2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,5}，集合B={2,3,4}，则A∩(∁UB)=( )
A. {1,3,5}B. {1}C. {1,5}D. {5}
2.已知p：x>0，y>0，q：xy>0，则p是q的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.方程lg3x=−x+3的解所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)
4.已知函数f(x)=sinπx,x<0− x,x⩾0，则f[f(49)]=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
5.已知函数y=cs2x，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )
A. y=cs(6x+π6)B. y=cs(6x+π12)
C. y=cs(23x+π18)D. y=cs(23x+π6)
6.已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tanθ=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L表示在时间t内该生能够记忆的成语个数.已知该生在3min内能够记忆10个成语，则k的值约为(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)( )
A. 0.035B. 0.35C. 0.461D. 0.768
8.已知定义域为R的函数f(x)=2|x−m|−1(m∈R)为偶函数，记a=f(lg314),b=f(2−32),c=f(2−23)，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知aA. a<−1B. ac21bD. a2+ab>2
10.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(−3,3 3)是α终边上一点，则下列结论正确的是( )
A. α=2π3
B. tan2α= 3
C. 若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0<α<2π，则扇形的半径为2
D. 3sinα−csαsinα+csα=5−2 3
11.已知函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称
B. 函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=−π12
C. f(x−π3)是奇函数
D. f(x)在(−π6,π3)上单调递增
12.已知函数f(x)=xx−1−2x(x>1),g(x)=xx−1+lg12x(x>1)，则下列结论正确的是( )
A. 若m⩾2，则方程g(x)−f(x)=2lg12x+m有实根
B. 若函数h(x)是定义在(−∞,−1)∪(1,+∞)上的奇函数，当x>1时，h(x)=f(x)，则h(x)=xx−1−2x,x>1−xx+1+12x,x<−1
C. 若f(x)，g(x)的零点分别为α，β，则1α+1β=1
D. 若f(x)，g(x)的零点分别为α，β，则α+β>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=lg2(3x−2)+1 1−x的定义域为 ．
14.若“∃x∈[0,π3],tanx>m”的否定是真命题，则实数m的最小值是______．
15.已知a，b∈R，且a−3b+6=0，当2a+18b取最小值时，a+b= ______．
16.当00且a≠1)恒成立，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|2x<2或2x>64}，B={x|−2(1)若a=2，求A∩B；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已和函数f(x)=a2x2−4ax−5．
(1)若f(x)<0的解集为{x|−53(2)若f(x)>3a恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知cs(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．
(1)若α为第二象限角，求tanα的值；
(2)若α，β均为锐角且cs(α+β)=−15，求sin(α−β)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)若f(x)= 3，求x的值；
(2)求g(x)=f(x)+2 3sin(3x+π3)在[0,7π18]上的最值．
21.(本小题12分)
某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本为(800x2−400x)万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．
问哪种方案更合理？并说明理由．
22.(本小题12分)
已知f(x)=ax−lg12(4x+1)是偶函数．
(1)若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为−3，求实数m的值；
