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2023-2024学年福建省福州市台江区七年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人.将数据50100用科学记数法表示为( )
A. 5.01×104B. 50.1×103C. 0.501×105D. 5.01×105
2.转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为( )
A. 点动成线B. 线动成面C. 面动成体D. 面与面相交成线
3.−8的立方根为( )
A. 2B. −2C. ±2D. ±4
4.下列能用2a+4表示的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是( )
A. − 2B. 2C. 5D. π
6.如图，甲从点A出发向北偏东60°方向走到点B，乙从点A出发走到点C，若∠BAC=140°，则乙从点A出发沿方向走到点C．( )
A. 南偏西30°
B. 西偏南40°
C. 南偏西20°
D. 西偏南20°
7.下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是( )
A. x=−2，y=−1B. x=2，y=−1
C. x=−1，y=−2D. x=2，y=1
8.下列运用等式的基本性质变形错误的是( )
A. 若a=b，则a−5=b−5B. 若a=b，则 ac=bc
C. 若ac=bc，则a=bD. 若ac=bc，则a=b
9.如图所示：两个圆的面积分别为19、11，两个空白部分的面积分别为a、b(a>b)，则a−b的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.当x的取值不同时，整式ax−b(其中a，b是常数)的值也不同，具体情况如表所示：
则关于x的方程ax=b−2的解为( )
A. x=−2B. x=−1C. x=0D. x=1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.−11的相反数是______．
12.已知2xm−2+3=0是关于x的一元一次方程，则m= ______．
13.841的算术平方根是______．
14.若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度.
15.如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点.若线段MN的长为4，则线段BC的长度是______．
16.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现有如图2所示的“幻方”，则(x−y)m−n的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共110分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：−12+3×(−1)4+|3−6|．
18.(本小题10分)
解方程：2x−32−7x+24=1．
19.(本小题12分)
已知12a3+xb8−y与3a4b6是同类项，求3y3−4x3y−4y3+2x3y的值．
20.(本小题12分)
如图，在边长均为2的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点A′均在格点上.将△ABC向右平移，使点A平移至点A′处，得到△A′B′C′．
(1)在图中画出△A′B′C′；
(2)边AC扫过的图形面积为 ．
21.(本小题12分)
完成下面推理过程．
如图：已知，∠A=112°，∠ABC=68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=112°，∠ABC=68°(已知)
∴∠A+∠ABC=180°
∴AD//BC(______)
∴∠1= ______(______)
∵BD⊥DC，EF⊥DC(已知)
∴∠BDF=90°，∠EFC=90°(______)
∴∠BDF=∠EFC=90°
∴BD//EF(______)
∴∠2= ______(______)
∴∠1=∠2(______)
22.(本小题12分)
新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本40元.为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折.”乙说：“如果购书超出100本，则超出的部分打八折.”
(1)若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数．
(2)若新华书店去甲、乙两处需支付的钱数一样，则新华书店准备订购多少本图书？
23.(本小题12分)
如图，点B、C在线段AD上，且AB：BC：CD=2：3：4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点．
(1)若MN=9，点N是线段CD的中点，求BD的长；
(2)若MN=a，点N是线段CD的三等分点，且满足CN24.(本小题14分)
任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数￡：m(1)无理数 19的“麓外区间”是______；
(2)若b= a−2+ 2−a− 7，求b的“麓外区间”；
(3)实数x，y，n满足 2x+3y−n+ 3x+4y−2n= x+y−41+ 41−x−y，求n的算术平方根的“麓外区间”．
25.(本小题16分)
