2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算中，结果正确的是( )
A. (−pq)3=p3q3B. x4+x4=x8
C. (a−b)2=a2−b2D. (a2)3=a6
3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 1.5B. 12C. 42D. 32
4.下列式子中是分式的是( )
A. x−23B. a−bπC. 1aD. x2
5.下列运算正确的是( )
A. 8− 2= 2B. 419=213C. 5− 3= 2D. (−1)2=−1
6.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. x2−2x+1=(x−1)2
C. 2a−1=a(2−1a)D. x2+6x+8=x(x+6)+8
7.若分式x3x−y中的x，y都扩大2倍，则该分式的值( )
A. 不变B. 扩大2倍C. 扩大4倍D. 缩小为原来的12
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长( )
A. 8cmB. 12cmC. 15cmD. 16cm
9.若(x−2)(3x+m)计算的结果中不含关于字母x的一次项，则m的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
10.下列说法：
①在三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半；
②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
③等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；
④有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.将数0.000092用科学记数法表示为______．
12.若分式xx−1有意义，则x的取值范围是______．
13.把多项式ab2−a分解因式的结果为______．
14.计算： 12−3 13=______．
15.3−2=______．
16.分式方程2x=32x+1的解为______．
17.已知am=2，an=3，则a2m−3n= ______．
18.已知点C、点D在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=100°，∠ADB=50°，则∠CAD的度数为______．
19.已知1x−1y=2，则代数式3x−2xy−3yx+xy−y的值为______．
20.如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=BD，DE⊥AB于点E，∠BAC=2∠BDE，AE=2，CD=3，则BC的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
计算：
(1)a(2a−3b)−(a−b)2；
(2)(−a2b)3⋅4a2；
(3)(2 5+ 2)(2 5− 2)；
(4) 18−( 27− 8)．
22.(本小题6分)
先化简，再求代数式3x2−4÷(1−x−1x+2)的值，其中x= 2+2．
23.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应)；
(2)连接CC1，在CC1的下方画出以CC1为底的等腰直角△PCC1，并且直接写出点P的坐标．
24.(本小题6分)
将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b2=9．
又因为ab=1，所以a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=34，则xy= ______；
(2)若x−y=7，xy=18，求x2+y2的值；
(3)两个正方形ABCD、CEFG如图摆放，面积和为60，BG=10，则图中阴影部分面积为______．
25.(本小题10分)
某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了200元，乙种雪糕花费了240元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了20个，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的1.5倍．
(1)求购进的甲、乙两种雪糕的单价；
(2)若甲雪糕每个售价是3.5元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于230元，那么乙种雪糕每个售价至少是多少元？
26.(本小题10分)
在△ABC中，BH⊥AC于点H，BM平分∠ABH，点N在BH上，2∠NMH+∠ABH=90°．
(1)如图1，求证：∠BMN=45°；
(2)如图2，若AB=AC，求证：BN=MC；
(3)如图3，在(2)的条件下，作ME⊥BM，交BC的延长线于点E，连接AE，交BM的延长线于点F，若∠BAC=30°，EF=4，求MN的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(a,0)，点B(0,b)，其中a，b满足 a−4+(3a−b)2=0；
(1)求a，b的值；
(2)点C从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，连接BC，设点C的运动时间为t秒，△ABC的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，点D在OB上，点C在OA延长线上，∠OBA+∠OCD=45°，当S=72时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、(−pq)3=−p3q3，故此选项不符合题意；
B、x4+x4=2x4，故此选项不符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
D、(a2)3=a6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式分别计算判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 1.5= 32= 62，，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 42是最简二次根式，符合题意；
D、 32= 16×2=4 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4.【答案】C
【解析】解：x−23，a−b3，x2不是分式，1a是分式，
故选：C．
形如AB(A,B是整式，B中含有字母，且B≠0)的代数式即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、 8− 2=2 2− 2= 2，符合题意；
B、 419= 379= 373≠213，不符合题意；
C、 5与 3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、 (−1)2=1≠−1，不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的加减法及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.(a+b)(a−b)=a2−b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.x2−2x+1=(x−1)2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C.2a−1=a(2−1a)，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D.x2+6x+8=x(x+6)+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：2x3×2x−2y=2x2(3x−y)=x3x−y，
即若分式x3x−y中的x，y都扩大2倍，则该分式的值不变．
故选：A．
根据题意列出算式2x3×2x−2y，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∵AD=4cm，
∴BD=2AD=8cm，
∵∠DAC=120°−90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=4cm，
∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，
故选B．
根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC=∠C，求出AD=DC=4cm，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．
9.【答案】C
【解析】解：原式=3x2+(m−6)x−2m，
由结果不含x的一次项，得到m−6=0，
解得：m=6．
故选：C．
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边(最长边)的一半，故说法①不正确；
②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故说法②正确；
③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高线三线合一，故说法③不正确；
④有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，故说法④正确；
⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法⑤正确，理由如下：
∵三角形的三个外角都相等，
∴该三角形的三个内角也相等，
∴该三角形是等边三角形．
故说法⑤正确．
综上所述：正确的说法有②④⑤，共3个．
故选：C．
根据直角三角形的性质可对说法①进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对说法②进行判断；根据等腰三角形的性质可对说法③进行判断；根据等边三角形的判定可对说法④进行判断；由三角形三角形的三个外角都相等可得出三角形的三个内角也相等，进而根据等边三角形的判定可对说法⑤进行判断
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
11.【答案】9.2×10−5
【解析】解：0.000092=9.2×10−5，
故答案为：9.2×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|2)；
(3)当S=72=12t−24时，则t=8，
则点C(16,0)，
如下图：

过点C作CT⊥x轴且CT=4，连接AT、BT，
则AC=16−4=OB，CT=OA=4，
∵∠BAO=∠ATC=90°
∴△BAO≌△ATC(SAS)，
∴∠OBA=∠TAC，AB=AT，
∵∠TAC+∠ATC=90°，
∴∠BAO=∠TAC=90°，
则△ABT为等腰三角形，则∠ATB=45°，
设AT交CD于点N，
则∠TAC+∠NCA=∠OBA+∠TAC=45°=∠ATB，
∴CD//BT，
由题意得，点T(16,4)，
由点B、T的坐标得，直线BT的表达式为：y=−12x+12，
∵CD//BT，
则直线CD的表达式为：y=−12(x−16)，
当x=0时，y=−12(x−16)=8，
即点D(0,8)．
【解析】(1)由 a−4+(3a−b)2=0，则a−4=0且3a−b=0，即可求解；
(2)由S=12×AC×BO=12×12×|4−2t|=|12t−24|，即可求解；
(3)当S=72=12t−24时，得到点C(16,0)，证明△BAO≌△ATC(SAS)，得到CD//BT，即可求解．
本题考查的是三角形综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，确定三角形全等是解题的关键．