(2)若f(3m−1)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合B={2,3,4}，
∴∁UB={1,5}，
又∵集合A={1,3,5}，
∴A∩(∁UB)={1,5}．
故选：C．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为：x>0，y>0，⇒xy>0，即p⇒q；
而xy>0，表明x，y同号，即可推得，x>0，y>0，或x<0，y<0，
即不能由q推得p，
故p是q的充分不必要条件．
故选A．
直接利用充要条件的判定方法判断即可，x>0，y>0，⇒xy>0，而xy>0不能推得x>0，y>0．
本题考查充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：令f(x)=lg3x−3+x，则方程lg3x=3−x的近似解x=x0∈(k,k+1)，k∈Z，即函数f(x)的零点，
在(k,k+1)上，k∈Z，
∵f(2)=lg32−3+2<0，f(3)=lg33−3+3>0，
∴函数f(x)的零点在(2,3)上，
故选C．
方程的解即对应函数f(x)的零点，由f(2)<0，f(3)>0知，方程f(x)=0的零点在(2,3)上，即可得答案．
本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解．本类题解决的方法是用二分法求区间根的问题以及函数思想，和方程思想的应用，属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=sinπx,x<0− x,x⩾0，
所以f(49)=− 49=−23，
则f[f(49)]=f(−23)=sin(−2π3)=−sin2π3=−sinπ3=− 32．
故选：B．
由已知函数解析式先求出f(49)，进而可求．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：函数y=cs2x，若将它的图象向左平移π12个单位长度，得到y=cs(2x+π6)的图象，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=cs(23x+π6)的图象．
故选：D．
直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵2tanθ−tan(θ−π4)=−7，
∴2tanθ−tanθ−11+tanθ=−7，
即2tanθ+2tan2θ−tanθ+1=−7−7tanθ，
即2tan2θ+8tanθ+8=0，即2(tanθ+2)2=0，
解得tanθ=−2．
故选：A．
利用两角差的正切公式化简，即可求解．
本题主要考查两角差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，100(1−e−3k)=10，
即e−3k=0.9，
所以−3k=ln0.9≈−0.105，
所以k≈0.035．
故选：A．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=2|x−m|−1(m∈R)为偶函数，
∴f(−x)=f(x)，即2|−x−m|−1=2|x−m|−1，解得m=0，
∴f(x)=2|x|−1，且在[0,+∞)上单调递增．
∵a=f(lg314)=f(−lg34)=f(lg34)，b=f(2−32)，c=f(2−23)，
又lg34>1>2−23>2−32>0，
∴a>c>b．
故选：B．
依题意，可求得m=0，f(x)=2|x|−1，且在[0,+∞)上单调递增，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为a所以a所以a2>1，即a>1(舍)或a<−1，A正确；
当c=0时，B显然错误；
由a1b，C正确；
由aab>1，
故a2+ab>2，D正确．
故选：ACD．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为，P(−3,3 3)是α终边上一点，
所以tanα=− 3且α为第二象限角，
所以α=2π3+2kπ，k∈Z，A错误；
所以tan2α=tan(4π3+4kπ)=tanπ3= 3，B正确；
若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0<α<2π，则α=2π3，
故扇形的半径r=4π32π3=2，C正确；
3sinα−csαsinα+csα=3× 32+12 32−12=5+2 3，D错误．
故选：BC．
结合三角函数的定义检验选项A，B，D，结合扇形的弧长公式检验选项C．
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：由于f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32=12sin2x− 3(cs2x+1)2+ 32=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)；
对于A：当x=π3时，f(π3)=sinπ3= 32，故A错误；
对于B：当x=−π12时，f(−−π12)=sin(−π2)=−1，故B正确；
对于C：f(x−π3)=sin(2x−π)=−sin2x，故该函数为奇函数，故C正确；
对于D：由于x∈(−π6,π3)，所以2x−π3∈(−2π3,π3)，故函数在该区间上不单调，故D错误．
故选：BC．
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12.【答案】ABCD
