2023-2024学年河南省驻马店市平舆县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市平舆县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案是轴对称图形的有( )
A. (1)(3)B. (1)(2)C. (2)(4)D. (2)(3)
2.在平面直角坐标系内点P(−2,2a+b)与点Q(a−b,1)关于y轴对称，则a+b的值为( )
A. 0B. 2C. −1D. 3
3.一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的对角线条数为( )
A. 26B. 24C. 22D. 20
4.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 三角形两边之和大于第三边
B. 三角形具有稳定性
C. 三角形两边之差小于第三边
D. 直角三角形的性质
5.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.下列各组图形中，是全等形的是( )
A. 两个含60°角的直角三角形B. 腰对应相等的两个等腰直角三角形
C. 边长为3和4的两个等腰三角形D. 一个钝角相等的两个等腰三角形
7.下列条件：
①三条边都相等的三角形；
②三个内角都相等的三角形；
③一边上的高与中线重合的三角形；
④有一个角为60°的等腰三角形.能判定三角形为等边三角形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：DC=9：7，则点D到AB边的距离为( )
A. 18B. 16C. 14D. 12
9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC−AC=2，则BC的长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
10.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为s时，能够使△BPE与△CQP全等．( )
A. 1
B. 1或4
C. 1或2
D. 2或4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长为______．
12.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF= ．
13.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD//AB，PE//AC，则△PDE的周长是______cm．
14.如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF=80°，则∠CEG=______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=3，△ABC面积为152，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
17.(本小题8分)
如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．
(1)求∠B的度数；
(2)求∠ACD的度数．
18.(本小题10分)
如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求证：BE⊥AC．
19.(本小题9分)
如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE/​/AC.求证：AE=BE．
20.(本小题9分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
(2)在网格中画出△A1B1C1关于直线m对称的△A2B2C2；
(3)在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
21.(本小题10分)
如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF/​/AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
22.(本小题10分)
如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，求证：∠DBC=∠CAB．
23.(本小题11分)
(1)如图①，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A、B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标______；(提示：过C作CD⊥y轴于点D，利用全等三角形求出OB即可)
(2)如图②，若点A的坐标为(−6,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值．若变化，求PB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(1)不是轴对称图形，(2)是轴对称图形，(3)是轴对称图形，(4)不是轴对称图形．
是轴对称图形的为(2)(3)．
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵点P(−2,2a+b)与点Q(a−b,1)关于y轴对称，
∴a−b=−(−2)，2a+b=1，
∴a=1，b=−1，
∴a+b=1−1=0．
故选：A．
根据点P(−2,2a+b)与点Q(a−b,1)关于y轴对称，可得a−b=−(−2)，2a+b=1即有a=1，b=−1，即可求解．
本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3.【答案】D
【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
(n−2)×180°=360°×3，
解得n=8，
∴这个多边形的对角线的条数是8×(8−3)2=20．
故选：D．
根据多边形的内角和是360°即可求得多边形的内角和，然后根据多边形的内角和求得边数，进而求得对角线的条数．
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形的对角线的条数的计算公式，多边形外角和为360°，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定，
∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性．
故选：B．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD(SSS)，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′=∠AOB．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
【解答】
解：由作图痕迹得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，
所以△C′O′D′≌△COD(SSS)，
所以∠A′O′B′=∠AOB．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．
综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解答】
解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；
B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS，或SAS，是全等形；
C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等；
D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：三条边都相等的三角形，是等边三角形，符合题意；
三个内角都相等的三角形，是等边三角形，符合题意；
一边上的高与中线重合的三角形，是等腰三角形但不一定是等边三角形，不符合题意；
有一个角为60°的等腰三角形，是等边三角形，符合题意；
综上，是等边三角形的个数是3个，
故选：C．
根据等边三角形的判定逐个分析即可得．
本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=32，BD：CD=9：7，
∴CD=32×79+7=14，
∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=14，
即D到AB的距离为14．
故选：C．
过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，得到答案．
本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+DC+AD=10，
∴AC+CD+BD=AC+BC=10，
∵BC−AC=2，
∴BC=6，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm，
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，
