重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题（含答案）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线过、两点，则直线的斜率为（ ）
A．B．2C．D．1
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点为抛物线C：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．已知，是抛物线上两点，当线段的中点到轴的距离为3时，的最大值为（ ）
A．5B．
C．10D．
6．两圆的半径分别是方程的两个根，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．内含D．外切
7．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得平面PDF
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．下列方程能够表示圆的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.
C．方程（，，）表示的曲线是椭圆.
D．（）与（）的焦距相同.
11．在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
B．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .
13．已知椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率
14．如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
16．（15分）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（其中点在轴上方）.
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)若原点到直线的距离为，求以线段为直径的圆的方程.
17．（15分）在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．
(1)若，证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
18．（17分）法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆：，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)若点为椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，，是椭圆的两相异点，且轴，求的取值范围.
(2)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，试判断，是否垂直？并说明理由.
19．（17分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
（1）若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程；
（2）若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程．
2023-2024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测
高二数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．C2．C3．D4．C5．C6．C
7．C【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确.
8．D【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
9．AC10．CD
11．ABD【分析】分别确定四边形与三角形的外接圆圆心，进而确定外接球球心与半径，可判断A选项，由线面夹角为，可知，进而确定点轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用坐标法确定点的轨迹，进而判断C选项，由平面设垂足为，可确定点，即可确定轨迹.
12．
13．
14．
15．（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.
因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.

（2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.
题意得：,
其中，表示点和点构成的直线的斜率，
当直线的斜率取得最小值时，取最大值.
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点的直线方程为：，
由相切可得，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
16．（1）由题意得抛物线的焦点，准线分别为，
所以由抛物线定义可知，又，
所以解得（负值舍去），
直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
（2）由题意直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点到直线的距离为，矛盾），
所以设直线的方程为，
联立抛物线方程，化简得，显然，
，
所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，
因为原点到直线的距离为，
所以，解得，
所以圆心、半径分别为，
或.
17．（1）证明：因为，所以为的中点．
由题可知，，所以．
又，平面，所以平面．
取，如图，则．由平面，可得，则．
（2）连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系．
由，得，
从而，则，
则，
，．
设平面的一个法向量为，
则由得
令，得．
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得．
故的值为.
18．（1）由题意知，由短轴的一个端点到焦点的距离为，
知，则，
故椭圆的方程为，其“伴随圆”方程为.
由题意，可设，
则有，又A，
故，
故，
又二次函数的图象是开口向上，对称轴为，
由，得，
所以的取值范围是；
（2）对于椭圆C上的任意点P，都有，证明如下：
设，则.
当时，，
则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有.
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，
代入椭圆方程可得，
即，
由，
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即.
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有.
19．（1) 若军营所在区域为，
圆：的圆心为原点，半径为，作图1如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，则，
又，联立解得：，即.
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.
（2）军营所在区域为，
对于，在，时为令，得，令，则，
图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，容易知道：为这个菱形的内部(包括边界).
由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点，则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离．即“将军饮马”最短总路程为.