如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN//AB，∠BAC=60°，∠B=30°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求证：∠CAD=∠BFN．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在(1)的条件下，将三角形DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t(0≤t≤21)，则在旋转过程中，当三角形DKF的其中一边与三角形CEF的某一边平行时，求此时t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：50100=5.01×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2.【答案】B
【解析】解：轮子上的辐条可以近似的看作“线段”，
轮子转动轮子上的辐条会形成一个圆面，就形成“线动成面”，
故选：B．
根据“线动成面”进行判断即可．
本题考查点、线、面、体，理解点、线、面、体之间的关系是正确判断的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵−2的立方等于−8，
∴−8的立方根等于−2．
故选：B．
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
4.【答案】C
【解析】解：A中线段AB的长为2+3+4=9，则A不符合题意；
B中图形的面积为2×(3+4)=14，则B不符合题意；
C中长方形的周长为2(a+2)=2a+4，则C符合题意；
D中圆柱的体积为4a，则D不符合题意；
故选：C．
根据各项中的图形列得代数式后进行判断即可．
本题考查列代数式，结合各选项中的图形列得正确的代数式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得，1∵1< 2<2，
∴这个无理数是 2．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB与正东方向的夹角为90°−60°=30°，
∵∠BAC=140°，
∴AC与正南方向的夹角为140°−90°−30°=20°，
即乙从点A出发沿南偏西20°方向走到点C，
故选：C．
先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵当x=−1，y=−2时，(−2)2>(−1)2，而−2<−1，
∴x>y，但是x2∴x=−1，y=−2是假命题的反例．
其他选项不能说明；
故选：C．
此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、若a=b，则a−5=b−5，故本选项正确，不符合题意；
B、若a=b，则 ac=bc，故本选项正确，不符合题意；
C、若ac=bc，且c≠0，则a=b，故本选项错误，符合题意；
D、若ac=bc，则a=b，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据等式的基本性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设重叠部分面积为c，
a−b=(a+c)−(b+c)=19−11=8．
故选：D．
设重叠部分面积为c，(a−b)可理解为(a+c)−(b+c)，即两个圆面积的差．
本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵ax=b−2，
∴ax−b=−2，
从表格中观察：当ax−b=−2时，x=0，
故选：C．
方程整理为ax−b=−2，根据表格确定出所求方程的解．
本题考查一元一次方程的解，解题的关键是理清表格中数据的含义．
11.【答案】11
【解析】解：−11的相反数是11．
故答案为：11．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
12.【答案】3
【解析】解：∵2xm−2+3=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2=1，
解得：m=3．
故答案为：3．
利用一次一次方程的定义，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
13.【答案】29
【解析】解：∵292=841，
∴841的算术平方根是29，
故答案为：29．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，由此解答即可．
本题考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
14.【答案】45
【解析】解：设这个角为x度，则：180−x=3(90−x)．
解得：x=45．
故这个角的度数为45度．
题中的等量关系为：这个角的补角=它的余角×4．
本题主要考查了余角和补角，根据题意列出方程是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
∴AM=BM=12AB，AN=CN=12AC，
∴BM=AM=AN+NM=CN+MN=CM+2MN，
∵MN=4，
∴BM=CM+2MN=CM+8，
∵BC=BM−CM，
∴BC=8，
故答案为：8．
因为点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，可得AM=BM=12AB，AN=CN=12AC，BM=CM+2MN，已知MN=4，可得BM=CM+8，又因BC=BM−CM，可得BC的长．
本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
16.【答案】−27
【解析】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，
∴根据题意可知：x+2+p=y−1+p，n+2+q=m−1+q，
∴x−y=−3，m−n=3，
∴(x−y)m−n=(−3)3=−27，
故答案为：−27．
设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：x+2+p=y−1+p，n+2+q=m−1+q，变形可得：x−y=−3，m−n=3，即可求出(x−y)m−n的值．
