2023-2024学年四川省绵阳市江油市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市江油市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米(即0.000000022米)，则数据0.000000022用科学记数法表示为( )
A. 0.22×10−7B. 2.2×10−8C. 2.2×10−9D. 22×10−9
3.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 72°B. 60°C. 58°D. 50°
4.图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5.下列计算正确的是( )
A. a8÷a2=a4B. (−2024)0=2024C. (−12)−2=14D. 2a5⋅a3=2a8
6.下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是( )
A. bx2−b=b(x2−1)B. m3+m=m(m2+1)
C. x3−16x2=x(x2−16x)D. (x−3)(x+1)=x2−2x−3
7.若4x2−mx+9是一个完全平方式，则m的值是( )
A. 12B. −12C. ±12D. ±6
8.已知2x−3y−2=0，则9x÷27y的值为( )
A. 9B. 12C. 18D. 27
9.如图，△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接CP，△PBC的面积为3，△ABC的面积为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
10.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M、N.再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P点，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②若CD=2，则AD=4；③点D与AB中点的连线一定垂直平分AB；④S△DAC：S△ABC=1：3；正确的是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
12.如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.分解因式：3x3−12xy2= ．
14.已知P1(a−1,5)和P2(2,b−1)关于y轴对称，则a+b的值为______．
15.如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC= ______°.
16.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB/​/ED，BF=EC，那么添加一个条件后，可以判定△ABC≌△DEF，有下列几种添法：①AB=DE；②AC=DF；③∠A=∠D；④AC//FD，其中添加正确的是______.(填序号)
17.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E.若BC=6，AC=4.则CE的长度是______．
18.关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+2>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)计算：[(x−2y)2−(2y−x)(2y+x)]÷2x；
(2)解方程：xx−1−1=3(x−1)(x+2)．
20.(本小题7分)
先化简再求值：a+2a2−3a÷a2−4a−12−a，其中a满足与2和3构成△ABC的第三边，且a为整数．
21.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AD是角平分线，过点D作DE⊥BC，交AB于点E．
(1)若∠B=50°，∠C=70°，求∠ADE的度数；
(2)若∠B=α，∠C=β(β>α)，则∠ADE= ______(用含α、β的式子表示)．
22.(本小题7分)
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
23.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF.求证：
(1)AE=CF；
(2)△ABC是等边三角形．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0,a)，P(b,c)，且(a−2)2+|b− 3|+c2−2c+1=0，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC．
(1)直接写出点A和点P的坐标．
(2)当点B运动时，AE的长度是否发生变化？如果不变化，请求出AE的长；如果要变化，请说明理由．
(3)在x轴上是否存在点F，使得△OPF是以OP为腰的等腰三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α=50°．
故选：D．
直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，延长a，b交于点E，
∵a⊥b，
∴∠ABC=90°，
∴正多边形的一个外角为180°−90°2=45°，
∴n=360°45∘=8．
故选：B．
延长a、b交于点E，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵a8÷a2=a6，
∴选项A不符合题意；
∵(−2024)0=1，
∴选项B不符合题意；
∵(−12)−2=4，
∴选项C不符合题意；
∵2a5⋅a3=2a8，
∴选项D符合题意，
故选：D．
运用同底数幂除法、零次幂、负整数指数幂、单项式乘以单项式知识进行逐一辨别、求解．
此题考查了同底数幂除法、零次幂、负整数指数幂、单项式乘以单项式知识的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
6.【答案】B
【解析】解：A、bx2−b=b(x2−1)=b(x+1)(x−1)，故本选项不符合题意；
B、m3+m=m(m2+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、x3−16x2=x2(x−16)，故本选项不符合题意；
D、(x−3)(x+1)=x2−2x−3，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据因式分解的定义得出即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7.【答案】C
【解析】解：∵4x2−mx+9是完全平方式，
∴4x2−mx+9=(2x±3)2=4x2±12x+9，
∴m=±12，
m=±12．
故选：C．
这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3积的2倍．
此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8.【答案】A
【解析】解：∵2x−3y−2=0，
∴2x−3y=2，
∴9x÷27y=(32)x÷(33)y=32x÷33y=32x−3y=32=9，
故选：A．
先逆用幂的乘方把9x÷27y化为32x÷33y，再根据同底数幂的除法法则得到32x−3y，再由2x−3y−2=0得出2x−3y=2，代入进行计算即可，
本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法．
9.【答案】D
【解析】解：延长AP交BC于点Q，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴AP=QP，
∴S△ABP=S△QBP，S△ACP=S△QCP，
∵S△PBC=S△QBP+S△QCP=3，
∴S△ACP+S△ABP=3，
∴S△ABC=6．
故选：D．
延长AP交BC于点Q，根据“三线合一”可得AP=QP，再根据中线的性质，即可进行解答．
本题主要考查的是角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是掌握：在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合；三角形的中线将三角形的面积分成相等的两份．
