山东省德州市临邑县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份山东省德州市临邑县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列方程中，属于一元二次方程的有（ ）个．
①ax2+bx+c＝0；
②（x+2）2﹣x2＝4；
③；
④3x2﹣4x+6＝0．
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）在直角坐标系中，A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣3B．a＝1，b＝3C．a＝0，b＝2D．a＝2，b＝0
4．（4分）如图随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3/份
A．B．C．D．
5．（4分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）在平面直角坐标系中，函数与y＝﹣x+2的图象交于点P（m，n），则代数式中的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）临邑县某中学教师在研究教材时，改编了一首苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为x2＝10（x+3）+x
B．列方程为x2﹣10x+30＝0
C．周瑜去世时47岁
D．列方程为x2＝10（x﹣3）+x
9．（4分）如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PCE的周长为（ ）
A．10B．12C．16D．20
10．（4分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．11πcmB．πcmC．7πcmD．πcm
11．（4分）2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数，当m 时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小．
14．（4分）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
15．（4分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
16．（4分）燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图1所示，图2是在打开状态时的示意图，图3是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从打开到闭合，B、D之间的距离增加了 mm．
17．（4分）2023年10月26日11时14分，长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送3名航天员奔赴“天宫”．30战30捷一气呵成，中国载人航天工程，再立新功．如图，神舟十七号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：≈1.732，≈1.414）
18．（4分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ ．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分）
19．（10分）（1）先化简，再求值：，从﹣2，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值；
（2）解一元二次方程：（x﹣2）2＝x+2．
20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy．
（1）将直接写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，在第四象限将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若△ABC上的点P（x，y）位似的对应点为点P2，则点P2的坐标为 ．
22．（12分）如图，点A，B，C是半径为3的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若DF＝4．求tan∠EAD的值．
23．（12分）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．现某商店推出销售吉祥物活动，已知吉祥物每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售300件；当销售单价每增加2元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润＝销售总额﹣进货成本）
（1）若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元，则当天销售量为 件；
（2）该吉祥物的当天利润有可能达到6200元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
24．（12分）【探索发现】某兴趣小组在一次数学活动中发现有一组对角互余的四边形具有特殊的性质，通过翻阅资料得知这样的特殊四边形称为对余四边形，即有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）【猜想验证】若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为多少，并进行证明；
（2）【拓展应用】如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
25．（14分）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E的坐标．
2023-2024学年山东省德州市临邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（4分）下列方程中，属于一元二次方程的有（ ）个．
①ax2+bx+c＝0；
②（x+2）2﹣x2＝4；
③；
④3x2﹣4x+6＝0．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，故①不正确；
②（x+2）2﹣x2＝4整理得：4x＝0，是一元一次方程，故②不正确；
③是分式方程，不是一元二次方程，故③不正确；
④3x2﹣4x+6＝0是一元二次方程，故④正确；
所以，上列属于一元二次方程的是有1个，
故选：A．
3．（4分）在直角坐标系中，A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣3B．a＝1，b＝3C．a＝0，b＝2D．a＝2，b＝0
【解答】解：∵A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），
∴，
解得，
故选：A．
4．（4分）如图随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图，如图所示：
共有6种等可能的情况数，其中能让灯泡L1、L2至少一盏发光的有4种，
则能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为＝．
故选：D．
5．（4分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：图⑤几何体的俯视图为：
．
故选：A．
6．（4分）在平面直角坐标系中，函数与y＝﹣x+2的图象交于点P（m，n），则代数式中的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：把点P（m，n）分别代入与y＝﹣x+2中，
得n＝，n＝﹣m+2，
即mn＝1，m+n＝2，
∴＝＝＝＝2，
故选：B．
7．（4分）已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴与负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交原点，
∴a＜0，b＞0，c＝0，
∴一次函数图象应该过第一、三象限，B错误；
C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴与负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，C正确；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误．
故选：C．
8．（4分）临邑县某中学教师在研究教材时，改编了一首苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为x2＝10（x+3）+x
B．列方程为x2﹣10x+30＝0
C．周瑜去世时47岁
D．列方程为x2＝10（x﹣3）+x
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），
根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
整理得：x2﹣11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6，
当x＝5时，10（x﹣3）+x＝10×（5﹣3）+5＝25＜30，不符合题意，舍去；
当x＝6时，10（x﹣3）+x＝10×（6﹣3）+6＝36＞30，符合题意，
∴周瑜去世时36岁．
故选：D．
9．（4分）如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PCE的周长为（ ）
A．10B．12C．16D．20
【解答】解：连接OA，
∵PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，
∴CA＝CD，ED＝EB，PA＝PB，OA⊥PA，
∴△PCE周长＝PE+PC+EC＝PE+PC+EB+CA＝PB+PA＝2PA，
在Rt△PAO中，PA2＝PO2﹣OA2，
∴PA＝＝8，
∴△PCE周长＝2PA＝16．
故选：C．
10．（4分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．11πcmB．πcmC．7πcmD．πcm
【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：＝11π（cm），
故选：A．
11．（4分）2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的中心为点H，连接HA、HB、HC，作BG⊥HC于点G，