本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出x−y，m−n的值是解答本题的关键．
17.【答案】解：−12+3×(−1)4+|3−6|
=−1+3×1+|−3|
=−1+3+3
=5．
【解析】先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：去分母得：2(2x−3)−(7x+2)=4，
去括号得：4x−6−7x−2=4，
移项合并得：−3x=12，
解得：x=−4．
【解析】方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
19.【答案】解：3y3−4x3y−4y3+2x3y
=−y3−2x3y，
∵12a3+xb8−y与3a4b6是同类项，
∴3+x=4，8−y=6，
∴x=1，y=2，
把x=1，y=2代入得：
原式=−23−2×13×2
=−8−2×1×2
=−8−4
=−12．
【解析】先合并同类项化简所求式子，再根据同类项定义求出x、y的值，代入即可算出答案．
本题考查整式化简求值，解题的关键是根据已知求出x、y的值．
20.【答案】12
【解析】解：(1)△A′B′C′如图所示；
(2)AC扫过的图形为平行四边形ACC′A′，
面积=2×6=12．
(1)根据网格结构找出点B、C的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可得到△A′B′C′；
(2)根据平行四边形的面积求出AC所扫过的面积即可．
本题考查了利用作图−平移变换，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21.【答案】同旁内角互补，两直线平行 ∠3 两直线平行，内错角相等 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 ∠3 两直线平行，同位角相等 等量代换
【解析】证明：∵∠A=112°，∠ABC=68°(已知)，
∴∠A+∠ABC=180°．
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠1=∠3 (两直线平行，内错角相等)．
∵BD⊥DC，EF⊥DC(已知)，
∴∠BDF=90°，∠EFC=90°(垂直的定义)．
∴∠BDF=∠EFC=90°．
∴BD//EF(同位角相等，两直线平行)．
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)．
∴∠1=∠2(等量代换)．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．
本题考查了平行线的性质或判断，题目难度不大，由平行得到角间关系是平行线的性质，由角间关系得到平行，是平行线的判定．
22.【答案】解：(1)40×910×150=5400(元)，
40×100+40×810×(150−100)=5600(元)，
答：去甲、乙两处需支付的钱数分别为5400元、5600元．
(2)新华书店准备订购x本图书，
根据题意得40×910x=40×100+40×810×(x−100)，
解得x=200，
答：新华书店准备订购200本图书．
【解析】(1)由算式40×910×150可求出去甲处需要的钱数，由算式40×100+40×810×(150−100)可求出去乙处需要的钱数；
(2)新华书店准备订购x本图书，则去甲处需要(40×910x)元，到乙处需要[40×100+40×810×(x−100)]元，于是列方程得40×910x=40×100+40×810×(x−100)，解方程求出x的值即可．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示去甲、乙两处购书分别需要支付的钱数是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，
∵点M是线段AC的中点，点N是线段CD的中点，
∴CM=12AC，CN=12CD，
∴MN=CM+CN=12(AC+CD)=12AD=9，
∴AD=18，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴AB=22+3+4×AD=4，
∴BD=AD−AB=18−4=14；
(2)∵点N是线段CD的三等分点，
∴当CN=13CD时，如图，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴设AB=2x，BC=3x，CD=4x，
∴AC=5x，
∵点M是线段AC的中点，
∴CM=12AC=2.5x，
∵CN=13CD=43x，
∴CM+CN=52x+43x=MN=9，
∴x=5423，
∴BD=7x=37823；
当CN=23CD时，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴设AB=2x，BC=3x，CD=4x，
∴AC=5x，
∵点M是线段AC的中点，
∴CM=12AC=2.5x，
∵CN=23CD=83x，
∴CM+CN=52x+83x=MN=9，
∴x=5431，
∴BD=7x=37831．
【解析】(1)根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系即可得到结论；
(2)根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系列方程即可得到结论．
本题考查了线段的中点和求两点之间的距离，能求出各个线段的长度是解此题的关键．
24.【答案】(4,5)
【解析】解：(1)∵4< 19<5，
∴ 19的“麓外区间”是(4,5)；
故答案为：(4,5)；
(2)∵b= a−2+ 2−a− 7，
∴a=2，b=− 7，
∵2< 7<3，
∴−3<− 7<−2，
∴b的“麓外区间”是(−3,−2)；
(3)∵x+y−41≥0，41−x−y≥0，
∴x+y−41=0，
∴x+y=41，
