π6)= 23，则cs(2α−2π3)= ______．
16.已知x>0，y>0，且2x+1+1y=2，若x+2y>m2−3m−1恒成立，则实数m的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)若不等式5x2−bx+c<0的解集为{x|−1(2)2723− (−3)2+lg336−2lg32．
18.(本小题12分)
已知tanα=12．
(1)求13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值；
(2)sin2α+sinαcsα≠1．
19.(本小题12分)
(1)已知角α的终边过点P(5,a)，且tanα=−125，求sinα+csα的值；
(2)已知csα=17，cs(α−β)=1314，且0<β<α<π2，求β．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinx⋅csx+2cs2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴；
(2)求函数f(x)在区间[−π6,5π12]上的最小值和最大值．
21.(本小题12分)
建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位：0℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足f(t)=Asin(ωt+φ)+b，(A>0,ω>0,−π<φ<π)关系．
(1)求y=f(t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg121−axx−1的图象关于原点对称，其中a<0．
(1)当x∈(1,+∞)时，f(x)+lg12(x−1)(2)若关于x的方程f(x)=lg12(x+k)在[2,3]上有解，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意U={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}，
又A={0,2,4}，所以∁UA={1,3,5}，
又B={1,2,5}，所以(∁UA)∩B={1,5}．
故选：C．
首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：sin120°=sin(90°+30°)=cs30°= 32．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：当c<0时，由ac3b，故A不正确；
当a=2，b=3，c=0，d=1时，满足a对任意的x∈R，x2≥0，可得x2+1≥1>0，故“∀x∈R，x2+1>0”为真命题，C正确；
当x2>4时，x<−2或x>2；当x<−2时，可推出x2>4．
因此，“x2>4”是“x<−2”的必要不充分条件，故D不正确．
综上所述，只有C项的命题为真命题．
故选：C．
根据不等式的性质，判断出A、B两项的正误；根据含有量词的命题的真假，判断出C项的正误；根据不等式的性质与充要条件的定义，判断出D项的正误．
本题主要考查不等式的性质、含有量词的命题及其真假判断、充分必要条件的定义等知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：y=|sinx|的最小正周期为π，
且|sin(−x)|=|−sinx|=|sinx|，即y=|sinx|为偶函数，故A错误；
对于B：y=cs2x的最小正周期为π，
且1−cs2(−x)=1−cs2x，即y=1−cs2x为偶函数，故B错误；
对于C：y=−3sin2x的最小正周期为π，且为奇函数，故C正确；
对于D：y=1+2tanx的最小正周期为π，
且1+2tan(−x)=1−2tanx≠1+2tanx不恒成立，即y=1+2tanx不是奇函数，故D错误．
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和周期性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的判断，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵y=sin(2x−π3)=sin[2(x−π6)]，
∴将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平移π6个单位，即可得到函数y=sin(2x−π3)的图象．
故选：C．
由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的简单应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知，该县城区常住人口每年大约以5%的增长率递增，
则该县城区常住人口y与年份x的函数关系为指数型函数．
故选：B．
由题意可得该县城区常住人口y与年份x的函数关系为指数型函数，即可得解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，
∴b=f(−lg23)=f(lg23)，
∵2>lg23=lg49>lg47>1，0.2−0.6>2，
∴0.2−0.6>lg49>lg47，
∵在(−∞,0]上是增函数，
∴在[0,+∞)上为减函数，
则c故选：B．
由题意首先比较自变量的大小，然后结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果．
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
8.【答案】A
【解析】解：ω>0，x∈[0,π]时，ωx+π6∈[π6,π6+ωπ]，
因为函数f(x)=sin(ωx+π6)在[0,π]上恰有2个不同零点，
所以ωπ+π6∈[2π,3π)，
