2023-2024学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )
A. 3cm，4cm，5cmB. 8cm，3cm，5cm
C. 3cm，4cm，8cmD. 4cm，4cm，8cm
2.下列说法中正确的是( )
A. 三角形的一个外角大于任一内角B. 三角形的内角平分线是射线
C. 三角形的外角和是其内角和的两倍D. 钝角三角形的两条中线在三角形外部
3.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形中，正确的是( )
A. ab=a+1b+1B. ab=a2b2C. ab=ambm(m≠0)D. a+1b−1=1−a1−b
5.下列计算中，①(−a3)÷(−a)2=−a；②2a2⋅3a3=6a6；③2a3⋅a3−(2a2)3=0；④(3a2+2a4)÷a2=3+2a2.正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图，已知AB=AD，AC=AE，要证△ABC≌△ADE，可以添加的条件是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠B=∠D
C. ∠C=∠E
D. ∠CAD=∠DAC
7.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D是BC边上的中点，则AD的长m满足的条件是( )
A. 2B. 2C. 2D. 18.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，连接CD，点E是CD上一点，∠CAE=∠BCD，则下列结论正确的是( )
A. AE=AD
B. ∠AED=60°
C. BD=CE
D. ∠AEC=∠BDC
9.利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
A. 580x=580x+20+2.5B. 580x=580x−20−2.5
C. 580x−2.5=580x+20D. 580x=580x−2.5−20
10.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论：
①∠MBC=∠MCB；
②∠BMC=∠MCB+∠MBC+∠A；
③∠BMC=90°+12∠A；
④点M到AB，AC的距离相等．
其中，正确的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：(2x)3⋅(−x2)2= ______．
12.分解因式：mx2−6mx+9m=______．
13.如图，已知∠ABC=90°，点D是BC上一定点，点E是射线BA上一动点，∠CDE和∠AED的平分线DM，EM交于点M，则∠DME= ______．
14.八(一)班的学生在探究等腰三角形边角关系的活动中发现一个有趣的三角形，如图，△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，△ACD与△BCD都是等腰三角形，则∠A的度数是______．
15.分式x+12x−1的值为1，则x= ______．
16.观察下列表格中数组的规律，
根据如表的规律，写出第n组的三个数字满足的等式：______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2x+3)(x−1)；
(2)(x+y+1)2．
18.(本小题8分)
解方程：xx−1=32x−2−1
19.(本小题8分)
如图，在7×7的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形.在网格中，若格点△DEC与△ABC关于某直线对称，这样的三角形有______个，并画出图形，不写作法．
20.(本小题8分)
先化简再求值：a2−2a+1a2−4a+4÷a−1a2−4，其中a=3．
21.(本小题8分)
如图，∠MON=90°，点A，C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，等边三角形ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．
22.(本小题10分)
某县计划改造一条长1500米的老街道路，该工程若由甲队单独施工恰好能在规定时间内完成；若由乙队单独施工，完成工程所需时间比规定时间多一半.如果由甲、乙两队先合作施工20天，那么余下的工程由乙队单独完成还需25天．
(1)求完成这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为4500元，乙工程队每天的施工费用为2400元.为了缩短工期减少对居民生活的影响，工程指挥部决定该工程由甲乙两队合作来完成，则该工程施工费用是多少钱？
23.(本小题10分)
先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
(1)填空：因式分解m2−mn+mx−nx= ______；
(2)因式分解(写出详细步骤)：(a2−a)(a2−a−2)−24；
(3)若△ABC三边分别为a，b，c，其中a=3，b2+c2−6b−6c+18=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24.(本小题12分)
如图1，以△ABC的两边AB，BC为边向外作等边三角形ABD，BCE，连接CD，AE．
(1)求证：AE=CD；
(2)如图2，CD与AE交于点M，连接BM，探究∠AMB的大小；
(3)如图3，若AB=c，AC=b，BC=a，CD=d，射线BM上是否存在一点P，使△ACP也是等边三角形，若存在，试探究BP满足的条件；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、3+4>5，长度是3cm、4cm、5cm的线段能组成三角形，故A符合题意；
B、3+5=8，长度是3cm、5cm、8cm的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、3+4<8，长度是3cm、4cm、8cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+4=8，长度是4cm、4cm、8cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：A．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】C
