1.1 集合的概念10种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、三方面理解集合的含义
注：不是所有的对象都能构成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合．
2、判断一组对象能否构成集合的方法
(1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合．
(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
图示如下：
一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的方法为：
3、元素与集合的关系解读
4、N与N＋(或N*)的区别
N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.
5、判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)特征法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
6、根据集合中元素的特性求值的3个步骤
7、集合中元素的特性及应用
集合中元素具有确定性、互异性、无序性．确定性用于判断一组对象能否构成集合；互异性主要是提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中的元素满足互异性；无序性主要是方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．
8、利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
8、列举法表示集合的种类
(1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}．
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}．
(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}．
9、列举法表示集合的步骤及注意点
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
注意点：
二元方程组的解集，函数的图像形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
10、描述法表示集合的几点注意
(1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．
(2)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．不能出现未被说明的字母．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(4)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
(5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
11、描述法表示集合的2个步骤
12、集合的三种表示方法特点
13、选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
14、集合表示法的综合应用
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
考点一 判断对象是否能构成集合
考点二 判断元素与集合的关系
考点三 已知元素与集合的关系求参数
考点四 集合元素互异性的应用
考点五 判断集合中元素的个数
考点六 根据集合元素个数求参数
考点七 由集合相等求参数
考点八 用列举法表示集合
考点九 用描述法表示集合
考点十 集合表示法的综合应用
考点一 判断对象是否能构成集合
1．（2023秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于2的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式的的取值．
2．（2023秋·河南新乡·高一校考阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明B．地球上的小河流
C．方程的实数解D．周长为的三角形
3．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近的所有实数
4．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023秋·高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点
B．德育中学的全体高一学生
C．某高一年级全体视力差的学生
D．与大小相仿的所有三角形
考点二 判断元素与集合的关系
6．（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（ ）
①；② ；③；④.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
7．（2023秋·高一课时练习）下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．【多选】（2023秋·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是（ ）
A．a∈MB．a∉M
C．a＝MD．a≠M
10．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．【多选】（2023秋·高一课时练习）设为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不正确
12．（2023秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．
考点三 已知元素与集合的关系求参数
13．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
14．（2023·高一课时练习）若，则a的值为______.
15．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______．
16．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.
17．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·全国·高一假期作业）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
19．（2023秋·高一课时练习）已知集合S满足:若，则.请解答下列问题:
(1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若，则.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
考点四 集合元素互异性的应用
20．（2023·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
21．（2023秋·上海·高一专题练习）若，则a的值是___．
22．（2023·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________.
23．（2023秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知,则实数为（ ）
A．B．C．或D．或或
24．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________.
25．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市南岗中学校校考阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合．
26．（2023秋·河南南阳·高一校联考期中）已知集合，，若，，则______.
考点五 判断集合中元素的个数
27．（2023·高一课时练习）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合，则中的元素个数为______．
28．（2023·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______.
29．（2023秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有________个元素．
30．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
32．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是______．
33．（2023秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点六 根据集合元素个数求参数
34．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是_____．
35．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
36．（2023秋·高一课时练习）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为_____.
37．（2023·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围．
38．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
考点七 由集合相等求参数
39．（2023秋·高一课时练习）已知，则实数m等于（ ）
A．2B．－1
C．2或－1D．4
40．（2023秋·高一单元测试）已知集合， ，若，则a等于（ ）
A．－1或3B．0或1
C．3D．－1
41．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
43．（2023秋·重庆万州·高一校考阶段练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
考点八 用列举法表示集合
44．（2023·高一课时练习）集合用描述法可表示为（ ）
A．B．C．D．
45．（2023·高一课时练习）集合表示的是__________.
46．（2023·上海·高一专题练习）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义．
47．（2023·高一课时练习）下列集合是否有区别？
（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）或
48．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
考点九 用描述法表示集合
49．（2023秋·高一课时练习）直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
50．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（ ）
A．B．C．D．
51．（2023·高一课时练习）设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______.
52．（2023秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
53．（2023秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，试用列举法表示集合__________．
54．（2023·高一课时练习）用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
55．（2023·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
（1） 满足的x值组成的集合；
（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3） 不大于15的正奇数组成的集合；
（4） 不大于10的正偶数组成的集合．
56．（2023·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
考点十 集合表示法的综合应用
57．（2023秋·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．B．
C．D．
58．（2023·全国·高一假期作业）用另一种方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，写出集合P;
(4)集合，，写出集合B.
59．（2023·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
60．（2023秋·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）方程的实数根组成的集合；
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；
（5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合.