江苏省泰州市靖江市2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份江苏省泰州市靖江市2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共25页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、单选题
1．下列图形是汽车的标识，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（-2，-3）B．（2，-3）C．（-3，2）D．（2，3）
4．由四舍五入法得到的近似数精确到（ ）
A．万位B．百分位C．万分位D．百位
5．若a满足，则a的值为（ ）
A．1B．0C．0或1D．0或1或
6．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M、N．若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．若是正比例函数，则m的值为 ．
8．如图，在与中，，用“”定理说明△，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可）
9．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为 ．
10．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
11．一次函数与的图像如图所示，则的解集是 ．
12．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ．
13．若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数图像上不同的两点，当时，有，则a的取值范围是 ．
14．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图所示，当线段最短时，的周长为，的周长为， ．
15．在平面直角坐标系中，点是该平面内任意一点，连接，则的最小值是 ．
16．我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）

三、解答题
17．（1）；
（2）解方程：．
18．已知y与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求x的值．
19．因为＜＜，即1＜＜2，所以的整数部分是1，小数部分是．类似以上推理过程，解答下列问题：
(1)求的整数部分与小数部分；
(2)若是的整数部分，则点关于原点对称的点的坐标为 ．
20．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为、．
(1)在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为 ；
(2)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标为 ；
(3)若点Q在x轴上，且使得最小，则点Q的坐标为 ．
21．如图，五边形，若垂直平分，垂足为M，且____，_____，则_______．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，并加以证明．

22．2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．
(1)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
(2)①若只购买80本甲种图书，则需费用 元；
②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？
23．如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．（用含有m的代数式表示）
24．我们知道：任意一个二元一次方程（a、b、c为常数，且）有无数个解．现约定：在平面直角坐标系中，不妨将二元一次方程的每一个解用一个点的坐标表示出来，记为，称为“关联点”；将这些“关联点”在坐标系中连接便可得到一条直线，称这条直线为“关联点”的“关联线”．结合定义，根据所学，解决下列问题：
(1)若“关联线”，则在、三点中，是“关联线”l的“关联点”有 （填字母）；
(2)已知D、P两点是“关联线”的“关联点”，且D在y轴上；E、P两点是“关联线”的“关联点”，且E在y轴上．若在平面直角坐标系中存在一点Q，满足且．
①求点D与点E的坐标；
②求点Q的坐标．
25．在中，，且平分．
(1)如图1，现有点E在线段上，连接，将沿着所在直线折叠，点C的对应点为点M．若点M恰好与点A重合，试判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，点P在边上，作直线，现将点C沿着折叠，对应点记作点F．
①当点F落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点F的位置；
②连接，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 ．
26．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为．
(1)如图1，连接，将沿直线折叠，点O的对应点点C恰好落在上，则 ；
(2)如图2，取线段的中点E，连接，过点E作，交x轴于点Q．将沿所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接．
①猜想的度数，并证明；
②求证：；
(3)连接，请直接写出直线的解析式（用含有a的代数式表示）．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：A、B、D都能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D是轴对称图形，不符合题意；
C不能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故C不是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
2．C
【详解】∵k=-2＜0，
∴一次函数经过二四象限；
∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限，
故选C．
3．A
【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数．
【详解】解：点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标（-2，-3）．
故选A．
4．D
【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字是关键．根据近似数的精确度求解．
【详解】解：用四舍五入法得到的近似数，精确到百位．
故选：D．
5．C
【分析】只有0和1的算术平方根与立方根相等．
【详解】∵，
两边同时平方，得，
两边同时立方，得，
整理得，，
解得，，，
∴a的值为0或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．也考查了算术平方根．
6．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
∴，
故选：B．
7．
【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
8．（答案不唯一）．
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟记直角三角形全等的判定定理是解题的关键．根据直角三角形全等的判定定理求解即可．
【详解】解：添加一个条件，理由如下：
在与中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
9．或/或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，当底边长为时；当腰长为，结合三角形三边关系即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：当底边长为时，则腰长为，
∴等腰三角形的三边长为：，
∵，符合题意；
当腰长为时，则底边长为，
∴等腰三角形的三边长为：，
∵，符合题意；
故该等腰三角形的底边长为：或，
故答案为：或．
10．35°
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
11．/
【分析】利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
【详解】解：观察函数图象得时，，
所以的解集是．
故答案为：．
12．9
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【详解】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝S△ABC＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
13．
【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．根据一次函数的性质知，当时，判断出随的增大而减小．
【详解】解：，、，是一次函数图象上的不同的两点，且当时，有，
该函数图象是随的增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
14．
【分析】当线段最短时，，从图可以看出：，，，，根据题意求周长差即可求解．
【详解】解：当线段最短时，，
从图2可得：，，，，
的周长：
的周长：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
15．//
【分析】本题考查利用勾股定理求两点间得距离，以及平方式非负，根据点，表示出，再利用求出最小值，即可解题．
【详解】解：点，
，
整理得，
，
，
有最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为，
，
，
，
，
即，
解得，
大长方形的面积为，
长方形的面积为，
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
（1）直接利用有理数的乘方、零指数幂及算术平方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2），
则，
解得：．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键．
（1）由题意设，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）把代入所求函数式中，即可求得自变量的值．
【详解】（1）解：∵y与成正比例，
∴设，
当时，，则，
即，
∴，
即；
（2）解：当时，即，
解得：．
19．(1)整数部分是3，小数部分是
(2)
【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，无理数的估算
（1）用夹逼法根据无理数的估算即可得出答案；
（2）根据无理数的估算求出的值，根据原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是3，小数部分是；
（2）解：
∵是的整数部分
点关于原点对称的点的坐标为
故答案为：
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，线段垂直平分线，路径最短问题等，熟练掌握相关的知识是解题的关键．（1）根据A、B两点的坐标分别为、，可找出原点，即可求出点C坐标；（2）作线段AC的线段垂直平分线即可找出P的坐标；（3）作A点的对称点，连接，即可找出Q点坐标．
【详解】（1）解：∵A、B两点的坐标分别为、；
∴即可找出原点的位置并建立直角坐标系，如图所示；
∴点C的坐标为：．
（2）∵P在x轴上，且；
∴作线段AC的垂直平分线，交x轴于P点，
如图，此时点P即为所求，坐标为．
（3）作A点的对称点，连接交x轴于点Q，
如图，此时Q点即为所求；
此时Q点坐标为．
21．②，③，①（或①，②，③）．证明见解析
【分析】第一种，②，③，①，连接，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出，在求证三角形全等得出角相等，求得，进而得出结论平分．第二种，①，②，③，利用线段垂直平分线及全等三角形进行证明即可．
【详解】解：第一种：②，③，①
证明：连接，

