山东省聊城市阳谷县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份山东省聊城市阳谷县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共19页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单选题
1．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
3．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．B．C．D．
4．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标，是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
6．在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分B．中位数是95分C．平均数是95分D．方差是15
7．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）

A．的平分线和线段的交点处
B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处
C．的平分线和线段的交点处
D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处
8．如图，在等边△ABC中，BD=CE，则∠APE等于（ ）
A．B．C．D．
9．一组数据的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．两个全等的三角形一定关于某直线对称B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．有一组角是的两个等腰三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
11．把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的1倍B．扩大为原来2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的一半
12．如图，中，点E、F分别是延长线上一点，、的角平分线交于点P，连接，过点P作，垂足分别是点M、N，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．若，则 ．
14．命题“等角的余角相等”的逆命题是： .
15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
16．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
17．如图，在中，，垂足分别是，则 ．
18．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
19．先化简再求值，其中是方程的根．
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
21．如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．

(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
22．为弘扬航天精神，普及航天知识，某校开展以“筑梦天宫 探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛．八年级的三个班各选出10名学生参加航天知识竞赛（满分10分），对成绩进行整理分析，得到如下信息：
Ⅰ．一班成绩：7，9，8，7，8，9，9，9，8，10；
Ⅱ．二班成绩：
Ⅲ．三班成绩：
Ⅳ．分析上述数据，得到下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)综合上表中的统计量，你认为哪个班级参赛学生的成绩最好？请说明理由．
23．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
24．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
25．在中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
26．如图，在中，，，是的平分线，延长至E，使．求证：．

竞赛成绩
6
7
8
9
10
人数
1
2
2
2
3
统计量
平均数
众数
中位数
一班
二班
10
三班
8
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念求解即可．掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零时，分子为零，分母不为零是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故选D．
3．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选C．
4．A
【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键．由点关于幸福直线的对称点的坐标，可知的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，即，
故选：A．
5．A
【分析】根据折叠的性质，可以得到∠EBC的度数，然后再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得到，∠EBD＝∠CBD，
∵∠CBD＝35°，
∴∠EBC＝2∠CBD＝70°，
∵ADBC，
∴∠AFB＝∠EBC＝70°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断.
【详解】A．众数是90分，人数最多，故A选项正确；
B．中位数是90分，故B选项错误；
C．平均数是=91分，故C选项错误；
D．方差是=19，故D选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、众数、方差、平均数等，读懂统计图，熟练掌握中位数、方差、众数、中位数的定义及求解方法是关键.
7．B
【分析】本题考查了角平分线的性质与垂直平分线的性质，根据题意可得发射塔必须建在线段的垂直平分线上，且在的平分线上，即可求解．
【详解】解：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，
∴发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处．
答案：B．
8．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD与∠CBE的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE=∠ABP+∠BAP，根据等量代换，可得答案．
【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60°．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
9．D
【分析】本题考查了利用已知数据的平均数和方差求相关数据的平均数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
，
∴
∵，…，
∴数据、、、、、、的方差为：
故选：D
10．D
【分析】本题考查了判断命题真假，涉及全等三角形的判定 ，等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可．
【详解】解：两个全等的三角形可以更改其摆放位置，故不一定关于某直线对称，故A为假命题；
等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故B为假命题；
若两个等腰三角形一个顶角为，一个底角为，则此时这两个等腰三角形不全等，故C为假命题；
顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故D为真命题；
故选：D．
11．C
【分析】将x，y同时扩大2倍后再进行化简即可求解．
【详解】将x，y同时扩大2倍，得：
即扩大为原来的4倍；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答此题的关键．
12．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明和，根据全等三角形的性质得出可判断③和④．
【详解】解：过点作于，
∵平分，平分，，，，
，，
，
∴点在的角平分线上，故①正确；
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
，
，，
同理：，
，，
∴，故③正确；
，
，故④正确；
与不一定相等，故②错误，
故选：C．
13．
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
【详解】，
，
故2y=x，
则，
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
14．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
【分析】命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题．
【详解】“等角的余角相等”改写成“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”．
所以：“等角的余角相等”的条件是：两个角相等；
结论是：它们的余角也相等，逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．
15．AB＝AC
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
16．
【分析】本题主要考查方差．根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【详解】解：平均数为：，
故方差是：．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
18．4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，在上取一点，使得，证明得到，进而推出当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

∵平分，
∴
，
，
，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，
∵的面积为，
∴，
又∵
，
∴最小值为4，
故答案为：4．
19．；
【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的混合运算法则化简，然后利用整体代入的思想解决问题即可．
【详解】解：
∵是方程的根
∴
∴原式=．
20．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的求解，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可．
（1）方程两边同时乘以即可求解；
（2）方程两边同时乘以即可求解；
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
经检验：当时，
∴是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
经检验：当时，
∴是增根，原分式方程无解．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
（）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长；
（）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长，
∵的周长为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
22．(1)9，，8和9
(2)二班参赛学生的成绩最好，理由见解析
【分析】本题考查平均数、中位数、众数．
（1）先整理数据，然后根据众数、中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数、众数以及中位数作出比较即可．
【详解】（1）一班的成绩：7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，
∵9出现的次数最多，
则众数；
二班的成绩：6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，
∵第5和第6个数据为8和9，
∴中位数；
三班的成绩：6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，
∴众数和9．
故答案为：9，，8和9；
（2）∵平均数一班和二班相等且高于三班，中位数一班和二班相等且高于三班，二班的众数高于一班，
∴二班参赛学生的成绩最好．
23．80
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，
根据题意得：，
方程两边同乘，
得，
解得，
经检验，是分式方程的解
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．
24．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）先证明，然后根据证明即可；
（2）先根据得出，，然后根据证明，得出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
又，，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴．
25．(1)55°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求的值，根据角平分线可求 ，的值，根据计算求解即可；
（2）由，可得，即，根据等腰三角形的性质可证．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵AE，BF分别是和平分线，
∴，
∴
∴的度数为．
（2）证明：∵，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．
26．证明见解析
【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】证明：如图，在上截取，连接，

是的平分线，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
由对顶角相等得：，
，
在和中，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．