【解析】解：对于A：因为函数f(x)=xx−1−2x(x>1),g(x)=xx−1+lg12x(x>1)，
所以g(x)−f(x)=lg12x+2x=2lg12x+m，
即2x=lg12x+m，
在坐标系中分别作出y=2x与y=lg12x的图象，
如图：
无论m取何值y=lg1⋅2x+m的图象始终与y=2x图象有交点，故A正确；
对于B：因为函数h(x)是定义在(−∞,−1)∪(1,+∞)上的奇函数，当x>1时，h(x)=f(x)，
所以x>1时，h(x)=xx−1−2x，
令x<−1，则−x>1，
所以f(−x)=−x−x−1−2−x=xx+1−12x，
因为f(−x)=−f(x)，
所以−f(x)=xx+1−12x，
即f(x)=−xx−1+12x，
综上：h(x)=xx−1−2x,x>1−xx+1+12x,x<−1，故B正确；
对于C：由函数y=xx−1，得x=yy−1，
所以y=xx−1的图象关于直线y=x对称，
α，β是函数y=2x和y=lg2x的图象与函数y=xx−1的图象的交点的横坐标，
已知α=lg2β，β=2a，
又β=αα−1=1α−1+1，
所以(α−1)(β−1)=1，
即α+β=aβ，
所以1α+1β=1，故C正确；
对于D：由于α+β=α+αα−1=α−1+1α−1+2≥4，
当且仅当α−1=1α−1，即α=2时等号成立，
但f(2)=22−1−22=−2≠0，因而α≠2，上式等号不成立，所以α+β>4，故D正确．
故选：ABCD．
对于A：利用图象交点判断实根的个数即可；对于B：设x<−1，则−x>1，代入解析式，再利用奇偶性即可求解；对于C：根据互为反函数的两个函数图象关于y=x对称，即可求解；对于D：利用基本不等式得出α+β≥4，再判断等号取不到即可．
本题考查函数性质应用，属于中档题．
13.【答案】(23,1)
【解析】【分析】
由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
【解答】
解：要使原函数有意义，则3x−2>01−x>0，解得23∴函数y=lg2(3x−2)+1 1−x的定义域为(23,1)．
故答案为：(23,1)．
14.【答案】 3
【解析】解：“∃x∈[0,π3],tanx>m”的否定是“∀x∈[0,π3]，tanx≤m”，它是真命题，
因为x∈[0,π3]时，tanx∈[0, 3]，所以m≥ 3，
即实数m的最小值是 3．
故答案为： 3．
写出该命题的否定，根据命题的否定是真命题，求出m的取值范围，即可得出结果．
本题考查了存在量词命题的否定应用问题，是基础题．
15.【答案】−2
【解析】解：a−3b+6=0，即a−3b=−6，
则2a+18b≥2 2a⋅18b=2 2a−3b=14，当且仅当a=−3b，即a=−3，b=1时取等号，此时a+b=−2．
故答案为：−2．
由已知结合基本不等式等号成立的条件可求a，b，进而可求a+b．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
16.【答案】[ 22,1)
【解析】解：x∈(0,12)时，函数y=4x的图象如下图所示；
对任意的x∈(0,12)，4x即不等式4x∴y=lgax的图象恒在y=4x图象的上方(如图中虚线所示)；
又函数y=lgax的图象与y=4x的图象交于(12,2)点时，
a2=2，解得a= 22，
∴虚线所示的y=lgax的图象对应的底数a应满足 22≤a<1．
即a的取值范围为：[ 22,1)．
故答案为：[ 22,1)．
根据题意画出函数y=lgax和y=4x的图象，结合两个函数的图象求出实数a的取值范围．
本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：A={x|2x<2或2x>64}={x|x<1或x>6}．
(1)当a=2时，B={x|0∴A∩B={x|0(2)B={x|a−2∴a+2⩽1或a−2⩾6，∴a⩽−1或a⩾8．
实数a的取值范围为(−∞,−1]∪[8,+∞)．
【解析】(1)根据集合运算的定义即可得；(2)根据B⊆A，可确定实数a的范围．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a2x2−4ax−5<0的解集为{x|−53∴a≠0且−53,13是方程a2x2−4ax−5=0两个实数根，
由韦达定理得−53+13=4a(−53)×13=−5a2，
∴a=−3；
(2)由题意，a2x2−4ax−3a−5>0恒成立，
当a=0时，−5>0不成立，
当a≠0时，Δ=16a2+4a2(3a+5)<0，
∴a<−3，
故a的取值范围为{a|a<−3}．
【解析】(1)由已知二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系即可求解；
(2)由已知结合二次函数的性质对a是否为0进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
19.【答案】解：cs(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13，
∴(−csα)(−sinα)csα=13，
∴sinα=13．
(1)∵α为第二象限角，
∴csα=− 1−sin2α=−2 23，
∴tanα=sinαcsα=− 24．
(2)∵sinα=13,0<α<π2，
∴csα=2 23，
∴sin2α=2sinαcsα=4 29，cs2α=2cs2α−1=79，
又∵cs(α+β)=−15,0<α+β<π，
