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2023-2024学年浙江省嘉兴市桐乡市八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省嘉兴市桐乡市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列汽车标志中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知点P(x,y)在第四象限，且|x|=3，|y|=5，则P点的坐标是( )
A. (−3,−5)B. (5,−3)C. (3,−5)D. (−3,5)
3.已知aA. a+24.如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA=14米，PB=9米，那么A，B间的距离不可能是( )
A. 6米B. 8.7米C. 27米D. 18米
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
6.下列命题属于真命题的是( )
A. 两个角对应相等的两个三角形全等B. 两条边相等的两个直角三角形全等
C. 腰相等的两个等腰三角形全等D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
7.如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要( )
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
8.关于函数y=kx+k−2，给出下列说法正确的是( )
①当k≠0时，该函数是一次函数；
②若点A(m−1,y1)，B(m+3,y2)在该函数图象上，且y10；
③若该函数不经过第四象限，则k>2；
④该函数恒过定点(−1,−2)．
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
9.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE的长( )
A. 3
B. 2
C. 5
D. 4
10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( )
A. 10
B. 8
C. 4 2
D. 8 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为______km．
13.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是 ．
14.若不等式组x>8x<4m无解，则m的取值范围为______．
15.如图，已知一次函数y=kx+a(k≠0)和正比例函数y=bx(b≠0)的图象交于点A(1,2)，则关于x的不等式bx≤kx+a的解为______．
16.在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(0,3)，C(−3,0)，点D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE=2S△AOB．
(1)E的坐标为：______．
(2)若F为射线CD上一点，且∠DBF=45°，则点F的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式−3+x2≤2x−43，并把解在数轴上表示出来．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中．
(1)作∠ABC的平分线BD．
(2)作线段BD的垂直平分线.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
如图，已知直线y=kx+b的图象经过点A(0,−4)，B(3,2)，且与x轴交于点C．
(1)求直线y=kx+b的解析式；
(2)求△BOC的面积．
20.(本小题6分)
如图，点C，E在BF上，BE=CF，∠B=∠F，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE．
(2)若∠B=50°，∠BED=145°，求∠D的度数．
21.(本小题6分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，△ABE≌△CAD，BG⊥AD，垂足为G．
(1)求∠BFG的度数．
(2)若FG=4，EF=2，求AD的长．
22.(本小题6分)
在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？
23.(本小题8分)
如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知点A和点C的坐标分别为(0,2)和(−1,0)，过点A、B的直线关系式为y=kx+b．
(1)点B的坐标为：______．
(2)求k、b的值．
(3)直线y=−x+m与△ABC有公共点，求m的取值范围．
24.(本小题8分)
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6 2，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD(AF始终在AD上方)，且AF=AD，连接BF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断Rt△BDF的形状，并说明理由．
(2)如图2，若D，E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长．
(3)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD= ______时，MF的长最小，最小值是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号及绝对值的性质，熟记各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键，属于基础题．
先根据P点在第四象限判断出x，y的符号，进而求出x，y的值，即可求得答案．
【解答】
解：∵点P(x,y)在第四象限，
∴x>0，y<0，
∵|x|=3，|y|=5，
∴x=3，y=−5，
∴P点的坐标是(3,−5)．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：A、根据不等式性质1，不等式aB、根据不等式性质2，不等式a3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质3，不等式a−2b，原变形不正确，故此选项符合题意；
D、根据不等式性质2，不等式a2b，再在不等号两边同时减1得2a−1<2b−1，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式基本性质逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】解：由三角形三边关系定理得：14−95∴A，B间的距离不可能是27米．