【解析】解：A、应为三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项错误；
B、三角形的内角平分线是线段，故本选项错误；
C、根据三角形的内角和定理，三角形内角和为180°，三角形外角和为360°，故三角形的外角和是其内角和的两倍，故本选项正确；
D、钝角三角形的两条高线在三角形外部，三条中线均在三角形内部，故本选项错误．
故选：C．
据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记定理是解题的关键，需要熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】解：选项B的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、C、D的图形能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】C
【解析】解：∵分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，
∴A，B，D错误，不符合题意；
C选项中分子分母都乘以m(m≠0)，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：C．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
5.【答案】B
【解析】解：①(−a3)÷(−a)2=−a3÷a2=−a，故①正确；
②2a2⋅3a3=6a5，故②不正确；
③2a3⋅a3−(2a2)3=2a6−8a6=−6a6，故③不正确；
④(3a2+2a4)÷a2=3+2a2，故④正确；
所以，上列计算中，正确的有2个，
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，多项式除以单项式，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、由∠1=∠2，得到∠BAC=∠DAE，又AB=AD，AC=AE，由SAS判定△ABC≌△ADE，故A符合题意；
B、∠B和∠D分别是AC和AE的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故B不符合题意；
C、∠C和∠E分别是AB和AD的对边，不能判定△ABC≌△ADE，故C不符合题意；
D、∠CAD=∠DAC，∠CAD和∠DAC是同一个角，不是两三角形的角，不能判定△ABC≌△ADE，故D不符合题意．
故选：A．
由全等三角形的判定定理，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7.【答案】D
【解析】解：如图，延长AD到点E，使DE=AD．
∵点D是BC的中点(已知)，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS )．
∴AC=BE=6，
∵AB=8，
∴8−6∴2<2AD<14，
∴1故选：D．
如图，延长AD到点E，使DE=AD.根据线段中点的定义得到CD=BD，根据全等三角形的性质得到AC=BE=6，根据三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的定义，线段中点的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=∠CBD=60°，AC=BC，
∵∠AED=∠CAE+∠ACE，∠CAE=∠BCD，
∴∠AED=∠BCD+∠ACE=∠ACF=60°，故B正确；
∵∠ADE=∠CBD+∠BCD=60°+∠BCD，
∴∠ADE与∠AED不一定相等，
∴AE与AD不一定相等，故A不正确；
如图，延长AE交BC于点F，
在△ACF和△CBD中，
∠ACF=∠CBDAC=BC∠CAF=∠BCD，
∴△ACF≌△CBD(ASA)，
∴CF=BD，∠AFC=∠BDC，
∵∠CFE=∠CBD+∠BAF=60°+∠BAF，∠CEF=∠AED=60°，
∴∠CFE与∠CEF不一定相等，
∴CF与CE不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故C不正确；
∵∠AEC=∠AFC+∠BCD，
∴∠AEC与∠AFC不一定相等，
∴∠AEC与∠BDC不一定相等，故D不正确；
综上所述，结论正确的是B，
故选：B．
由等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：若大巴车的速度为x km/h，则轿车的速度为(x+20)km/h，由题意得：
580x=580x+20+2.5，
故选：A．
根据题意可得：大巴车的速度为x km/h，轿车的速度为(x+20)km/h，根据关键语句“乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
10.【答案】C
【解析】解：过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠ABM=∠MBC=12∠ABC，∠ACM=∠MCB=12∠ACB，
∴∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)
=180°−(12∠ABC+12∠ACB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−90°+12∠A，
=90°+12∠A，
∵∠A+∠ABM+∠ACM=180°−(∠MBC+∠MCB)，
∴∠BMC=∠A+∠ABM+∠ACM=∠A+∠MBC+∠MCB，
∵BM平分∠ABC，MD⊥BC，ME⊥AB，
∴MD=ME，
∵CM平分∠ACB，MD⊥BC，MF⊥AC，
∴MD=MF，
∴ME=MF，
∴点M到AB，AC的距离相等，
∵∠ABC≠∠ACB，
∴∠MBC≠∠MCB，
故②③④正确，①不正确；
故选：C．
过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，先利用角平分线的定义可得∠ABM=∠MBC=12∠ABC，∠ACM=∠MCB=12∠ACB，从而利用三角形内角和定理以及等量代换可得∠BMC=90°+12∠A，再利用三角形内角和定理可得∠A+∠ABM+∠ACM=180°−(∠MBC+∠MCB)，从而利用等量代换可得∠BMC=∠A+∠ABM+∠ACM=∠A+∠MBC+∠MCB，最后利用角平分线的性质可得MD=ME=MF，再根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠MBC≠∠MCB，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】8x7