10.【答案】B
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
11.【答案】D
【解析】解：①由作图可知AD平分∠BAC，故①正确．
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°−30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=2CD=4，故②正确．
③∵∠DAB=∠B=30°，
∴DA=DB，
∴点D与AB中点的连线一定垂直平分AB，故③正确，
④∵AD=DB=2CD，
∴S△ADB=2S△ADC，
∴S△DAC：S△ABC=1：3.故④正确，
故选：D．
①正确．根据作图痕迹判定即可；
②正确．证明∠CAD=30°，推出AD=2CD；
③正确．证明DA=DB，可得结论；
④正确．证明DB=2CD，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】A
【解析】【分析】
作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．
本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
【解答】
解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，
此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，
根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
所以AG=AH=GH=2，
所以△AGH是等边三角形，
所以∠GAH=60°，
所以∠FAB=12∠GAH=30°，
故选：A．
13.【答案】3x(x+2y)(x−2y)
【解析】解：3x3−12xy2=3x(x2−4y2)=3x(x+2y)(x−2y)．
故答案为：3x(x+2y)(x−2y)．
先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：∵点P1(a−1,5)和P2(2,b−1)关于y轴对称，
∴a−1=−2，5=b−1，
解得：a=−1，b=6，
则(a+b)2=(−1+6)2=25．
故答案为：25．
利用关于x轴对称点的性质分别得出a，b的值进而求出即可．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
15.【答案】120
【解析】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，
∴∠BAP=∠CAQ=30°．
∴∠BAC=120°．
故∠BAC的度数是120°．
故答案为：120．
根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解．
此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．
16.【答案】①③④
【解析】解：∵AB/​/ED，
∴∠B=∠E，
∵BF=CE，
∴BC=EF，
∴当AB=DE时，可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故①符合题意；
当AC=DF时，不能判定△ABC≌△DEF，故②不符合题意；
当∠A=∠D时，可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故③符合题意；
当AC/​/FD时，可得∠ACB=∠EFD，利用ASA可判定△ABC≌△DEF，故④符合题意；
故答案为：①③④．
证出∠B=∠E，BC=EF，根据全等三角形的判定方法可得出答案．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
17.【答案】1
【解析】解：连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
PD=PEPC=PC，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP(HL)
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
PE=PDPA=PB，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP(HL)
∴AE=BD，
∴AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴CE=CD=12×(6−4)=1，
故答案为：1．
连接PA、PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD，则可得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18.【答案】−4
【解析】解：关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x化为整式方程是：ax−3+(x−2)=−(3x−1)，
解得：x=6a+4，
∵关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，
∴a+4>0，
∴a>−4，
∵关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x可能会产生增根2，
∴6a+4≠2，
∴a≠−1．
解关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+2>a得：y≤0y>a−2，
∵关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+2>a有解，
∴a−2<0，
∴a<2．
综上，−4∵a为整数，
∴a=−3或−2或0或1，
∴满足条件的整数a的值之和是：−3−2+0+1=−4，
故答案为：−4．
把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求a的范围，最后确定a的整数解，再相加即可．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能会产生增根的情形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)[(x−2y)2−(2y−x)(2y+x)]÷2x
=(x2−4xy+4y2−4y2+x2)÷2x
=(2x2−4xy)÷2x
=x−2y；
(2)xx−1−1=3(x−1)(x+2)，
方程两边都乘(x−1)(x+2)，得x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，
x2+2x−x2−2x+x+2=3，
x=3−2，
x=1，
检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0，
所以分式方程无解．
【解析】(1)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
(2)方程两边都乘(x−1)(x+2)得出x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】解：原式=a+2a(a−3)×a(a+2)(a−2)−12−a
=1(a−3)(a−2)+a−3(a−3)(a−2)
=1+a−3(a−3)(a−2)
=1a−3．
∵1∴a=4，
∴原式=1．
【解析】先计算乘方，再计算加减，判断出a=4再代入求解．
本题考查分式的化简求值，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的法则．
21.【答案】12(β−α)
【解析】解：(1)在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴∠BDA=180°−∠B−∠BAD=180°−50°−30°=100°．
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDA−∠BDE=100°−90°=10°；
(2)在△ABC中，∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12(180°−α−β)=90°−12α−12β，
∴∠BDA=180°−∠B−∠BAD=180°−α−(90°−12α−12β)=90°−12α+12β.