故选：C．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
根据三角形的内角和定理，求出∠ABC=75°，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，从而得出∠CBD=∠ABC−∠ABD即可求解．
【解答】
解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=75°−30°=45°．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：A、两三角形全等，至少需要一边相等的条件，原命题是假命题，故A不符合题意；
B、有可能两个直角三角形的斜边和直角边相等，此时两个直角三角形不全等，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、腰相等的两个等腰三角形的顶角或底边不一定相等，因此腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，正确，故D符合题意．
故选：D．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 52−32=4(米)，
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是3+4=7(米)．
故选：D．
当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．
此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①中，当k≠0时，x能存在，该函数是一次函数，故符合题意；
②中，∵m−10，故符合题意；
③中，当k=2，函数也不经过第四象限，故③不符合题意；
④∵y=kx+k−2=k(x+1)−2，∴当x=−1时，y=−2，与k的值无关，故符合题意，
故选：A．
根据一次函数的定义、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．
本题考查了一次函数的性质和点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=AC，
将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AED，
∴△ABC≌△DAE，
∴DE=BC=4，∠ACB=∠ADE，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠ADE+∠EDC=45°，
∴∠ACB+∠EDC=45°，
∴∠ACB+∠EDC+∠ACD=90°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥BC
∴S△BDC=12BC⋅DE=12×4×4=8．
故选：B．
将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AED，依据旋转的性质可得DE=BC=4，∠ACB=∠ADE，进而得出∠ACB+∠EDC+∠ACD=90°，然后根据S△BDC=12BC⋅DE求得即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】1.2
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．
【解答】
解：∵M是公路AB的中点，
∴AM=BM，
∵AC⊥BC，
∴CM=AM=BM，
∵AM的长为1.2km，
∴M，C两点间的距离为1.2km．
故答案为1.2．
13.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B(−4,−1)的对应点D的坐标．
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
【解答】
解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
14.【答案】m≤2
【解析】解：∵不等式组x>8x<4m无解，
∴4m≤8，
解得m≤2．
故答案为：m≤2．
根据不等式组无解得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查不等式解集的表示方法，主要根据“比大的大，比小的小无解”．
15.【答案】x≤1
【解析】解：由图象得：在直线s=1是左边，一次函数的图象位于上面，
所以不等式bx≤kx+a的解为：x≤1，
故答案为：x≤1．
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16.【答案】(0,1) (−65,35)或(125,95)
【解析】解：(1)设E(0,t)，
∵A(1,0)，B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，
∴S△AOB=12×1×3=32，
∵S△BCE=2S△AOB，
∴S△BCE=3，
∴12×3(3−t)=3，
解得t=1，
∴E(0,1)；
故答案为：(0,1)；
(2)在射线CD上存在两个F点，使∠DBF=45°，
如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH//y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，
∵OE=OA=1，OC=OB=3，∠COE=∠BOA=90°，
∴△COE≌△BOA(SAS)，
∴CE=AB，∠OCE=∠OBA，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠OCE+∠BAO=90°，
∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AB，
∵∠DBF=45°，
∴∠DBF=∠DFB=45°，
∴BD=DF，
∵∠BDG+∠FDH=90°，
∠BDG+∠DBG=90°，
∴∠FDH=∠DBG，
又∵∠G=∠H，
∴△BDG≌△DFH(AAS)，
∴FH=DG=3−65=95，DH=BG=35，
∴点F(−65,35)，
当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F(125,95)，
综上点F的坐标为：(−65,35)或(125,95).
故答案为：(−65,35)或(125,95).
(1)设E(0,t)，根据S△BCE=2S△AOB，得12×3(3−t)=3，从而E(0,1)，设直线CE的函数解析式为：y=mx+n，将C、E的坐标代入得出直线CE的解析式，与直线AB联立即可；
(2)当点F在线段CD上时，过点D作GH//y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，可证△BDG≌△DFH(AAS)，得FH=DG=3−65=95，DH=BG=35，从而点(−65,35)；当点F在CD的延长线上时，由对称性可知(125,95).