【解析】解：(2x)3⋅(−x2)2
=8x3⋅x4
=8x7．
故答案为：8x7．
根据单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则是解决本题的关键．
本题主要考查单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则是解决本题的关键．
12.【答案】m(x−3)2
【解析】解：mx2−6mx+9m=m(x2−6x+9)=m(x−3)2．
故答案为：m(x−3)2．
先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】45°
【解析】解：∵∠ABC=90°，
∴∠BDE+∠BED=90°，
∵DM，EM平分∠CDE和∠AED，
∴∠MDE=12∠CDE,∠MED=12∠AED，
∴∠MDE+∠MED
=12∠CDE+12AED
=12(∠CDE+∠AED)
=12(∠ABC+∠BED+∠ABC+∠BDE)
=12×(90°+90°+90°)
=12×270°
=135°，
∵∠BDE+∠BED+∠DME=180°，
∴∠DME=180°−135°=45°，
故答案为：45°．
先根据已知条件和三角形内角和定理求出∠BDE+∠BED的度数，再利用角平分线的性质证明∠MDE=12∠CDE,∠MED=12∠AED，从而求出∠MDE+∠MED的度数，最后根据三角形内角和定理求出答案即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，正确识别图形，并能理解角与角之间的数量关系．
14.【答案】36°
【解析】解：如图，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ACD与△BCD都是等腰三角形，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠CDB，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
∴∠ABC=∠ACB=2∠A，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°．
故答案为：36°．
由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，∠A=∠ACD，∠B=∠CDB，由三角形外角的性质得到∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，因此∠ABC=∠ACB=2∠A，由三角形内角和定理得到∠A+2∠A+2∠A=180°，即可求出∠A=36°．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点列出关于∠A的方程．
15.【答案】2
【解析】解：根据题意得，x+1=2x−1，
解得x=2，
故答案为：2．
根据分式的性质进行计算即可得解．
本题考查了解分式方程，关键是分式性质的应用．
16.【答案】(2n+1)2=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)
【解析】解：n=1时，32=4+5，即(2×1+1)2=(2×1+1)2−12+((2×1+1)2−12+1)，
n=2时，52=12+13，即(2×2+1)2=(2×2+1)2−12+((2×2+1)2−12+1)，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴第n组的三个数字满足的等式：(2×n+1)2=(2×n+1)2−12+((2×n+1)2−12+1)，
化简得：(2n+1)2=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)．
故答案为：(2n+1)2=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)．
由n=1时，32=4+5，即(2×1+1)2=(2×1+1)2−12+((2×1+1)2−12+1)，n=2时，52=12+13，即(2×2+1)2=(2×2+1)2−12+((2×2+1)2−12+1)，得出规律后，第n组的三个数字满足的等式：(2×n+1)2=(2×n+1)2−12+((2×n+1)2−12+1)，再化简即可．
本题考查了数字的变化知识，从表格中找到规律是解题关键．
17.【答案】解：(1)(2x+3)(x−1)
=2x2−2x+3x−3
=2x2+x−3；
(2)(x+y+1)2．
=[(x+y)+1]2
=(x+y)2+2(x+y)+1
=x2+2xy+y2+2x+2y+1．
【解析】(1)运用多项式乘多项式的计算方法进行求解；
(2)变形后运用完全平方公式计算方法进行求解．
此题考查了整式乘法的运算能力，关键是能准确确定运算方法和顺序进行计算．
18.【答案】解：去分母得：2x=3−2x+2，
解得：x=54，
经检验x=54是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】3
【解析】解：如图，△CD1E1、△CD2E2、△CD3E3为所作．
故答案为：3．
以直线AC为对称轴得到△CD1E1，以BC的垂直平分线为对称轴得到△CD2E2，以7×7的正方形网格的对角线所在直线为对称轴得到△CD3E3．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点)．
20.【答案】解：原式=(a−1)2(a−2)2⋅(a+2)(a−2)a−1
=(a−1)(a+2)a−2
=a2−a−2a−2，
当a=3时，原式=9−3−23−2=4．
【解析】先把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=a2−a−2a−2，然后把a=3代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
21.【答案】证明：∵∠MON=90°，
∴∠AOC=90°，
∵△AOB与△ACD都是等边三角形，
∴AC=AD，AO=AB，∠CAD=∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°，
∴∠OAC+∠BAC=∠BAD+∠BAC，
即∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
