四川省雅安市2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份四川省雅安市2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单选题
1．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
3．下列方程是一元二次方程的为（ ）
A．B．C．D．
4．小明和爸爸晚上散步（小明身高没有爸爸高），在同一个路灯下，小明的影子比爸爸的影子长，这时候爸爸和小明离路灯的距离谁近一点？（ ）
A．一样近B．爸爸近一点C．小明近一点D．无法比较
5．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．下列函数中，y是x的反比例函数的为（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
9．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
11．如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（ ）

A．4B．5C．6D．7
12．如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P.，．下列结论：①；②；③点B到直线的距离是；④．其中所有正确的结论是（ ）
A．②③B．①④C．①②④D．①②③④
二、填空题
13．如图，矩形的两条对角线的夹角为，对角线长为，则矩形较短边的长为 ．

14．如图，在平行四边形中，点E在上，且，的延长线与的延长线交于点F，则 ．
15．已知：一菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的另一条对角线长为 ．
16．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ．
三、解答题
17．解方程
(1)
(2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
(2)以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)如果点在线段上，请直接写出经过的变化后的对应点的坐标．
19．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
20．某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度；
(3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
21．已知：关于x的一元二次方程，
(1)已知是方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时m的值．
22．如图，，且，是的中点，是边上的动点（不与，重合），与相交于点．
(1)求证：；
(2)若是的中点，，求的长；
(3)若，平分，点是线段上的动点，是否存在点使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
四、填空题
23．已知a是方程一个根，则的值为 ．
24．如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点、，若，，则点的坐标为 ．
五、解答题
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
参考答案：
1．A
【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
2．B
【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的内项积等于外项积是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．的最高次数不是2，因此不是一元二次方程，故A不符合题意；
B．不是整式方程，因此不是一元二次方程，故B不符合题意；
C．是一元二次方程，故C符合题意；
D．含有2个未知数，不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了中心投影；
根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案．
【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且小明的影子比爸爸的影子长（小明身高没有爸爸高），
∴爸爸和小明离路灯的距离爸爸近一点，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
6．D
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，
∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故选：D．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．B
【分析】本题考查反比例函数的定义掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键．
【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意；
B、 是反比例函数，符合题意；
C、不是反比例函数，不符合题意；
D、是正比例函数，不符合题意；
故选：B．
8．B
【分析】根据题意可得，且，可求解．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根．
9．B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，根据图像，得到一次函数图像位于反比例函数图像上方的部分的横坐标的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：根据图像，不等式即的解集为或，
故选：D．
11．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意知，证明，则，即，解得，由题意知是的中位线，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查正方形的性质及应用，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键，根据全等三角形的判定即可证明，即可判断①；根据，可得，得到，即可证得，即可判断②；过作，交的延长线于，则的长是点到直线的距离，利用勾股定理即可求得的长，即可判断③；连接，根据，可得，可得到和的面积，即可计算出正方形的面积，即可判断④；
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，，
在和中
∴，故①正确；
由得，，
∴，
∴，故②正确；
过作，交的延长线于，则的长是点到直线的距离，
在中，由勾股定理得，
在中，，，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，故③错误；
∵，
∴，
连接，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
13．5
【分析】根据矩形的性质和两条对角线的夹角为，得出是等边三角形，再根据对角线长为，即可求出矩形较短的边长．
【详解】解：∵矩形的两条对角线相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的较短边长为；
故答案为：．

【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键，是一道基础题．
14．
【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质及可得，，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
【详解】解：∵在平行四边形中，点E在上，且，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：
15．
【分析】设菱形的另一对角线长为，根据菱形的性质列方程计算，即可得到答案.
【详解】设菱形的另一对角线长为，
根据题意得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的面积，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意求出点C的横坐标是解答本题的关键．先求出点A的坐标，然后求出的长，即知点C的横坐标，再将点C的横坐标代入一次函数解析式，可求得点C的坐标，最后将点C的坐标代入反比例函数解析式，即得答案．
【详解】解：令，则，
，
，
，
，
把代入，
得，
，
把代入，
得，
解得．
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】（）移项，利用配方法解答即可求解；
（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18．(1)图见解析，点坐标为：
(2)图见解析，点坐标为：
(3)
【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可．
【详解】（1）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；

（2）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；

（3）如果点在线段上，经过的变化后的对应点的坐标：
【点睛】此题主要考查了轴对称变换、位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
19．（1）画图见解析；（2）DE=4
【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
20．(1)40，图见解析
(2)10，40，144
(3)表见解析，小明被选中参加区知识竞赛的概率为
【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【详解】（1）人，人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2），，
．
故答案为10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
21．(1)，3；，12
(2)
【分析】（1）将代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根；
（2）根据根与系数的关系求出，，再根据，利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形，求出m值即可．
【详解】（1）解：将代入中，
得：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：，；
（2）由题意可得：，，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，，
当时，方程无解，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟练掌握方程的解法．
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（）先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明；
（）根据（）中三角形相似的比例关系即可推理得出答案；
（）存在，先证明，得，根据平角的定义和三角形的内角和定理可得：，再证是等边三角形，得，可得；
本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定及性质，以及三角形相似的判定及性质．
【详解】（1）∵，点是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）存在，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
23．2023
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
24．
【分析】延长交轴于点，延长交轴于点，连接，设点，可表示出和两点坐标，计算得出，从而得出，进而推出；根据，可解得，再证得，从而得出，的关系式，结合，从而求得，的值，进而得出答案．
【详解】解：如下图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
设点，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
25．(1)，；
(2)①8；②符合条件的点坐标是和．
【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；
（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．
一
二
小明
小明
，小明
，小明
，小明
小明，
，
，
小明，
，
，
小明，
，
，