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造K型全等是解题的关键．
17.【答案】解：−3+x2≤2x−43，
3(−3+x)≤2(2x−4)，
−9+3x≤4x−8，
3x−4x≤9−8，
−x≤1，
x≥−1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：(1)如图，射线BD即为所求；
(2)如图，直线EF即为所求．
【解析】(1)利用尺规作出∠ABC的角平分线BD即可；
(2)利用尺规作出线段BD的垂直平分线EF即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19.【答案】解：(1)把点A(0,−4)，B(3,2)分别代入直线的解析式y=kx+b，
得b=−4，3k+b=2，
解得b=−4，k=2．
∴直线y=kx+b的解析式是y=2x−4；
(2)在直线y=2x−4中，令y=0，得x=2．
∴点C的坐标为(2,0)．
∴S△BOC=12xC⋅yB=12×2×2=2．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)根据求得的解析式可求出C点的坐标，再代入三角形的面积公式即可．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20.【答案】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
∠A=∠D∠B=∠FBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(AAS)；
(2)解：∵△ABC≌△DFE，∠B=50°，
∴∠B=∠F=50°，
∵∠BED=∠D+∠F，∠BED=145°，
∴∠D=95°．
【解析】(1)利用AAS即可证明△ABC≌△DFE；
(2)根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△DFE是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BFG=∠ABE+∠BAF，
∴∠BFG=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°；
(2)∵BG⊥AD，
∴∠BGF=90°，
∴∠FBG=90°−∠BFG=30°，
∴FG=12BF，
∵FG=4，
∴BF=8，
∴BE=BF+FE=8+2=10，
∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=10．
【解析】(1)由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，由△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，由三角形外角的性质即可得到∠BFG=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°．
(2)由含30度角的直角三角形的性质求出BF=8，得到BE=BF+FE10，由△ABE≌△CAD，即可得到AD=BE=10．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形，关键是由△ABE≌△CAD，得到∠ABE=∠CAD，由三角形外角的性质即可求出∠BFG=60°；由含30度角的直角三角形的性质求出BF的长．
22.【答案】解：(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：
80a+45b=2140a+60b=18，
解得a=0.15b=0.2，
答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；
(2)根据题意得，y=0.15x+0.2(2000−x)，即y=−0.05x+400；
根据题意得，2000−x≥x2000−x≤3x，
解得500≤x≤1000，
∴y=−0.05x+400(500≤x≤1000)，
∵−0.05<0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=500时，y取最大值为375元，则2000−x=1500，
即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．
【解析】(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据“销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元”列方程组解答即可；
(2)根据题意即可得出y关于x的函数关系式；根据题意列不等式得出x的取值范围，再结合y关于x的函数关系式解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
23.【答案】(−3,1)
【解析】解：(1)过B作BD⊥x轴于D，如图：
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
又∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
在△BCD和△CAO中，
∠BCD=∠CAO∠BDC=∠AOC=90°BC=AC，
∴△BCD≌△CAO(AAS)，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴OD=OC+CD=3，
∴B(−3,1)；
故答案为：(−3.1)；
(2)将A，B的坐标代入一次函数解析式：
b=2−3k+b=1，
解得：k=13，b=2；
(3)平移直线y=−x，如图：
当直线y=−x+m过A点时，m=2，
当直线y=−x+m过B点时，1=3+m，
∴m=−2，
∴m的取值范围为：−2≤m≤2．
(1)过B作BD⊥x轴于D，根据三角形BCD和三角形CAO全等求出B点坐标即可；
(2)将A，B的坐标代入一次函数解析式，求出k和b即可；
(3)平移直线y=−x，找到与△ABC有公共点时的极限值，代入求解对应的m值即可．
本题主要考查了一次函数综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数平移时坐标变化规律是本题解题的关键．
24.【答案】9 3
【解析】解：(1)当点D在线段BC上时，△BDF是直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAC−∠BAD=∠FAD−∠BAD，即∠BAF=∠CAD，
又∵AD=AF，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABF+∠ABC=90°，
∴∠FBD=90°，
∴△BDF是直角三角形；
(2)∵AE=AE，∠EAF=90°−∠DAE=45°=∠EAD，AF=AD，
∴△FAE=≌△DAE(SAS)，
∴ED=EF，
∴∠BAC=90°，AB=AC=6 2，
∴BC= AB2+AC2=12，
∴BD=BC−CD=12−3=9，
∵△FAB≌△DAC，
∴CD=BF=3，
由(1)可知∠FBD=90°，
设DE=EF=x，则BE=9−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得BF2+BE2=EF2，