∵ 2x+3y−n+ 3x+4y−2n= x+y−41+ 41−x−y，
∴ 82+y−n+ 123+y−2n=0，
∴82+y−n=0，123+y−2n=0，
∴n=41，
∵6< 41<7，
∴n的算术平方根的“麓外区间”是(6,7)．
(1)估计出 19的取值，按定义解答即可．
(2)根据相反数的算术平方根可得b=− 7，估算出 7的值可得结论；
(3)根据被开方数非负的取值，表示y的值代入再求出n的值，再按定义判断即可．
本题考查了无理数的估计的应用，被开方数非负的取值范围是解题关键．
25.【答案】(1)证明：如图2，∵MN//AB，∠BAC=60°，∠B=30°，
∴∠BFN=∠B=30°，
∵∠BAC的角平分线AD交MN于点D，
∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴∠CAD=∠BFN．
(2)解：如图2，作KI//AB，则KI//MN，
∵∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠DFH，
∴∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠DFH，
∵∠AKF=∠AKI+∠FKI，
∴∠AKF=∠HAK+∠DFH．
(3)解：如图2，∵MN//AB，
∴∠CEF=∠BAC=60°，∠KDF=∠BAD=30°，∠CFE=∠BFN=∠B=30°，
∴∠BFH=12∠BFN=12×30°=15°，
∴∠KFD=∠BFN+∠BFH=30°+15°=45°，
∵KI//AB，
∴∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠AHK，
∴∠AKF=∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠AHK，
∴三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
如图3，DK//CE，设DK交MN于点L，则∠DLN=∠CEF=60°，
∴∠DFN=∠DLN−∠D=60°−30°=30°，
根据题意得5t=30，
解得t=6；
如图4，DF//CE，则∠DFN=∠CEF=60°，
根据题意得5t=60，
解得t=12；
如图5，KF//CE，则∠KFN=∠CEF=60°，
∴∠DFN=∠KFN+∠KFD=60°+45°=105°，
根据题意得5t=105，
解得t=21，
综上所述，t的值为6或12或21．
【解析】(1)由MN//AB，得∠BFN=∠B=30°，而∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°，所以∠CAD=∠BFN；
(2)作KI//AB，则KI//MN，所以∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠DFH，∠AKF=∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠DFH；
(3)先求得∠CEF=60°，∠CFE=30°，∠KFD=45°，再分三种情况讨论，一是DK//CE，设DK交MN于点L，则∠DLN=∠CEF=60°，求得∠DFN=∠DLN−∠D=30°，则5t=30；二是DF//CE，所以∠DFN=∠CEF=60°，则5t=60；三是KF//CE，则∠KFN=∠CEF=60°，求得∠DFN=∠KFN+∠KFD=105°，则5t=105，解方程求出相应的t值即可．
此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．x
−3
−2
−1
0
1
ax−b
4
2
0
−2
−4
1.2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人.将数据50100用科学记数法表示为( )
A. 5.01×104B. 50.1×103C. 0.501×105D. 5.01×105
2.转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为( )
A. 点动成线B. 线动成面C. 面动成体D. 面与面相交成线
3.−8的立方根为( )
A. 2B. −2C. ±2D. ±4
4.下列能用2a+4表示的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是( )
A. − 2B. 2C. 5D. π
6.如图，甲从点A出发向北偏东60°方向走到点B，乙从点A出发走到点C，若∠BAC=140°，则乙从点A出发沿方向走到点C．( )
A. 南偏西30°
B. 西偏南40°
C. 南偏西20°
D. 西偏南20°
7.下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是( )
A. x=−2，y=−1B. x=2，y=−1
C. x=−1，y=−2D. x=2，y=1
8.下列运用等式的基本性质变形错误的是( )
A. 若a=b，则a−5=b−5B. 若a=b，则 ac=bc
C. 若ac=bc，则a=bD. 若ac=bc，则a=b
9.如图所示：两个圆的面积分别为19、11，两个空白部分的面积分别为a、b(a>b)，则a−b的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.当x的取值不同时，整式ax−b(其中a，b是常数)的值也不同，具体情况如表所示：
则关于x的方程ax=b−2的解为( )
A. x=−2B. x=−1C. x=0D. x=1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.−11的相反数是______．
12.已知2xm−2+3=0是关于x的一元一次方程，则m= ______．
13.841的算术平方根是______．
14.若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度.