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDA−∠BDE=90°−12α+12β−90°=12β−12α=12(β−α)．
故答案为：12(β−α)．
(1)在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BAD的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BDA的度数，由DE⊥BC，可得出∠BDE=90°，再结合∠ADE=∠BDA−∠BDE，即可求出结论；
(2)在△ABC中，利用三角形内角和定理，可用含α，β的代数式表示出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可用含α，β的代数式表示出∠BAD的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可用含α，β的代数式表示出∠BDA的度数，由DE⊥BC，可得出∠BDE=90°，再结合∠ADE=∠BDA−∠BDE，即可用含α，β的代数式表示出∠ADE的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，根据各之间的关系的关系，找出∠ADE与∠B，∠C之间的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(2x−40)元，
根据题意得：1600x=12002x−40×2，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴2x−40=2×80−40=120．
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，
根据题意得：80m+120(200−m)≤17500，
解得：m≥162.5，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为163．
答：最少购买163个足球．
【解析】(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(2x−40)元，利用数量=总价÷单价，结合用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入(2x−40)中，即可求出篮球的单价；
(2)设购买m个足球，则购买(200−m)个篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过17500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】证明：(1)∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AD=CD，∠AED=∠CFD=90°，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
∵AD=CD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，
∴AE=CF；
(2)∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AD=CD，∠AED=∠CFD=90°，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
AD=CDDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，
∴∠A=∠C，
由(1)知，∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】(1)根据Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，即可求证；
(2)先证明Rt△AED和Rt△CFD全等，从而可以得到∠A=∠C，再根据(1)中的结论，即可得到∠A=∠B=∠C，从而可以得到结论成立．
本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵(a−2)2+|b− 3|+c2−2c+1=0，
∴(a−2)2+|b− 3|+(c−1)2=0，
∴a=2，b= 3，c=1，
∴A(0,2)，P( 3,1)；
(2)AE的长度不会变化，
∵△AOP、△PBC是等边三角形，
∴PA=OP，PB=PC，∠OPA=∠BPC=60°．
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC．
在△OPB和△APC中，
PA=OP∠OPB=∠APCPB=PC，
∴△OPB≌△APC．
∴OB=AC．
∵△OPB≌△APC，
∴∠BOP=∠CAP=60°．
∴∠CAO=120°，∠EAO=60°，∠AEO=30°，
∴AE=2AO=4，
∴AE的长度不会变化．
(3)如图1所示：PO=PF，过点P作PD⊥OF．

∵OP=PF，PD⊥OF，
∴OD=DF．
∵∠POD=30°，PD⊥OD，
∴OD=OP× 32= 3．
∴OF=2 3．
∴点F的坐标为(2 3,0)．
如图2所示：OP=OF．

∵OP=OF=2，
∴点F的坐标为(2,0)或(−2,0)．
如图3所示：OF=FP，过点F作FD⊥OP．

∵OF=FP，FD⊥OP，
∴OD=12OP=1．
在Rt△ODF中，OF=DO÷ 32=1×2 3=2 33．
∴点F的坐标为(2 33,0)．
综上所述，点F的坐标为(2 3,0)或(2,0)或(2 33,0)或(−2,0)．
【解析】(1)将c2−2c+1变形为(c−1)2，然后依据非负数的性质求解即可；
(2)由等边三角形的性质可知：PA=OP，PB=PC，然后再证明∠OPB=∠APC，依据SAS证明△OPB≌△APC，从而得到OB=AC；由△OPB≌△APC可知∠APC=60°，从而可知AE的长度不会变化；
(3)分别以点O，P，F为顶点进行分类讨论即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．