∴9+(9−x)2=x2，
解得x=5，
∴ED=5；
(3)如图所示，当点D在CB延长线上时，
∵AD⊥AF，
∴∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠FAD+∠BAD，即∠BAF=∠CAD，
∵AD=AF，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABF+∠ABC=90°，
∴∠FBD=90°：
当点D在射线CB上运动时，点F在过点B月与BC垂直的射线上运动，
由垂线段最短可知，当MF⊥BF时，线段MF最短，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠FBD=90°，
∴∠FBM=45°，
∴△BFM为等直角三角形，
∴MF=BF= 22BM= 22×12AB= 24×6 2=3，
由(1)知：BF=CD=3，
∴BD=BC−DC=12−3=9，此时MF=3，
当BD=9时，MF的长最小，最小值是3．
故答案为：9，3．
(1)证明△FAB≌△DAC，由全等三角形的性质得到∠ABF=∠ACD，再由∠ABC+∠ACB=90°得到∠ABF+∠ABC=90°，即∠FBD=90°，由此可得出结论；
(2)证明△FAE≌△DAE得到ED=EF，利用股定理求出BC=12，进而得到BD=BC−CD=9，由(1)得∠FBD=90°，CD=BF=3，设DE=EF=x，则BE=9−x，在Rt△BEF中，由股定理得即可得到答案；
(3)如图所示，当点D在CB延长线上时，证明△FAB≌△DAC(SAS)，推出∠FBD=90°，则当点D在射线CB上运动时，点F在过点B且与BC垂直的射线上运动，则由垂线段最短可知当MF⊥BF时，线段MF最短，证明△BFM为等腰直角三角形，求出MF=BF= 22BM=3，由(1)知：BF=CD=3，BD=BC−DC=9，此时MF=3，则当BD=9时，MF的长最小，最小值是3．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质．等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
1.下列汽车标志中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知点P(x,y)在第四象限，且|x|=3，|y|=5，则P点的坐标是( )
A. (−3,−5)B. (5,−3)C. (3,−5)D. (−3,5)
3.已知a
A. 6米B. 8.7米C. 27米D. 18米
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
6.下列命题属于真命题的是( )
A. 两个角对应相等的两个三角形全等B. 两条边相等的两个直角三角形全等
C. 腰相等的两个等腰三角形全等D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
7.如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要( )
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
8.关于函数y=kx+k−2，给出下列说法正确的是( )
①当k≠0时，该函数是一次函数；
②若点A(m−1,y1)，B(m+3,y2)在该函数图象上，且y1
③若该函数不经过第四象限，则k>2；
④该函数恒过定点(−1,−2)．
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
9.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE的长( )
A. 3
B. 2
C. 5
D. 4
10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( )
A. 10
B. 8
C. 4 2
D. 8 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为______km．
13.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标是 ．
14.若不等式组x>8x<4m无解，则m的取值范围为______．
15.如图，已知一次函数y=kx+a(k≠0)和正比例函数y=bx(b≠0)的图象交于点A(1,2)，则关于x的不等式bx≤kx+a的解为______．
16.在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(0,3)，C(−3,0)，点D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE=2S△AOB．
(1)E的坐标为：______．
(2)若F为射线CD上一点，且∠DBF=45°，则点F的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式−3+x2≤2x−43，并把解在数轴上表示出来．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中．
(1)作∠ABC的平分线BD．
(2)作线段BD的垂直平分线.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
如图，已知直线y=kx+b的图象经过点A(0,−4)，B(3,2)，且与x轴交于点C．
(1)求直线y=kx+b的解析式；
(2)求△BOC的面积．
20.(本小题6分)
如图，点C，E在BF上，BE=CF，∠B=∠F，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE．
(2)若∠B=50°，∠BED=145°，求∠D的度数．
21.(本小题6分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，△ABE≌△CAD，BG⊥AD，垂足为G．
(1)求∠BFG的度数．
(2)若FG=4，EF=2，求AD的长．
22.(本小题6分)
在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？
23.(本小题8分)
如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，已知点A和点C的坐标分别为(0,2)和(−1,0)，过点A、B的直线关系式为y=kx+b．
(1)点B的坐标为：______．
(2)求k、b的值．
(3)直线y=−x+m与△ABC有公共点，求m的取值范围．
24.(本小题8分)
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6 2，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD(AF始终在AD上方)，且AF=AD，连接BF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断Rt△BDF的形状，并说明理由．
(2)如图2，若D，E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长．
