山东省济南市高新区2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份山东省济南市高新区2023-2024学年九年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
3．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
4．如图，正方形与正方形位似，点O为位似中心，位似比为，若点A的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各点，一定在反比例函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点A、B、C在上，，则（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线的对称轴是，则下列五个结论：①；②；③ ；④；⑤其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
11．若锐角α满足sinα=，则∠α的度数是 ．
12．袋中有红、黄、蓝3球，从中摸出一个，放回，再摸一次，摸到一黄一蓝的概率是 .
13．如图，A是反比例函数的图象上一点，若的面积为2，则k的值为 ．
14．如图，正方形的边长为2，连接，以长为半径画弧，交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为 ．
15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m．
16．如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ．
三、解答题
17．计算：
18．已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

19．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的值．
20．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：，）
21．初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．用电流表和电压表测量电阻，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成．
(1)若小明从中任意抽取一个实验，求小明抽到实验D的概率；
(2)若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图（树状图也称树形图）中的一种方法，求小明抽到的两个实验均为化学实验的概率．
22．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，以的边为直径作，交于点P，是的切线且，垂足为点D．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
23．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
(1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
24．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标．
25．如图，直线与x轴，y轴分别交于点，过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E坐标
(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
26．如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．
(1)如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________．
(2)将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当绕点逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查三视图．画出从左面看的到图形即可，注意存在看不到的用虚线表示．
【详解】解：左视图为：
故选D．
2．B
【分析】根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】由图得，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
3．B
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
4．D
【分析】本题主要考查位似变换和正方形的性质，理解位似变换与形似比的定义是解题的关键．
已知正方形与正方形位似，点O为位似中心，相似比为，则，根据点A的坐标为，求得，结合正方形的性质即可解答．
【详解】解：∵正方形与正方形位似，点O为位似中心，相似比为，
∴，
∵点A的坐标为），
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点E的坐标是．
故选：D．
5．B
【分析】将各选项的点的横坐标代入反比例函数中，进行计算即可得．
【详解】解：A、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，，点在反比例函数图像上，选项说法正确，符合题意；
C、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
D、当时，，点不在反比例函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
6．C
【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可得，掌握圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同．
【详解】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的的值最大，即优秀人数最多，即优秀人数最少，
故选：C．
9．D
【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，结合设，则，，进而可得，是正方形对角线，推出，求出，可求得，再由勾股定理可得，再证，利用相似三角形的性质可求出．
【详解】解：过点作，交延长线于，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∵是正方形对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
10．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故①正确；
∵图象开口向下，
∴，
∵图象交轴于正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和之间，且开口向下，
∴时， ，故④正确；
由图象知:时， ，
∵，
∴，即，故⑤正确；
∴共个正确，
故选:.
11．30°/30度
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由锐角α满足sinα=，
则∠α的度数是30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了概率公式．根据题意列出所有等可能的情况数，找出一黄一蓝的情况数，根据概率公式即可得解．
【详解】解：两次摸得的颜色共有如下情况：
共9种情况，其中一黄一蓝共有2种情况，故摸到一黄一蓝的概率是．
故答案为．
13．4
【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即．
【详解】解：根据题意可知：，
又∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴．
故答案为：4．
14．/
【分析】本题主要考查正方形和圆的面积公式的灵活应用，熟记计算公式是解题的关键，
先求出正方形的面积，再求出扇形的面积即可求出阴影部分的面积．
【详解】解： 是边长为2的正方形，
，
是正方形对角线，
又阴影部分是以长为半径画弧，
分别以B为圆心的阴影部分的面积为：，
第一部分阴影部分的面积为，
两个阴影部分的面积相等，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15．10
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
17．
【分析】根据，，，，再计算即可得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，零指数次幂，乘方，特殊角三角函数等知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
18．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19．(1)详见解析
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由得到，由进一步得，即可证明；
（2）先求出．由得到，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解：，，
．
，
，
，
．
20．轮船能在台风到来前赶到避风港B处
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，过点P作，根据正弦的定义求出，，再求出，根据路程÷速度＝时间与7比较即可作出判断，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点P作于C，
在中，，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
∵轮船的航速是每小时海里，
∴（小时），
∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式即可求解；
（2）方法一，根据列表法求概率；方法二，画树状图求概率．
【详解】（1）由题意可得，
小明从中任意抽取一个实验，小明抽到实验D的概率为；
（2）方法一，根据题意列表如下：
由上表可以看出，所有等可能出现的结果共有12种，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种．
∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为，．
答：小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为．
方法二，画树状图如下：
由上图可以看出，所有等可能出现的结果共有12种，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种．
∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为，．
答：小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为．
22．(1)详见解析
(2)5
【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题；
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似三角形对应边成比例可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，如图，
在中，
，
，
为直径，
，
，，
，
，
∴，即，
解得，
，
，
的半径为5．
23．(1)3；
(2)点M到地面的距离为2.25米
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解．
【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴点，
当时，，
故答案为：3；
（2）设抛物线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
24．(1)
(2)
(3)P的坐标为或或或．
【分析】本题主要考查了求反比例函解析式、三角形的面积公式、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论和方程思是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）先求出点A、B的坐标，然后运用待定系数法求出一次函数解析式，在确定直线与y轴的交点C的坐标，将△OAB分割成两个三角形求面积即可；
（3）分点P在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形解答即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为都在一次函数的图像上
，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：直线与x轴交于点C，，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，

∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，

∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
25．(1)
(2)点E的坐标为
(3)点N的坐标为或．
【分析】本题主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式、相似三角形的性质等知识点，根据条件列函数或方程是解题的关键．
（1）将点代，求出b，c，即可得到抛物线的解析式，然后再化成顶点式即可；
（2）在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数解析式，然后根据函数的性质即可解答；
（3）根据B，C，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得：
，解得：，
∴，
∴．
（2）解：如图1：在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线交直线于点F，
设点，则点E的坐标为
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为．
（3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，
如图2：连接，
设，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
①当时，，
∴，解得，所以点N的坐标为；
②当时，，
∴，解得，所以点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或．
26．(1)2；60°
(2)成立，证明过程见详解
(3)①；②或
【分析】（1）先求出BC，AA1=A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出ACA1∽BCB1，得出==2，∠CAA1=∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论；
（3）①当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
【详解】（1）解：在RtABC中，AC=2，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1=A1C=AC=1，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是ABC的中位线，
∴A1B1AB，
∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°，
在RtA1B1C中，
B1C=2A1C=2，
∴BB1=BC-B1C=4-2=2，
∴=2，
∵∠ACB=60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，
故答案为：2，60°；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1=∠BCB1，
A1C=1，B1C=2，
∵AC=2，BC=4，
∴=2，=2，
∴=，
∴ACA1∽BCB1，
∴==2，∠CAA1=∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD
=∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1
=∠ABC+∠BAC
=30°+90°
=120°，
∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD）=60°；
（3）解：①由题意，得
AC=2，AB=2，CA1=1，
当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，
最大值=×2×3=3；
②在图1中，在RtA1B1C中，
B1C=A1C=，
∵A1，B1，B三点共线，
当点B1在BA1的延长线上时，如图3，
∴∠BA1C=∠BA1C=90°，
在RtA1BC中，
A1B=
=
=，
∴BB1=A1B+A1B1
=+；
当点B1在线段A1B上时，如图4，
同①的方法，得A1B=，
∴BB1=A1B-A1B1
=-，
故：线段BB1的长为+或-．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
红
黄
蓝
红
红红
黄红
蓝红
黄
红黄
黄黄
蓝黄
蓝
红蓝
黄蓝
蓝蓝
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）