∴sin(α+β)=2 65，
∴sin(α−β)=sin[2α−(α+β)]
=sin2αcs(α+β)−cs2αsin(α+β)
=4 29×(−15)−79×2 65
=−4 2−14 645．
【解析】利用诱导公式化简已知等式可求出sinα的值．
(1)利用同角三角函数的基本关系即可求解tanα；
(2)利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求解即可．
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象知，A=2,T=(π18+5π18)×2=23π，
∴ω=2πT=2π2π3=3，
∴f(x)=2sin(3x+φ)，
将(−π9,−2)代入f(x)=2sin(3x+φ)，可得2sin(−π3+φ)=−2，
∴−π3+φ=−π2+2kπ,k∈Z，
∴φ=−π6+2kπ,k∈Z，
又∵|φ|<π2，
∴φ=−π6，
∴f(x)=2sin(3x−π6)，
∵2sin(3x−π6)= 3，
∴sin(3x−π6)= 32，
∴3x−π6=π3+2kπ或3x−π6=2π3+2kπ,k∈Z，
∴x=π6+23kπ或x=5π18+23kπ,k∈Z；
(2)g(x)=2sin(3x−π6)+2 3sin(3x+π3)
=−2cs[(3x−π6)+π2]+2 3sin(3x+π3)
=−2cs(3x+π3)+2 3sin(3x+π3)
=4sin(3x+π6)，
∵x∈[0,7π18]，
∴3x+π6∈[π6,4π3]，
∴当3x+π6=4π3，即x=7π18时，g(x)min=−2 3，
当3x+π6=π2，即x=π9时，g(x)max=4．
【解析】(1)由函数图象可得A，T的值，利用周期公式可求ω的值，将(−π9,−2)代入，结合|φ|<π2，可求φ=−π6，可得函数解析式f(x)=2sin(3x−π6)，即可求解；
(2)利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)=4sin(3x+π6)，由题意可求3x+π6∈[π6,4π3]，利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得y=7600x−(800x2−400x)−7200
=−800(x2−10x+9)(x∈N*)，
令y>0，可得1又因为x∈N*．
所以该企业从第2年开始盈利．
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：因为y=−800(x2−10x+9)=−800(x−5)2+12800，x∈N*，
所以当x=5时，y取到最大值12800，
若此时处理掉智能机器人，总利润为12800+2000=14800万元，
方案二：年平均盈利额yx=−800(x+9x)+8000⩽−1600 x⋅9x+8000=3200万元，
当且仅当x=3时，等号成立，此时年平均盈利额最大，
若此时处理掉智能机器人，总利润为3200×3+5200=14800万元，
两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．
【解析】(1)根据题意，直接求得y关于x的函数关系式，令y>0，结合x的取值范围，即可求得结果；
(2)分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：∵f(x)是偶函数，
∴f(−x)=f(x)恒成立，
即−ax+lg2(4−x+1)=ax+lg2(4x+1)恒成立，
∴−2ax=lg2(4x+1)−lg2(4−x+1)=lg24x+1(4−x+1)=lg2(4x+1)4x(4x+1)=lg24x=2x恒成立，
∴−2a=2，解得a=−1，
∴f(x)=lg2(4x+1)−x；
(1)∵2f(x)=2lg24x+12x=4x+12x=2x+2−x，
∴g(x)=m(2x+2−x)+22x+2−2x，
令2x+2−x=t，t≥2，
h(t)=t2+mt−2(t≥2)，
∵g(x)的最小值为−3，
即h(t)的最小值为−3，
等价于−m2≤2h(2)=2m+2=−3或−m2>2h(−m2)=−m24−2=−3，
∴m=−52；
(2)∵f(x)=lg2(4x+1)−x=lg24x+12x=lg2(2x+2−x)，
设φ(x)=2x+2−x(x≥0)，
任取x1，x2∈[0,+∞)，x1则φ(x1)−φ(x2)=2x1+2−x1−2x2−2−x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，
∵0≤x1∴2x1−2x2<0,2x1+x2−1>0，
∴φ(x1)−φ(x2)<0，
∴φ(x)单调递增，
又∵y=lg2x单调递增，
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，
∵f(3m−1)∴|3m−1|∴−(m2+1)<3m−1∴−m2−3m<0m2−3m+2>0，
∴m<−3或02，
∴实数m的取值范围为(−∞,−3)∪(0,1)∪(2,+∞)．
【解析】根据题意求得f(x)=lg2(4x+1)−x；
(1)g(x)=m(2x+2−x)+22x+2−2x，令2x+2−x=t，t≥2，则有h(t)的最小值为−3，结合二次函数的性质求解即可；
(2)利用单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上单调递增，于是有|3m−1|本题考查了对数函数的性质、考查了函数的单调性及奇偶性、转化思想，属于中档题．