(3)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD= ______时，MF的长最小，最小值是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号及绝对值的性质，熟记各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键，属于基础题．
先根据P点在第四象限判断出x，y的符号，进而求出x，y的值，即可求得答案．
【解答】
解：∵点P(x,y)在第四象限，
∴x>0，y<0，
∵|x|=3，|y|=5，
∴x=3，y=−5，
∴P点的坐标是(3,−5)．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：A、根据不等式性质1，不等式a
C、根据不等式性质3，不等式a
D、根据不等式性质2，不等式a
故选：C．
根据不等式基本性质逐一判断即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】解：由三角形三边关系定理得：14−9
故选：C．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
根据三角形的内角和定理，求出∠ABC=75°，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，从而得出∠CBD=∠ABC−∠ABD即可求解．
【解答】
解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=75°−30°=45°．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：A、两三角形全等，至少需要一边相等的条件，原命题是假命题，故A不符合题意；
B、有可能两个直角三角形的斜边和直角边相等，此时两个直角三角形不全等，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、腰相等的两个等腰三角形的顶角或底边不一定相等，因此腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，正确，故D符合题意．
故选：D．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 52−32=4(米)，
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是3+4=7(米)．
故选：D．
当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．
此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①中，当k≠0时，x能存在，该函数是一次函数，故符合题意；
②中，∵m−1
③中，当k=2，函数也不经过第四象限，故③不符合题意；
④∵y=kx+k−2=k(x+1)−2，∴当x=−1时，y=−2，与k的值无关，故符合题意，
故选：A．
根据一次函数的定义、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．
本题考查了一次函数的性质和点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=AC，
将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AED，
∴△ABC≌△DAE，
∴DE=BC=4，∠ACB=∠ADE，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠ADE+∠EDC=45°，
∴∠ACB+∠EDC=45°，
∴∠ACB+∠EDC+∠ACD=90°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥BC
∴S△BDC=12BC⋅DE=12×4×4=8．
故选：B．
将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AED，依据旋转的性质可得DE=BC=4，∠ACB=∠ADE，进而得出∠ACB+∠EDC+∠ACD=90°，然后根据S△BDC=12BC⋅DE求得即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】1.2
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．
【解答】
解：∵M是公路AB的中点，
∴AM=BM，
∵AC⊥BC，
∴CM=AM=BM，
∵AM的长为1.2km，
∴M，C两点间的距离为1.2km．
故答案为1.2．
13.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B(−4,−1)的对应点D的坐标．
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
【解答】
解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
14.【答案】m≤2
【解析】解：∵不等式组x>8x<4m无解，
∴4m≤8，
解得m≤2．
故答案为：m≤2．
根据不等式组无解得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查不等式解集的表示方法，主要根据“比大的大，比小的小无解”．
15.【答案】x≤1
【解析】解：由图象得：在直线s=1是左边，一次函数的图象位于上面，
所以不等式bx≤kx+a的解为：x≤1，
故答案为：x≤1．
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16.【答案】(0,1) (−65,35)或(125,95)
【解析】解：(1)设E(0,t)，
∵A(1,0)，B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，
∴S△AOB=12×1×3=32，
∵S△BCE=2S△AOB，
∴S△BCE=3，
∴12×3(3−t)=3，
解得t=1，
∴E(0,1)；
故答案为：(0,1)；
(2)在射线CD上存在两个F点，使∠DBF=45°，
如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH//y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，
∵OE=OA=1，OC=OB=3，∠COE=∠BOA=90°，
∴△COE≌△BOA(SAS)，
∴CE=AB，∠OCE=∠OBA，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠OCE+∠BAO=90°，
∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AB，
∵∠DBF=45°，
∴∠DBF=∠DFB=45°，
∴BD=DF，
∵∠BDG+∠FDH=90°，
∠BDG+∠DBG=90°，
∴∠FDH=∠DBG，
又∵∠G=∠H，
∴△BDG≌△DFH(AAS)，
∴FH=DG=3−65=95，DH=BG=35，
∴点F(−65,35)，
当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F(125,95)，
综上点F的坐标为：(−65,35)或(125,95).
