浙江省金华市永康市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

这是一份浙江省金华市永康市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视，正在播放动画片B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯D. 实心铁块放入水中会下沉
3.已知一个斜坡的长为米，坡角为度，则斜坡高度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
4.将抛物线向下平移个单位长度后，得到新抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
5.如图，折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，图中的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在直角坐标系中，的顶点分别为，，以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为：，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，则为( )
A. B. C. D.
8.如图，点，，，都在的圆周上，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为( )
A. B. C. D.
10.如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在______选填“圆内”，“圆上”，“圆外”．
12.如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似你添加的条件是______．
13.如图，，，三点均在正方形网格的格点上，则的值为______．
14.如图，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径为米，则圆心到水面的距离为______米
15.函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为______．
16.如图，在正方形中，，相交于点为上一点，于点，交于点，连结交于点．
若，，则的值为______；
若：，则：的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知二次函数．
求此二次函数图象的顶点坐标；
若此抛物线与轴交于，两点，求的长．
19.本小题分
如图，在▱中，点在的延长线上，与交于点．
求证：∽；
若的面积为，，求的面积．
20.本小题分
小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率；
小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率；
若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由．
21.本小题分
如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，小明进行如下的测量已知测角仪的高度为，从点处看塔顶的仰角为，向前移动到达点，从点处看塔顶的仰角为．
求点与塔顶的距离；
若在点处看塔底的仰角为，且测得点到塔中心的距离为求古塔的高度参考数据：，，，，结果精确到米．
22.本小题分
请阅读下列材料并完成相应的问题：如果一个点把一条线段分割成两部分，较长线段与整条线段之比等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，也称为中外比如图，点是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为当等腰三角形的底与腰之比为黄金比时，这个三角形是黄金三角形．
已知一本书的宽与长之比等于黄金比，它的长为，求它的宽；
如图，在中，，，平分交于点求证：是黄金三角形；
如图，是的内接正十边形的边长，求的值．
23.本小题分
已知二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
若时，求此时二次函数的表达式；
当时，求的取值范围；
若点是二次函数图象上的任意一点，且满足，求的最小值．
24.本小题分
如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．
求证：；
若，，
求的长；
如图，连结，与相交于点，求的面积．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先利用内项之积等于外项之积得到，然后根据合比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故A不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、实心铁块放入水中会下沉，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，，
米．
故选：．
坡角的正弦值垂直高度：坡面距离，据此即可解答．
此题主要考查学生解直角三角形的应用，掌握坡角和三角函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到新抛物线的表达式为：．
故选：．
根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5.【答案】
【解析】解：折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，
的长为，
故选：．
根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为：，
点的坐标为，即
故选：．
根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点额横纵坐标都乘以得到点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
7.【答案】
【解析】解：，
，
设，，
，
．
故选：．
先根据正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
连接，根据题意求出四边形是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
设过、、三点的抛物线表达式为：，则有，
，
解得：，
，
的值最大为：．
故选：．
待定系数法分别求出表达式比较的大小即可．
本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
，
∽，
，即，
解得，
在中，．
故选：．
过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明∽，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．
11.【答案】圆外
【解析】解：点到圆心的距离，
该点在外．
故答案为：圆外．
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：
当或或时，∽．
和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．
本题的主要考查点是三角形相似的判定．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接．
观察图象可知使是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
连接，判断出是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是判断出．
14.【答案】
【解析】解：过点作，连接，则米，如图，
在中，，
米．
故答案为：．
过点作，连接，则米，在中用勾股定理可求．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】或
【解析】解：与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或．
由与平行可得当时，直线与原图象只有一个交点，将与直线联立方程组，使，此时只有一个交点．
本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：；
如图，
作，交于，
∽，
，
不妨设，，
由知：，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
可证得，进一步得出结果；
作，交于，可证得∽，从而，不妨设，，可求得，在中求得，从而，可证得∽，从而得出，进而得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：原式，
，
．
【解析】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
18.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为；
当时，，
解得，，
点、的坐标为，，
．
【解析】把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
解方程得点、的坐标为，，从而可得的长．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∽；
解四边形是平行四边形，
，，
∽，

，
：：，
，
．
【解析】根据平行四边形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
根据平行四边形的性质求出，进而推出∽，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能，
指针落在红色区域；
列表法，
共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种，
指针都落在蓝色区域；
指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域．
公平．
【解析】求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率；
列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率；
本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果．
21.【答案】解：如图，
，

．
答：点与塔顶的距离为；
如图，过点，作的垂线，分别交的延长线于点，．
，
，．
，
，
，
，
．
答：这个宝塔的高度约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出和是解决问题的关键．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出和是解决问题的关键．
22.【答案】解：设这本书的宽为，则，
解得，
答：它的宽为．
证明：如图，，，
，
平分交于点，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
点是线段的黄金分割点，为黄金分割比，
是黄金三角形．
解：如图，是的内接正十边形的边长，
，，
由可知，是黄金三角形，
，
作于点，则，，
，
，
的值为．
【解析】设这本书的宽为，则，求得，所以它的宽为；
由，，求得，则，所以，，则，再证明∽，得，所以，则点是线段的黄金分割点，为黄金分割比，所以是黄金三角形；
由是的内接正十边形的边长，得，，则是黄金三角形，所以，作于点，则，而，所以．
此题重点考查二次根式的化简、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、正多边形与圆、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】解：根据表格数据可设二次函数的表达式为，
把，代入，得，
解得，
二次函数的表达式为：；
把代入得：，
解得：．
当时，，则，
当时，，则，
，
，
，
的取值范围为：且；
点是二次函数图象上的任意一点，且满足，
，
，
当时，的最小值为，
在范围内，
的最小值为．
【解析】根据待定系数法即可求得；
将代入可得再分别将和代入求出、，计算即可；
由已知可知：，计算并配方可得结果．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连结．

，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连结，交于点．

，，
，，
，，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
如图，连结，，与相交于点．

，
，
由可知，，，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
为半圆的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
．
【解析】根据圆周角定理求出，，根据直角三角形两锐角互余的性质求出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定即可求出；
根据垂径定理求出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求出，设，则，根据勾股定理求解即可；
连结，，与相交于点根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质得出，，即可判定∽，根据相似三角形的性质求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
第一次第二次
红色
黄色
蓝色
蓝色
红色
红，红
红，黄
红，蓝
红，蓝
黄色
黄，红
黄，黄
黄，蓝
黄，蓝
蓝色
蓝，红
蓝，黄
蓝，蓝
蓝，蓝
蓝色
蓝，红
蓝，黄
蓝，蓝
蓝，蓝