AC=AD∠OAC=∠BADAO=AB，
∴△AOC≌△ABD(SAS)，
∴∠AOC=∠ABD=90°，
∴∠OBE=180°−∠ABD−∠ABO=180°−90°−60°=30°，
∵∠BOE=∠AOC−∠AOB=90°−60°=30°，
∴∠OBE=∠BOE，
∴OE=BE．
【解析】由等边三角形的性质得AC=AD，AO=AB，∠CAD=∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°，再证△AOC≌△ABD(SAS)，得∠AOC=∠ABD=90°，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明△AOC≌△ABD(SAS)是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设完成这项工程的规定时间是x天，则乙队单独施工完成所需时间是1.5x天，
由题意得：(1x+11.5x)×20+11.5x×25=1，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意，
答：该项工程的规定时间是50天；
(2)甲、乙队合做完成所需的天数为：1÷(150+11.5×50)=30(天)，
∴该工程施工总费用=30×(4500+2400)=207000(元)，
答：该工程施工费用是207000元．
【解析】(1)设该项工程的规定时间是x天，则乙队单独施工完成所需时间是1.5x天，根据“甲的工作量+乙的工作量=1”列出分式方程，解方程即可；
(2)求出甲、乙队合做完成所需的天数，再根据施工费用=施工时间×每天施工的费用，列式计算即可．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】(m+x)(m−n)
【解析】解：(1)m2−mn+mx−nx=(m2−mn)+(mx−nx)=m(m−n)+x(m−n)=(m+x)(m−n)；
(2)设a2−a=y，
∴原式=y(y−2)−24=y2−2y−24=(y−6)(y+4)=(a2−a−6)(a2−a+4)=(a−3)(a+2)(a2−a+4)；
(3)△ABC是等边三角形．
理由：
∵b2+c2−6b−6c+18=0，
∴(b2−6b+9)+(c2−6c+9)=0，
(b−3)2+(c−3)2=0．
∴b−3=0，c−3=0．
∴b=3，c=3．
∵a=3，
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
(1)把所给代数式两两分组后，提公因式，再提公因式即可；
(2)可设a2−a=y，代入后进行因式分解，再换成含a的式子，分解到底即可；
(3)把所给等式整理成两个完全平方式相加得0的形式，即可得到b，c的值，结合a的值，即可判断出△ABC的形状．
本题考查因式分解的应用．用分组分解法分解因式要正确分组；用换元法分解因式要注意整体思想的应用；因式分解一定要分解到底．
24.【答案】(1)证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC=60°+∠ABC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=CD．
(2)解：∠AMB=120°，
理由：如图2，设CD交AB于点G，作BF⊥CD于点F，BI⊥AE于点I，
由(1)得△ABE≌△DBC，AE=CD，
∴S△ABE=S△DBC，∠BAE=∠BDC，
∴12AE⋅BI=12CD⋅BF，
∴BI=BF，
∴点B在∠DME的平分线上，
∴MB平分∠DME，
∵∠AMD=∠AGD−∠BAE=∠AGD−∠BDC=∠ABD=60°，
∴∠DME=180°−∠AMD=120°，
∴∠BMD=∠BME=12∠DME=60°，
∴∠AMB=∠AMD+∠BMD=120°．
(3)解：存在一点P，使△ACP也是等边三角形，条件是BP=CD=d，
理由：如图3，设CD交AB于点G，
由(2)得∠BMD=60°，
∴∠BMD=∠BAD=60°，
∴∠ABP=∠AGM−∠BMD=∠AGM−∠BAD=∠ADC，
在△ABP和△ADC中，
AB=AD∠ABP=∠ADCBP=DC，
∴△ABP≌△ADC(SAS)，
∴AP=AC，∠BAP=∠DAC，
∴∠PAC=∠BAP−∠BAC=∠DAC−∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACP是等边三角形．
∴存在一点P，使△ACP也是等边三角形，条件是BP=CD=d．
【解析】(1)由等边三角形的性质得AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，则∠ABE=∠DBC=60°+∠ABC，即可根据“SAS”证明△ABE≌△DBC，得AE=CD；
(2)设CD交AB于点G，作BF⊥CD于点F，BI⊥AE于点I，由全等三角形的性质得AE=CD，S△ABE=S△DBC，∠BAE=∠BDC，则12AE⋅BI=12CD⋅BF，所以BI=BF，则MB平分∠DME，再推导出∠AMD=∠ABD=60°，则∠DME=120°，所以∠BMD=12∠DME=60°，则∠AMB=120°；
(3)设CD交AB于点G，BP=CD=d，由∠BMD=∠BAD=60°，推导出∠ABP=∠ADC，可证明△ABP≌△ADC，得AP=AC，∠BAP=∠DAC，则∠PAC=∠BAD=60°，所以△ACP是等边三角形，所以存在一点P，使△ACP也是等边三角形，条件是BP=CD=d．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、根据面积等式证明线段相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明此题综合性强，难度较大，△ABE≌△DBC是解题的关键．组别
数字
等式
1
3，4，5
32=4+5
2
5，12，13
52=12+13
3
7，24，25
72=24+25
4
9，40，41
92=40+41
⋯
⋯
⋯
材料一
材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．
例am+an+bm+bn
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)．
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.例(x2+2x)(x2+2x+3)−4进行因式分解的过程：
设x2+2x=y，
原式=y(y+3)−4=y2+3y−4=(y−1)(y+4)=(x2+2x−1)(x2+2x+4)