所以ω∈[116,176)，
故正实数ω的最小值是116．
故选：A．
ω>0，x∈[0,π]时，ωx+π6∈[π6,π6+ωπ]，由题意得ωπ+π6∈[2π,3π)，进而求解即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为幂函数f(x)=xα的图象过点(3, 3)，所以f(3)=3α= 3，所以α=12，
所以f(x)=x12，则f(9)=912=3，故A正确；
对于B，因为f(x)=x的定义域为R，f(x)=x2x的定义域为{x|x≠0}，
故两函数的定义域不同，不是相同函数，故B错误；
对于C，因为f(x)=x2+ax−a−1的对称轴为x=−a2，且开口向上，
又f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以−a2≤1，解得a≥−2，故C错误；
对于D，因为f(x)=2x−3+lg13x是连续函数，且f(1)=21−3+lg131=−1<0,f(3)=23−3+lg133=4>0，
所以根据零点存在定理可得f(x)的零点位于区间(1,3)中，故D正确；
故选：AD．
对于A，将点代入得到幂函数解析式，即可判断；对于B，利用相同函数的判断方法进行判断即可；对于C，先求出二次函数的对称轴，列出对应不等式，即可判断；对于D，利用零点存在定理即可判断．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，幂函数的性质，同一函数的判断的方法，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由sinα+csα=15，①
两边平方可得：sin2α+2sinαcsα+cs2α=125，
则sinαcsα=−1225，又α∈(0,π)，
∴π2<α<π，可得sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα=75，②
联立①②得：sinα=45，csα=−35，∴tanα=−43<−1，
得π2<α<3π4．
故选：ABD．
把已知等式两边平方，结合同角三角函数基本关系式分析求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，
可得A=2，14×2πω=2π3−5π12，求得ω=2．
再根据五点法作图，可得2×2π3+φ=3π2．
求出φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)=2cs(2x−π3).
令x=−π12，求得f(x)=0，可得函数的图象关于点(−π12,0)对称，故A正确．
由于f(π6)=1，可得B错误．
令x=π3，求得f(x)=1，不是最值，可得函数的图象不关于直线x=π3对称，故C错误．
在区间[2π3,7π6]上，2x+π6∈[3π2,5π2]，函数f(x)单调递增，故D正确．
故选：AD．
由题意，根据函数的最大值求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(3)若f(m−1)若f(x)x>0，则f(x)>0x>0或f(x)<0x<0，因为f(−1)=f(1)=0，所以x>1或−1因为定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)，
所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确．
故选：ACD．
由条件可得f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增，然后逐一判断每个选项即可．
本题主要函数奇偶性和单调性的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题目．
13.【答案】3π
【解析】解：该扇形的圆心角为30°，对应的弧度为π6，
所以半径为π(π6)=6(cm)，则对应面积为12π×6=3π(cm2)．
故答案为：3π．
先利用弧度公式计算出半径，再计算出面积即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】− 32
【解析】解：sin2π12−cs2π12=−(cs2π12−sin2π12)=−csπ6=− 32．
故答案为：− 32．
利用二倍角余弦公式即可求值．
本题考查二倍角余弦公式，属于基础题．
15.【答案】−59
【解析】解：因为sin(α+π6)= 23，
所以cs(α−π3)=cs(α+π6−π2)=sin(α+π6)= 23，
则cs(2α−2π3)=cs2(α−π3)=2cs2(α−π3)−1=2×29−1=−59．
故答案为：−59．
观察已知角和所求角之间的联系，再利用二倍角公式，得解．
本题考查三角恒等变换，熟练掌握二倍角公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(−1,4)
【解析】解：x>0，y>0，且2x+1+1y=2，即1x+1+12y=1，
x+1+2y=(x+1+2y)(1x+1+12y)=2+2yx+1+x+12y≥2+2=4，当且仅当x+1=2y=2时，取得等号，
即有x+2y的最小值为3，
则m2−3m−1<3，解得−1故答案为：(−1,4)．
由基本不等式求得x+1+2y的最小值，可得x+2y的最小值，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求取值范围．
本题考查不等式恒成立问题，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若不等式5x2−bx+c<0的解集为{x|−1则−1和3是方程5x2−bx+c=0的根，
所以−1+3=b5−1×3=c5，解得，b=10，c=−15，
故不等式−bx2−5x−c≥0可化为−10x2−5x+15≥0，
即2x2+x−3≤0，