故答案为：(−65,35)或(125,95).
(1)设E(0,t)，根据S△BCE=2S△AOB，得12×3(3−t)=3，从而E(0,1)，设直线CE的函数解析式为：y=mx+n，将C、E的坐标代入得出直线CE的解析式，与直线AB联立即可；
(2)当点F在线段CD上时，过点D作GH//y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，可证△BDG≌△DFH(AAS)，得FH=DG=3−65=95，DH=BG=35，从而点(−65,35)；当点F在CD的延长线上时，由对称性可知(125,95).
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造K型全等是解题的关键．
17.【答案】解：−3+x2≤2x−43，
3(−3+x)≤2(2x−4)，
−9+3x≤4x−8，
3x−4x≤9−8，
−x≤1，
x≥−1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：(1)如图，射线BD即为所求；
(2)如图，直线EF即为所求．
【解析】(1)利用尺规作出∠ABC的角平分线BD即可；
(2)利用尺规作出线段BD的垂直平分线EF即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
19.【答案】解：(1)把点A(0,−4)，B(3,2)分别代入直线的解析式y=kx+b，
得b=−4，3k+b=2，
解得b=−4，k=2．
∴直线y=kx+b的解析式是y=2x−4；
(2)在直线y=2x−4中，令y=0，得x=2．
∴点C的坐标为(2,0)．
∴S△BOC=12xC⋅yB=12×2×2=2．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)根据求得的解析式可求出C点的坐标，再代入三角形的面积公式即可．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20.【答案】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
∠A=∠D∠B=∠FBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(AAS)；
(2)解：∵△ABC≌△DFE，∠B=50°，
∴∠B=∠F=50°，
∵∠BED=∠D+∠F，∠BED=145°，
∴∠D=95°．
【解析】(1)利用AAS即可证明△ABC≌△DFE；
(2)根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△DFE是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BFG=∠ABE+∠BAF，
∴∠BFG=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°；
(2)∵BG⊥AD，
∴∠BGF=90°，
∴∠FBG=90°−∠BFG=30°，
∴FG=12BF，
∵FG=4，
∴BF=8，
∴BE=BF+FE=8+2=10，
∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=10．
【解析】(1)由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，由△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，由三角形外角的性质即可得到∠BFG=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°．
(2)由含30度角的直角三角形的性质求出BF=8，得到BE=BF+FE10，由△ABE≌△CAD，即可得到AD=BE=10．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形，关键是由△ABE≌△CAD，得到∠ABE=∠CAD，由三角形外角的性质即可求出∠BFG=60°；由含30度角的直角三角形的性质求出BF的长．
22.【答案】解：(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：
80a+45b=2140a+60b=18，
解得a=0.15b=0.2，
答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；
(2)根据题意得，y=0.15x+0.2(2000−x)，即y=−0.05x+400；
根据题意得，2000−x≥x2000−x≤3x，
解得500≤x≤1000，
∴y=−0.05x+400(500≤x≤1000)，
∵−0.05<0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=500时，y取最大值为375元，则2000−x=1500，
即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．