15.如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点.若线段MN的长为4，则线段BC的长度是______．
16.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现有如图2所示的“幻方”，则(x−y)m−n的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共110分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：−12+3×(−1)4+|3−6|．
18.(本小题10分)
解方程：2x−32−7x+24=1．
19.(本小题12分)
已知12a3+xb8−y与3a4b6是同类项，求3y3−4x3y−4y3+2x3y的值．
20.(本小题12分)
如图，在边长均为2的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点A′均在格点上.将△ABC向右平移，使点A平移至点A′处，得到△A′B′C′．
(1)在图中画出△A′B′C′；
(2)边AC扫过的图形面积为 ．
21.(本小题12分)
完成下面推理过程．
如图：已知，∠A=112°，∠ABC=68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=112°，∠ABC=68°(已知)
∴∠A+∠ABC=180°
∴AD//BC(______)
∴∠1= ______(______)
∵BD⊥DC，EF⊥DC(已知)
∴∠BDF=90°，∠EFC=90°(______)
∴∠BDF=∠EFC=90°
∴BD//EF(______)
∴∠2= ______(______)
∴∠1=∠2(______)
22.(本小题12分)
新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本40元.为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折.”乙说：“如果购书超出100本，则超出的部分打八折.”
(1)若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数．
(2)若新华书店去甲、乙两处需支付的钱数一样，则新华书店准备订购多少本图书？
23.(本小题12分)
如图，点B、C在线段AD上，且AB：BC：CD=2：3：4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点．
(1)若MN=9，点N是线段CD的中点，求BD的长；
(2)若MN=a，点N是线段CD的三等分点，且满足CN
任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数￡：m
(2)若b= a−2+ 2−a− 7，求b的“麓外区间”；
(3)实数x，y，n满足 2x+3y−n+ 3x+4y−2n= x+y−41+ 41−x−y，求n的算术平方根的“麓外区间”．
25.(本小题16分)
如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN//AB，∠BAC=60°，∠B=30°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求证：∠CAD=∠BFN．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在(1)的条件下，将三角形DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t(0≤t≤21)，则在旋转过程中，当三角形DKF的其中一边与三角形CEF的某一边平行时，求此时t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：50100=5.01×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2.【答案】B
【解析】解：轮子上的辐条可以近似的看作“线段”，
轮子转动轮子上的辐条会形成一个圆面，就形成“线动成面”，
故选：B．
根据“线动成面”进行判断即可．
本题考查点、线、面、体，理解点、线、面、体之间的关系是正确判断的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵−2的立方等于−8，
∴−8的立方根等于−2．
故选：B．
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
4.【答案】C
【解析】解：A中线段AB的长为2+3+4=9，则A不符合题意；
B中图形的面积为2×(3+4)=14，则B不符合题意；
C中长方形的周长为2(a+2)=2a+4，则C符合题意；
D中圆柱的体积为4a，则D不符合题意；
故选：C．
根据各项中的图形列得代数式后进行判断即可．
本题考查列代数式，结合各选项中的图形列得正确的代数式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得，1
∴这个无理数是 2．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB与正东方向的夹角为90°−60°=30°，
∵∠BAC=140°，
∴AC与正南方向的夹角为140°−90°−30°=20°，
即乙从点A出发沿南偏西20°方向走到点C，
故选：C．
先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵当x=−1，y=−2时，(−2)2>(−1)2，而−2<−1，
∴x>y，但是x2
其他选项不能说明；
故选：C．
此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、若a=b，则a−5=b−5，故本选项正确，不符合题意；
B、若a=b，则 ac=bc，故本选项正确，不符合题意；
C、若ac=bc，且c≠0，则a=b，故本选项错误，符合题意；
D、若ac=bc，则a=b，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据等式的基本性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设重叠部分面积为c，