解得，−32≤x≤1，
故不等式的解集为{x|−32≤x≤1}；
(2)2723− (−3)2+lg336−2lg32=33×23−3+2lg36−2lg32
=9−3+2lg33=9−3+2=8．
【解析】(1)结合二次不等式与二次方程的转化关系可求b，c，解不等式即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由tanα=12，
得13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)=13csα−2sinαcsα−3sinα=13−2tanα1−3tanα=13−2×121−3×12=−24；
(2)sin2α+sinαcsα+1
=sin2α+sinαcsα+sin2α+cs2αsin2α+cs2α=2sin2α+sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α
=2tan2α+tanα+1tan2α+1=2×14+12+114+1=85．
【解析】(1)利用诱导公式变形，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解；
(2)直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为角α的终边过点P(5,a)，tanα=−125，
所以tanα=a5=−125，解得a=−12，即P(5,−12)，
所以|OP|= 52+(−12)2=13，
所以sinα=−1213，csα=513，
所以sinα+csα=−1213+513=−713；
(2)因为csα=17,0<α<π2，
所以sinα= 1−cs2α=4 37，
cs(α−β)=1314，0<β<α<π2，
所以0<α−β<π2，
所以sin(α−β)= 1−cs2(α−β)=3 314，
所以csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=17×1314+4 37×3 314=12，
因为0<β<π2，
所以β=π3．
【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=2 3sinx⋅csx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，
可得f(x)的对称轴为：x=π6+kπ2，k∈Z；
(2)因为x∈[−π6,5π12]，所以2x+π6∈[−π6,π]，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)max=f(π6)=3；
当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)min=f(−π6)=0，
故函数f(x)在区间[−π6,5π12]上的最小值为0，最大值为3．
【解析】(1)先化简，再根据三角函数的性质，即可求解；
(2)求得2x+π6∈[−π6,π]，再结合正弦函数的图象与性质，即可求解．
本题考查三角函数的性质，属中档题．
21.【答案】解：(1)由题意，得A+b=12−A+b=−4，解得A=8b=4，
又T2=15−3=12，所以T=2π|ω|=24，又ω>0，所以ω=π12，
因为f(t)=8sin(π12t+φ)+4过(15,12)，则12=8sin(π12×15+φ)+4，即sin(5π4+φ)=1，
所以5π4+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−3π4+2kπ，k∈Z，又−π<φ<π，所以φ=−3π4，
所以f(t)=8sin(π12t−3π4)+4(0≤t≤24)；
(2)根据题设，令8sin(π12t−3π4)+4<0，即sin(π12t−3π4)<−12，
由y=sinx的性质得7π6+2kπ<π12t−3π4<11π6+2kπ，k∈Z，
解得23+24k所以0≤t<7或23【解析】(1)利用五点作图法，结合图象即可得解；(2)解正弦不等式即可得解，
本题考查三角函数的性质和应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=lg121−axx−1的图象关于原点对称，
∴f(x)+f(−x)=0，即lg121−axx−1+lg121+ax−x−1=0，
∴lg12 (1−axx−1×1+ax−x−1)=0，
∴1−axx−1×1+ax−x−1=1恒成立，
即1−a2x2=1−x2，(a2−1)x2=0恒成立，
所以a2−1=0，解得a=±1，
又a=1时，f(x)=lg121−axx−1无意义，
故a=−1；
当x∈(1,+∞)时，f(x)+lg12(x−1)即lg121+xx−1+lg12(x−1)∴lg12(x+1)由于y=lg12(x+1)是减函数，
故当x=1，函数取到最大值−1，
∴m≥−1，
即实数m的取值范围是[−1,+∞)；
(2)f(x)=lg12(x+k)，
即为lg12x+1x−1=lg12(x+k)，
即x+k=x+1x−1，
即有k=2x+1−x2x−1在[2,3]上有解，
设h(x)=2x+1−x2x−1(2≤x≤3)，
h(x)=2x−1−(x−1)在[2,3]递减，
可得h(x)∈[−1,1]，
所以k的范围为[−1,1]．
【解析】(1)函数f(x)=lg121−axx−1的图象关于原点对称，可得f(x)+f(−x)=0，整理得lg121−axx−1+lg121+ax−x−1=0恒成立，即可得f(x)的解析式；当x∈(1,+∞)时，f(x)+lg12(x−1)(2)运用对数相等的条件，以及参数分离法和函数的单调性，可得所求范围．
本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，考查了转化化归的思想，属于中档题．

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