∴t=2÷2=1(s)；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16−2t，
解集得：t=4(s)，
故选：B．
分两种情况：①当EB=PC时，△BPE≌△CQP，②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．
此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，关键是掌握三边对应相等的两个三角形全等．
11.【答案】17cm
【解析】解：当3cm是腰时，3+3<7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长=7+7+3=17cm．
故它的周长为17cm．
故答案为：17cm．
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12.【答案】74°
【解析】解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°−40°−72°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=12∠ACB=34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=180°−90°−72°=18°，
∴∠DCE=∠ECB−∠DCB=34°−18°=16°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，
∴∠CDF=180°−90°−16°=74°，
故答案为：74°．
由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CE平分∠ACB求出∠ECB的度数，结合CD⊥AB可求出∠DCE的度数，再结合DF⊥CE，即可求出∠CDF的度数．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等知识，熟练掌握这些定理和定义，理清角之间的关系是解决问题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD/​/AB，PE//AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．
此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
14.【答案】40°
【解析】解：由翻折可得∠B1=∠B=60°，
∴∠A=∠B1=60°，
∵∠AFD=∠GFB1，
∴△ADF∽△B1GF，
∴∠ADF=∠B1GF，
∵∠CGE=∠FGB1，
∴∠CGE=∠ADF=80°．
∴∠CEG=180°−80°−60°=40°，
故答案为：40°
由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度数，进而利用三角形内角和得出答案．
本题考查了翻折变换问题；得到∠CGE等于∠ADF的度数的关系是解决本题的关键．
15.【答案】6.5
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×3×AD=152，
解得AD=5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=AD+12BC=5+12×3=6.5．
故答案为：6.5．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，点M即为所求；
；
(2)如图2，点P即为所求．
．
【解析】(1)连接AB，作线段AB的垂直平分线与河岸交于点M，则点M即为所求；
(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，
本题考查的是作图−应用与设计作图，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B+∠D=90°，
∵∠D=40°
∴∠B=90°−∠D=90°−40°=50°；
(2)∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90°．
【解析】(1)由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B；
(2)由(1)求出∠B，再由∠ACD=∠A+∠B可求得结论．
本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
18.【答案】(1)解：∵AD为△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°．
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
BF=ACFD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)．
∴BD=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故∠ABC=45°；
(2)证明：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴∠FBD=∠CAD，
即∠EBC=∠CAD．
∵在Rt△ADC中，∠CAD+∠C=90°，
∴在△BCE中，∠EBC+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．
【解析】(1)先通过“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC，得BD=AD，即可作答．
(2)因为Rt△BDF≌Rt△ADC，易得∠EBC=∠CAD，结合∠CAD+∠C=90°，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角互余的三角形是直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19.【答案】证明：∵DE/​/AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
又∠ADE=∠DAB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE=BE．
【解析】由AD平分∠CAB，DE/​/AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论．
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可；
(2)根据轴对称的特点作图即可；
(3)连接C1C2交直线m于点P，问题得解．
本题考查了几何图形的平移，轴对称，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=12×60°=30°，
∵DF/​/AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°−60°=30°，
∴AD=12AB=12×9=4.5，
∴DF=4.5．
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
22.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAE=∠CAB，
在△DAE和△CAB中，
AD=AC∠DAE=∠CABAE=AB，
∴△DAE≌△CAB(SAS)．
∴∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠CAB+∠ABE，∠ABC=∠DBC+∠ABE，
∴∠DBC=∠CAB．
【解析】先证△DAE≌△CAB(SAS)，根据性质可得∠AED=∠ABC，再根据三角形的外角性质即可求证．
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
23.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
∠BOA=∠BDC=90°∠CBD=∠BAOAB=BC，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴CD=BO=2，
∴B点坐标(0,2)；
故答案为：(0,2)；
(2)PB的长度不发生改变，
理由：如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，∠AOB=∠BGE=90°∠BAO=∠EBGAB=BE
∴△BAO≌△EBG(AAS)，
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，∠EPG=∠FPB∠EGP=∠FBP=90°EG=BF，
∴△EGP≌△FBP(AAS)，
∴PB=PG，
∴PB=12BG=12AO=3
即：PB的长度不发生改变，是定值为3．
(1)作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
(2)作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=12AO，即可解题．
此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．