∵HA＝HB＝HC，∠AHB＝∠BHC＝×360°＝60°，
∴△AHB和△BHC都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为4，
∴AB＝HB＝CB＝HC＝4，∠CHB＝∠ABH＝60°，
∴HC∥AB，
∵AB与x轴垂直，
∴HC∥AB∥y轴，
∴BG∥x轴，
∵A（2，﹣3），
∴xB＝2，yB＝﹣3+4＝1，
∴B（2，1），
∵∠BGC＝90°，CB＝4，CG＝HG＝HC＝2，
∴BG＝＝＝2，
∴xG＝2﹣2，yG＝1，
∴xC＝2﹣2，yC＝1+2＝3，
∴C（2﹣2，3），
故选：A．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正确，
故选：D．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数，当m ＞2 时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小．
【解答】解：∵反比例函数在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小，
∴m﹣2＞0，
解得，m＞2．
故答案为：＞2．
14．（4分）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．（4分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 6π （结果保留π）．
【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影部分＝＝6π，
故答案为：6π．
16．（4分）燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图1所示，图2是在打开状态时的示意图，图3是在闭合状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从打开到闭合，B、D之间的距离增加了 25 mm．
【解答】解：由图2可知，点BD之间的距离为20mm，
如图3，连接BD，
∵BD∥EF，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
解得BD＝45（mm），
∴点BD之间的距离增加了45﹣20＝25（mm）．
故答案为：25．
17．（4分）2023年10月26日11时14分，长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送3名航天员奔赴“天宫”．30战30捷一气呵成，中国载人航天工程，再立新功．如图，神舟十七号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 335 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：≈1.732，≈1.414）
【解答】解：由题意得：∠BOC＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴AO＝AD＝2000（米），
DO＝AO＝2000（米），
∵CD＝460米，
∴OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC•tan45°＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000＝（2000﹣2460）米，
∴飞船从A到B处的平均速度＝≈335（米/秒），
故答案为：335．
18．（4分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k＝ 15 ．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝15．
故答案为15．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分）
19．（10分）（1）先化简，再求值：，从﹣2，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值；
（2）解一元二次方程：（x﹣2）2＝x+2．
【解答】解：（1）原式＝•
＝x﹣2，
∵x+2≠0且x﹣2≠0且x﹣1≠0，
∴x可以取，
当x＝时，原式＝﹣2；
（2）（x﹣2）2＝x+2，
方程化为一般式为x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
∴x＝，
所以x1＝，x2＝．
20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
21．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy．
（1）将直接写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各点的坐标：A1 （0，1） ，B1 （2，0） ，C1 （3，3） ；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，在第四象限将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，若△ABC上的点P（x，y）位似的对应点为点P2，则点P2的坐标为 （2x，2y） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，点A1的坐标为（0，1），点B1的坐标为（2，0），C1的坐标为（3，3）；
故答案为：（2，0），（0，1），（3，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点P（x，y）位似的对应点的坐标为点P2（2x，2y），
故答案为：（2x，2y）．
22．（12分）如图，点A，B，C是半径为3的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若DF＝4．求tan∠EAD的值．
【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，
证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODF中，OD＝3，DF＝4，
∴OF＝＝5，
∵OD∥AE，
∴，
∴，
∴AE＝，ED＝，
∴tan∠EAD＝＝＝．
23．（12分）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．现某商店推出销售吉祥物活动，已知吉祥物每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售300件；当销售单价每增加2元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润＝销售总额﹣进货成本）
（1）若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元，则当天销售量为 270 件；
（2）该吉祥物的当天利润有可能达到6200元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：300﹣10×
＝300﹣10×
＝300﹣30
＝270（件），
∴若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元，则当天销售量为270件．
故答案为：270；
（2）该吉祥物的当天利润不能达到6200元，理由如下：
假设该吉祥物的当天利润能达到6200元，设销售单价增加x元，则每件的销售利润为（40+x﹣30）元，每天可销售300﹣10×＝（300﹣5x）件，
根据题意得：（40+x﹣30）（300﹣5x）＝6200，
整理得：x2﹣50x+640＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×640＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到6200元．
24．（12分）【探索发现】某兴趣小组在一次数学活动中发现有一组对角互余的四边形具有特殊的性质，通过翻阅资料得知这样的特殊四边形称为对余四边形，即有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
（1）【猜想验证】若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为多少，并进行证明；
（2）【拓展应用】如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【解答】解：（1）∠A与∠C的度数之和为90°或270°，理由如下：
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°；
（2）线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
25．（14分）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．
如图1，作PD∥y轴交BC于D
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得．
故直线BC的解析式为y＝x+3，
设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则D（x，x+3），
∴PD＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△BPC＝S△PBD+S△CPD
＝•3•（﹣x2﹣3x）
＝﹣x2﹣x
＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，S△BPC最大＝，
当x＝﹣时，y＝﹣x2﹣2x+3＝，
∴点P坐标为：（﹣，）；
（3）如图2，∵OB＝OC＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵BF⊥BE，
∴∠FBO＝45°，
∴∠OEF＝∠OBF＝45°，∠OFE＝∠OBE＝45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴S△OEF＝OE•OF＝OE2，
∴当OE最小时，△OEF面积取得最小值，
∵点E在线段BC上，
∴当OE⊥BC时，OE最小，此时点E是BC中点，
∴E（﹣，）．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
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4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%