a−b=(a+c)−(b+c)=19−11=8．
故选：D．
设重叠部分面积为c，(a−b)可理解为(a+c)−(b+c)，即两个圆面积的差．
本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵ax=b−2，
∴ax−b=−2，
从表格中观察：当ax−b=−2时，x=0，
故选：C．
方程整理为ax−b=−2，根据表格确定出所求方程的解．
本题考查一元一次方程的解，解题的关键是理清表格中数据的含义．
11.【答案】11
【解析】解：−11的相反数是11．
故答案为：11．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
12.【答案】3
【解析】解：∵2xm−2+3=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2=1，
解得：m=3．
故答案为：3．
利用一次一次方程的定义，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
13.【答案】29
【解析】解：∵292=841，
∴841的算术平方根是29，
故答案为：29．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，由此解答即可．
本题考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
14.【答案】45
【解析】解：设这个角为x度，则：180−x=3(90−x)．
解得：x=45．
故这个角的度数为45度．
题中的等量关系为：这个角的补角=它的余角×4．
本题主要考查了余角和补角，根据题意列出方程是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，
∴AM=BM=12AB，AN=CN=12AC，
∴BM=AM=AN+NM=CN+MN=CM+2MN，
∵MN=4，
∴BM=CM+2MN=CM+8，
∵BC=BM−CM，
∴BC=8，
故答案为：8．
因为点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，可得AM=BM=12AB，AN=CN=12AC，BM=CM+2MN，已知MN=4，可得BM=CM+8，又因BC=BM−CM，可得BC的长．
本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
16.【答案】−27
【解析】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，
∴根据题意可知：x+2+p=y−1+p，n+2+q=m−1+q，
∴x−y=−3，m−n=3，
∴(x−y)m−n=(−3)3=−27，
故答案为：−27．
设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：x+2+p=y−1+p，n+2+q=m−1+q，变形可得：x−y=−3，m−n=3，即可求出(x−y)m−n的值．
本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出x−y，m−n的值是解答本题的关键．
17.【答案】解：−12+3×(−1)4+|3−6|
=−1+3×1+|−3|
=−1+3+3
=5．
【解析】先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：去分母得：2(2x−3)−(7x+2)=4，
去括号得：4x−6−7x−2=4，
移项合并得：−3x=12，
解得：x=−4．
【解析】方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
19.【答案】解：3y3−4x3y−4y3+2x3y
=−y3−2x3y，
∵12a3+xb8−y与3a4b6是同类项，
∴3+x=4，8−y=6，
∴x=1，y=2，
把x=1，y=2代入得：
原式=−23−2×13×2
=−8−2×1×2
=−8−4
=−12．
【解析】先合并同类项化简所求式子，再根据同类项定义求出x、y的值，代入即可算出答案．
本题考查整式化简求值，解题的关键是根据已知求出x、y的值．
20.【答案】12
【解析】解：(1)△A′B′C′如图所示；
(2)AC扫过的图形为平行四边形ACC′A′，
面积=2×6=12．
(1)根据网格结构找出点B、C的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可得到△A′B′C′；
(2)根据平行四边形的面积求出AC所扫过的面积即可．
本题考查了利用作图−平移变换，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21.【答案】同旁内角互补，两直线平行 ∠3 两直线平行，内错角相等 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 ∠3 两直线平行，同位角相等 等量代换
【解析】证明：∵∠A=112°，∠ABC=68°(已知)，
∴∠A+∠ABC=180°．
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠1=∠3 (两直线平行，内错角相等)．
∵BD⊥DC，EF⊥DC(已知)，
∴∠BDF=90°，∠EFC=90°(垂直的定义)．
∴∠BDF=∠EFC=90°．
∴BD//EF(同位角相等，两直线平行)．
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)．
∴∠1=∠2(等量代换)．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．
本题考查了平行线的性质或判断，题目难度不大，由平行得到角间关系是平行线的性质，由角间关系得到平行，是平行线的判定．
22.【答案】解：(1)40×910×150=5400(元)，
40×100+40×810×(150−100)=5600(元)，
答：去甲、乙两处需支付的钱数分别为5400元、5600元．
(2)新华书店准备订购x本图书，
根据题意得40×910x=40×100+40×810×(x−100)，
解得x=200，