∵垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
∴
∴，
又∵，
∴，
即，
∴平分．
第二种：①，②，③
证明：连接，

∵垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
∴，
∴，
∵平分．
∴，
∴
在与中，
∴
∴
故答案为：②，③，①（或①，②，③）．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
22．(1)
(2)①；②当购进本图书时，总费用最少，最少费用为元
【分析】本题考查一次函数的实际应用
（1）根据函数图象可以求出当时对应的函数解析式；
（2）设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
【详解】（1）解： 当时，设与之间的函数关系式是，
，解得，
即当时，与之间的函数关系式是，
与之间的函数关系式是：；
（2）解：①当时，设与之间的函数关系式是，
，
解得，，
即当时，与之间的函数关系式是，
当时，元
故答案为：；
②设总费用为元，设购买x本甲本图书，则购买本乙本图书，
两种图书均不少于本，
则，
，
，
，随的增大而减小，
当时，最少为，
应购买甲种图书100本，乙种图书300本，才能使总费用最少，最少是8500元．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．
（1）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到，进而利用等角对等边可证得结论；
（2）先根据三角形的内角和定理得到，进而求得，利用等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到即可求解．
【详解】（1）证明：∵、分别是、边上的高，F是的中点，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
24．(1)A、B
(2)①D，E；②Q或
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了新定义理解，方程和函数的关系等知识，读懂题意，将“关联点”问题转化为适合方程是解题的关键．
（1）分别把，，代入求解即可；
（2）分别把代入，求解即可；②根据题意设，即可求出，再根据且，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
∴是“关联线”l的“关联点”有A、B点；
（2）解：①∵D点是“关联线”的“关联点”，且D在y轴上，
∴把代入得：，
∴；
∵E点是“关联线”的“关联点”，且E在y轴上，
∴把代入得：，
∴；
②由①得：，，
∴，
∵P点是“关联线”的“关联点”，
∴设，
∵P点是“关联线”的“关联点”，
∴设，
∴，解得：，
∴
∵且，
∴Q或；
25．(1)为等边三角形，理由见解析
(2)①点F的位置见解析；②为直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键，
（1）由翻折得，推出，由此得到为等边三角形；
（2）①以点D为圆心，为半径画弧，交于点F；②连接，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出，进而得到是直角三角形；
（3）当点F落在边上时，连接，证得，求出；当点F落在边上时，如图，则，勾股定理求出，再根据勾股定理求出，即可得到当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围．
【详解】（1）由翻折得，
∵，
∴，
∴为等边三角形；
（2）①如图，点F即为所求；
②连接，如图，
∵，且平分，
∴，
∵,
∴，
∴
∴，即，
∴是直角三角形；
（3）当点F落在边上时，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
由（2）可知，无论点F落在哪里，始终有，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F落在边上时，如图，则，
∵，且平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为．
26．(1)
(2)①，证明见解析；②证明见解析
(3)
【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得是等腰直角三角形，由折叠的性质可得是等腰直角三角形，进而得，则由勾股定理建立方程即可求得a的值；
（2）①由折叠性质得，；由则可得；由E是中点，则得，从而可证，则，最后可得；
②连接，证明，则这两个三角形面积相等，从而可求证；
（3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明，则其面积相等，设，由面积关系求得m与n的关系，再设解析式，即可求得解析式．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得；
∴，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴；
由折叠的性质：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去）,
故答案为：；
（2）解：①猜想；
理由如下：
由折叠性质得，；
∵，
∴，，
∴；
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵E是的中点，
∴，，；
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵
；
（3）解：如图，过点D作y轴的垂线，垂足为H，
由折叠知，，由（2）知，，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，
则，即，
即；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式等知识，证明三角形全等是解题的关键．