【解析】(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据“销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元”列方程组解答即可；
(2)根据题意即可得出y关于x的函数关系式；根据题意列不等式得出x的取值范围，再结合y关于x的函数关系式解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
23.【答案】(−3,1)
【解析】解：(1)过B作BD⊥x轴于D，如图：
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
又∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
在△BCD和△CAO中，
∠BCD=∠CAO∠BDC=∠AOC=90°BC=AC，
∴△BCD≌△CAO(AAS)，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴OD=OC+CD=3，
∴B(−3,1)；
故答案为：(−3.1)；
(2)将A，B的坐标代入一次函数解析式：
b=2−3k+b=1，
解得：k=13，b=2；
(3)平移直线y=−x，如图：
当直线y=−x+m过A点时，m=2，
当直线y=−x+m过B点时，1=3+m，
∴m=−2，
∴m的取值范围为：−2≤m≤2．
(1)过B作BD⊥x轴于D，根据三角形BCD和三角形CAO全等求出B点坐标即可；
(2)将A，B的坐标代入一次函数解析式，求出k和b即可；
(3)平移直线y=−x，找到与△ABC有公共点时的极限值，代入求解对应的m值即可．
本题主要考查了一次函数综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数平移时坐标变化规律是本题解题的关键．
24.【答案】9 3
【解析】解：(1)当点D在线段BC上时，△BDF是直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAC−∠BAD=∠FAD−∠BAD，即∠BAF=∠CAD，
又∵AD=AF，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABF+∠ABC=90°，
∴∠FBD=90°，
∴△BDF是直角三角形；
(2)∵AE=AE，∠EAF=90°−∠DAE=45°=∠EAD，AF=AD，
∴△FAE=≌△DAE(SAS)，
∴ED=EF，
∴∠BAC=90°，AB=AC=6 2，
∴BC= AB2+AC2=12，
∴BD=BC−CD=12−3=9，
∵△FAB≌△DAC，
∴CD=BF=3，
由(1)可知∠FBD=90°，
设DE=EF=x，则BE=9−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得BF2+BE2=EF2，
∴9+(9−x)2=x2，
解得x=5，
∴ED=5；
(3)如图所示，当点D在CB延长线上时，
∵AD⊥AF，
∴∠BAC=∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠FAD+∠BAD，即∠BAF=∠CAD，
∵AD=AF，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABF+∠ABC=90°，
∴∠FBD=90°：
当点D在射线CB上运动时，点F在过点B月与BC垂直的射线上运动，
由垂线段最短可知，当MF⊥BF时，线段MF最短，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠FBD=90°，
∴∠FBM=45°，
∴△BFM为等直角三角形，
∴MF=BF= 22BM= 22×12AB= 24×6 2=3，
由(1)知：BF=CD=3，
∴BD=BC−DC=12−3=9，此时MF=3，
当BD=9时，MF的长最小，最小值是3．
故答案为：9，3．
(1)证明△FAB≌△DAC，由全等三角形的性质得到∠ABF=∠ACD，再由∠ABC+∠ACB=90°得到∠ABF+∠ABC=90°，即∠FBD=90°，由此可得出结论；
(2)证明△FAE≌△DAE得到ED=EF，利用股定理求出BC=12，进而得到BD=BC−CD=9，由(1)得∠FBD=90°，CD=BF=3，设DE=EF=x，则BE=9−x，在Rt△BEF中，由股定理得即可得到答案；
(3)如图所示，当点D在CB延长线上时，证明△FAB≌△DAC(SAS)，推出∠FBD=90°，则当点D在射线CB上运动时，点F在过点B且与BC垂直的射线上运动，则由垂线段最短可知当MF⊥BF时，线段MF最短，证明△BFM为等腰直角三角形，求出MF=BF= 22BM=3，由(1)知：BF=CD=3，BD=BC−DC=9，此时MF=3，则当BD=9时，MF的长最小，最小值是3．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质．等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
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