福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若=，则sin=（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：.
参考时间轴：
A. 战国B. 汉C. 唐D. 宋
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.
9. 已知实数，其中，则下列关系中恒成立是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数上单调递减
11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）

A. 水斗作周期运动的初相为
B. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D. 当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A. 若为函数的“完美区间”，则
B. 函数，存在“倍美好区间”
C. 函数，不存在“完美区间”
D. 函数，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若幂函数在上单调递增，则______.
14. 若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.
15. 已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.
16. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：.
18. （1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
19. 已知函数 的图象关于点 对称.
（1）求单调递增区间;
（2）求不等式 的解集.
20. 对于函数．
（1）判断函数的单调性，并给出证明；
（2）是否存在实数a使函数为奇函数？
21. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求解
【详解】.
故选：C
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集概念，求解即可得出答案.
【详解】根据交集的概念可得，.
故选：B.
3. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性得到，再利用对数函数的单调性得出，即可求出结果.
【详解】因为，，易知函数在R上是增函数，
又，所以，
又易知在上是减函数，所以，
综上，.
故选：B.
4. 若=，则sin=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出，然后结合诱导公式求解出结果.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.
【详解】因为在上为增函数，且，
，因为，所以，
所以的零点所在区间为.
故选：C.
6. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：.
参考时间轴：
A. 战国B. 汉C. 唐D. 宋
【答案】B
【解析】
【分析】根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代.
【详解】由题可知，当时，，故，解得，
所以，所以当时，解方程，
两边取以为底的对数得，解得，
所以，
所以可推断该文物属于汉朝.
故选：B
【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得，进而解方程.
7. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊范围即可排除求解.
【详解】由于的定义域为,
又，
所以为奇函数，故可排除AB,
由于当时，，故排除C，
故选：D
8. 已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，
得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.
9. 已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.
【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；
对于B，当时，不成立，B错误；
对于C，由于，故，C正确；
对于D，因为，则，
故，故，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可.
【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确；
，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
，所以的图象关于点对称，故C错误；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．
故选：BC．
11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）

A. 水斗作周期运动的初相为
B. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C. 在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D. 当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【答案】AD
【解析】
【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．
【详解】对于A，由，知，，所以；
当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；
对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；
对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求函数解析式的步骤：
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，.
(2)求，确定函数的周期，则
(3)求，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”．则下列说法正确的是（ ）
A. 若为函数的“完美区间”，则
B. 函数，存在“倍美好区间”
C. 函数，不存在“完美区间”
D. 函数，有无数个“2倍美好区间”
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】因为函数的对称轴为，故函数在单调递增。
所以值域，又为函数的“完美区间”，
所以，得或，因为，所以，故A对；
假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，
当时， 在区间上单调递增，
所以，解得，故B对；
因为在上单调递增，在上单调递减，
假设函数存在“完美区间”，
当时，在单调递减，要使值域为，
则，解得，即假设成立，故C错；
假设函数定义域内任意子区间，
因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“2倍美好区间”，故D对
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若幂函数在上单调递增，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数定义得或，结合幂函数单调递增即可得解.
【详解】由，得或.
又在上单调递增，所以.
故答案为：.
14. 若扇形的周长为，面积为，圆心角为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可.
【详解】设扇形的半径为，
因为扇形的周长为，扇形的面积为，
由得，或，又因为，所以.
故答案为：.
15. 已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.
【详解】因为为方程的两个实数根，，
所以，解得，或，
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故也不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得
，由方程有解，可知：
，即.
解得：，
则的最大值为.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解.
【详解】函数的定义域为R，
当时，，
当时，，当时，，
此时函数无零点；
当时，，
当时，若，则，于是，
若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增，
，，
即当且时，，函数无零点；
于是只有当且时，函数才有零点，
当，即时，，
当时，函数，当时，，
当时，函数取得最小值，而当时，，
显然当，即时，函数有两个零点，
要函数恰有4个零点，必有，
当时，函数的图象对称轴，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
显然，
而，
因此函数在、上各有一个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：.
【答案】7
【解析】
【分析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得.
【详解】
18. （1）已知，求的最小值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值.
【详解】（1） 因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
（2） 因为均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知函数 的图象关于点 对称.
（1）求的单调递增区间;
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解.
（2）由，得,解不等式组即可得解.
【小问1详解】
由题意知，的图象关于点对称，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函数的单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集为.
20. 对于函数．
（1）判断函数的单调性，并给出证明；
（2）是否存在实数a使函数为奇函数？
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）存
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义证明函数的单调性；
（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出.
【小问1详解】
在区间上的单调递增．
证明如下：对任意，且，
，
因为在单调递增，且，所以，即，
又，则，
即，所以，
所以在区间上单调递增．
小问2详解】
假设存在实数a，使函数为奇函数，
则对任意，
都有
，解得，
故存在实数，使函数是奇函数．
21. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
【答案】（1）冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；
（2）最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米.
【解析】
【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得；
（2）延长与直角走廊的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解.
【小问1详解】
过A，D作水平线，作如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
【小问2详解】
延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，
则，．
设，
因为，所以，所以，
则 ，
再令，则，
易知，上单调递增，
所以单调递减，
故当，即，时，取得最小值.
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．
22. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
（1）试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论）
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】22. 不是上的有界函数，是上的有界函数
23.
24. 当时，存在上界M，;
当或时，存在上界M，；
当时，存在上界M，;
当时，不存在上界M．
【解析】
【分析】（1）根据有界函数的定义判断即可；
（2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；
（3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界 ，并求解出对应的上界范围.
【详解】解：（1）的值域为
不是上的有界函数，
时， ，此时
时， ，此时
是上的有界函数
（2），易知在区间上单调递增，
∴. ∴，
所以上界构成的集合为．
（3），
当时，，，此时的取值范围是，
当时，在上是单调递减函数，
其值域为，故，
此时的取值范围是，
当时，，若在上是有界函数，
则区间为定义域的子集，所以不包含0，
所以或，解得：或，
时，在上是单调递增函数，
此时的值域为，
①，即或时，，
此时的取值范围是，
②，即时，，
此时的取值范围是，
综上：当时，存在上界，；
当或时，存在上界，；
当时，存在上界，，
当时，此时不存在上界．