2024忻州高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024忻州高一上学期1月期末考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A. 3B. 2C. D.
5. 已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数（，，）的部分图象如图所示，若，则可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A. 或B. 0或C. 或D. 或
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列与的值相等的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C D.
11. 如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A.
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C.
D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米
12. 已知定义在上奇函数满足，且当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. D. 函数恰有8个零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. __________；__________.
14. 函数（）的图象经过定点，则点的坐标为______．
15. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为______．
16. 已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知幂函数．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
18. 已知角是第一象限角，且满足．
（1）求，，的值；
（2）求，的值．
19. 已知函数，．
（1）求的值域；
（2）求方程的解集．
20. 某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．
注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．
（1）试写出提成关于销售总额的关系式；
（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
21. 已知函数（，）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是，将图象上所有的点先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，且为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
22 已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）设，若，，，，求的取值范围．销售人员个人每月销售额/万元
销售额的提成比例
不超过100万元的部分
5%
超过100万元的部分
高一数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再由交集运算可得.
【详解】，
，
则．
故选：A.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正切公式可得.
【详解】．
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据“充分”和“必要”条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
4. 已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式计算可得答案.
【详解】设该扇形的圆心角为，则，解得．
故选：C.
5. 已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解.
【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数.
将表格中数据按照从小到大排列如下：
由表格可得：.
由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.
故选：C.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指对数函数性质判断大小关系.
【详解】因为，所以．
故选：C
7. 函数（，，）的部分图象如图所示，若，则可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图求出，,，由求出，由求出即可求解.
【详解】由图可得，，
则，解得，由，
得，解得，因为，
所以，或，，
解得，或，，
所以，符合题意．
故选：D.
8. 若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A. 或B. 0或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，
当时，在上单调递减，则，解得，
则，得，
当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），
则，得，
综上，或.
故选：A.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列与的值相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用诱导公式求出结果，对比选项可得答案.
【详解】，
，，
，．
故选：AD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，对于B，由基本不等式即可得到结果；对于C，由“1”的代换及基本不等式即可得到结果；对于D，由对数的运算及基本不等式即可求得结果.
【详解】对于A，由题意可得，A正确.
对于B，因为,，所以，当且仅当时，等号成立，B正确.
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误.
对于D，，D正确.
故选：ABD
11. 如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A.
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C.
D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米
【答案】BCD
【解析】
【分析】由即可求出，结合周期，即可求解.
【详解】依题知，则，
因为，所以，A错误；
由，则周期为，
则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；
，由，
可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.
故选：BCD
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. D. 函数恰有8个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】利用周期定义求出周期可判断A；结合周期画出的部分图象可判断B；利用周期计算可判断C；画出函数、的图象可判断D．
【详解】对于A，由，得，
可得的周期为4，A正确；
对于B，当时，，则，
得，结合周期画出的部分图象如图所示，
由图可得在上单调递增，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，因为，
所以为偶函数，当时，令，
得，画出函数的图象，
因为，
所以与在上的图象只有8个零点，
根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．

故选：AC.
【点睛】关键点点睛：D选项解题的关键点是画出函数与的图象解题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. __________；__________.
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】利用指数运算性质，对数运算性质，对数的概念进行运算即可．
【详解】，
.
故答案为：；1．
14. 函数（）图象经过定点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】借助对数函数定点问题，令，计算即可.
【详解】令，得，所以点的坐标为．
故答案为：.
15. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性和偶函数的对称性可解.
【详解】当时，，
令，得，解得，
因为是定义在上的偶函数，
所以不等式的解集为．
故答案为：
16. 已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式化简求解，即可利用整体法求解函数的单调性，即可得的范围，进而可求解.
【详解】，
当时，，
因为在上单调递增，
所以（），解得（），
由（）得，故的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 已知幂函数．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）为奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案；
（2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案.
【小问1详解】
依题意可得，
解得，所以；
【小问2详解】
为奇函数．
理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数．
18. 已知角是第一象限角，且满足．
（1）求，，的值；
（2）求，的值．
【答案】（1），，
（2），
【解析】
【分析】（1）解方程得，再由同角基本关系式求解；
（2）根据二倍角公式和和差角公式求解.
【小问1详解】
因为角是第一象限角，所以，，．
由，解得或（舍去），
则，．
【小问2详解】
，
，
．
19. 已知函数，．
（1）求值域；
（2）求方程的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）换元令，结合指数函数单调性求值域；
（2）分和两种情况，结合指、对数运算求解.
【小问1详解】
令，，
因为，则，可得，所以，
即的值域为．
【小问2详解】
由，即，
当时，即，整理得，
可得或，解得或；
当时，即，整理得，
可得，解得；
综上所述：方程的解集为．
20. 某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．
注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．
（1）试写出提成关于销售总额的关系式；
（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
【答案】（1）
（2）135万元
【解析】
【分析】（1）根据题意写出提成与销售额的关系式即可；
（2）根据关系式，通过求解对数不等式可得答案.
【小问1详解】
根据题意可知，当时，；
当时，．
故提成关于销售总额的函数关系式为
【小问2详解】
当时，，
则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，
令，得，解得，
即该销售人员当月的销售总额至少为135万元．
21. 已知函数（，）图象的两条相邻对称轴之间的距离是，将图象上所有的点先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，且为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过周期求出，利用图象平移，借助偶函数求出;
（2）将恒成立转化为最值问题，借助基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由，得，则，
则，
因为为偶函数，所以（），
解得（），因为，所以，
则．
【小问2详解】
因为，所以，
则不等式对恒成立可转化为
对恒成立，即，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围为．
22. 已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）设，若，，，，求的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）利用解出即可得答案；
（2）根据函数单调性求出的最值，化简，再根据二次函数的单调性可得的取值范围.
【小问1详解】
当时，由，得，即，
，解得，即的零点为5．
【小问2详解】
，．
因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
则，
所以，
即对任意的恒成立．
设函数，因为，所以在上单调递增，
则，
解得，故的取值范围为．销售人员个人每月销售额/万元
销售额的提成比例
不超过100万元的部分
5%
超过100万元的部分