答：新华书店准备订购200本图书．
【解析】(1)由算式40×910×150可求出去甲处需要的钱数，由算式40×100+40×810×(150−100)可求出去乙处需要的钱数；
(2)新华书店准备订购x本图书，则去甲处需要(40×910x)元，到乙处需要[40×100+40×810×(x−100)]元，于是列方程得40×910x=40×100+40×810×(x−100)，解方程求出x的值即可．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示去甲、乙两处购书分别需要支付的钱数是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，
∵点M是线段AC的中点，点N是线段CD的中点，
∴CM=12AC，CN=12CD，
∴MN=CM+CN=12(AC+CD)=12AD=9，
∴AD=18，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴AB=22+3+4×AD=4，
∴BD=AD−AB=18−4=14；
(2)∵点N是线段CD的三等分点，
∴当CN=13CD时，如图，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴设AB=2x，BC=3x，CD=4x，
∴AC=5x，
∵点M是线段AC的中点，
∴CM=12AC=2.5x，
∵CN=13CD=43x，
∴CM+CN=52x+43x=MN=9，
∴x=5423，
∴BD=7x=37823；
当CN=23CD时，
∵AB：BC：CD=2：3：4，
∴设AB=2x，BC=3x，CD=4x，
∴AC=5x，
∵点M是线段AC的中点，
∴CM=12AC=2.5x，
∵CN=23CD=83x，
∴CM+CN=52x+83x=MN=9，
∴x=5431，
∴BD=7x=37831．
【解析】(1)根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系即可得到结论；
(2)根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系列方程即可得到结论．
本题考查了线段的中点和求两点之间的距离，能求出各个线段的长度是解此题的关键．
24.【答案】(4,5)
【解析】解：(1)∵4< 19<5，
∴ 19的“麓外区间”是(4,5)；
故答案为：(4,5)；
(2)∵b= a−2+ 2−a− 7，
∴a=2，b=− 7，
∵2< 7<3，
∴−3<− 7<−2，
∴b的“麓外区间”是(−3,−2)；
(3)∵x+y−41≥0，41−x−y≥0，
∴x+y−41=0，
∴x+y=41，
∵ 2x+3y−n+ 3x+4y−2n= x+y−41+ 41−x−y，
∴ 82+y−n+ 123+y−2n=0，
∴82+y−n=0，123+y−2n=0，
∴n=41，
∵6< 41<7，
∴n的算术平方根的“麓外区间”是(6,7)．
(1)估计出 19的取值，按定义解答即可．
(2)根据相反数的算术平方根可得b=− 7，估算出 7的值可得结论；
(3)根据被开方数非负的取值，表示y的值代入再求出n的值，再按定义判断即可．
本题考查了无理数的估计的应用，被开方数非负的取值范围是解题关键．
25.【答案】(1)证明：如图2，∵MN//AB，∠BAC=60°，∠B=30°，
∴∠BFN=∠B=30°，
∵∠BAC的角平分线AD交MN于点D，
∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴∠CAD=∠BFN．
(2)解：如图2，作KI//AB，则KI//MN，
∵∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠DFH，
∴∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠DFH，
∵∠AKF=∠AKI+∠FKI，
∴∠AKF=∠HAK+∠DFH．
(3)解：如图2，∵MN//AB，
∴∠CEF=∠BAC=60°，∠KDF=∠BAD=30°，∠CFE=∠BFN=∠B=30°，
∴∠BFH=12∠BFN=12×30°=15°，
∴∠KFD=∠BFN+∠BFH=30°+15°=45°，
∵KI//AB，
∴∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠AHK，
∴∠AKF=∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠AHK，
∴三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
如图3，DK//CE，设DK交MN于点L，则∠DLN=∠CEF=60°，
∴∠DFN=∠DLN−∠D=60°−30°=30°，
根据题意得5t=30，
解得t=6；
如图4，DF//CE，则∠DFN=∠CEF=60°，
根据题意得5t=60，
解得t=12；
如图5，KF//CE，则∠KFN=∠CEF=60°，
∴∠DFN=∠KFN+∠KFD=60°+45°=105°，
根据题意得5t=105，
解得t=21，
综上所述，t的值为6或12或21．
【解析】(1)由MN//AB，得∠BFN=∠B=30°，而∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°，所以∠CAD=∠BFN；
(2)作KI//AB，则KI//MN，所以∠AKI=∠HAK，∠FKI=∠DFH，∠AKF=∠AKI+∠FKI=∠HAK+∠DFH；
(3)先求得∠CEF=60°，∠CFE=30°，∠KFD=45°，再分三种情况讨论，一是DK//CE，设DK交MN于点L，则∠DLN=∠CEF=60°，求得∠DFN=∠DLN−∠D=30°，则5t=30；二是DF//CE，所以∠DFN=∠CEF=60°，则5t=60；三是KF//CE，则∠KFN=∠CEF=60°，求得∠DFN=∠KFN+∠KFD=105°，则5t=105，解方程求出相应的t值即可．
此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．x
−3
−2
−1
0
1
ax−b
4
2
0
−2
−4
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