专题一　规范答题1　函数与导数 2024年高考数学大二轮复习课件（含讲义）

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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；　　　　　　　　 [切入点：求导，讨论a的正负]
[方法二　关键点：利用不等式ex≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数]
(1)求f′(x)→分a>0,a≤0判断f′(x) 的符号→f(x)的单调性  
(1)解　因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1，(1分)
答题模板　规范答题不丢分
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)是减函数；(2分)当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；当x>－ln a时，f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增.
①②处判断f′(x)的符号
综上，当a≤0时，f(x)是减函数；(4分)当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．(5分)
(2)证明　方法一　由(1)得，当a>0时，
③处利用勾股定理证明AO⊥OD
f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a，
③处利用单调性求f(x)min
⑤处求g(a)min并判断其符号
⑥处构造函数证明ex≥x＋1
令h(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函数，所以h′(x)＝ex－1是增函数，又h′(0)＝e0－1＝0，所以当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
⑦处通过不等式ex≥x＋1放缩函数f(x)
故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分)
因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x，
当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立，
⑨处求g(a)min并判断其符号
则g(a)>0恒成立，