资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷（二）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷（一）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 拓展1-2 常用逻辑用语中的参数问题7种常见考法归类考法-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 拓展1-3 集合5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 拓展1-4 常用逻辑用语5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
拓展1-1 集合的含参问题及新定义问题9种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）
展开
这是一份拓展1-1 集合的含参问题及新定义问题9种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含拓展1-1集合的含参问题及新定义问题9种常见考法归类原卷版docx、拓展1-1集合的含参问题及新定义问题9种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1、解决与集合有关的参数问题的对策
集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点，也是一个易错点。其学习要点在于正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况。高考关于集合中含参数问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式等相结合，考查的题型主要以小题形式出现，有时渗透于解答题之中。
（1）三个注意点：
①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（2）常见类型如下：
类型一：元素与集合关系中的含参数问题
已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。
类型二：集合中元素个数的含参数问题
解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。
类型三：集合基本关系中的含参数问题
①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.
类型四：集合基本运算中的含参数问题
集合基本运算中的含参数问题，一般通过观察得到两个集合间元素之间的关系，再列方程或不等式求解。
2、解决与集合有关的新定义问题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
考点一 根据元素与集合的关系求参数
考点二 根据集合中元素的个数求参数
考点三 根据集合的包含关系求参数
考点四 根据两个集合相等求参数
考点五 根据集合交集的结果求参数
考点六 根据集合并集的结果求参数
考点七 根据集合补集的结果求参数
考点八 根据交并补混合运算求参数
考点九 集合的新定义问题
考点一 根据元素与集合的关系求参数
1．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【答案】或
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】因为2∈A，所以或，即或.
故答案为：或
2．（2023·高一课时练习）若，则a的值为______.
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.
【答案】1
【分析】依题意可得，解得，再检验即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．
故答案为：
4．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数__________.
【答案】1
【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.
【详解】由，可得，
故答案为：1
5．【多选】（2023秋·高一课时练习）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ）
A．
B．
C．
D．或或
【答案】AB
【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可.
【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确；
对于B，当时，，满足题意，B正确；
对于C，当时，，不合题意，C错误；
对于D，由ABC知：或，D错误.
故选：AB.
6．（2023秋·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，所以，解得，
故选:C.
7．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________.
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
考点二 根据集合中元素的个数求参数
8．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素，
所以，解得.
故选：C
9．（2023·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.
【答案】0或
【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可
【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合，
即方程有唯一解
（1）当时，，方程有唯一解；
（2）当时，，
即，解得.
综上0或.
10．（2023·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解.
【详解】由题意得且，解得且.
故实数k的取值范围为且．
11．（2023秋·江西吉安·高一永新中学校考期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．
【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）
【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.
【详解】依题意可得，解得，
则．
所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，
所以，解得．
故答案为：7（答案不唯一）.
12．（2023秋·北京·高三北师大二附中校考期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由题设得求参数范围，即可得结果.
【详解】由题设且，可得，
所以，符号条件的一个a值为2.
故答案为：2（答案不唯一）
13．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
14．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）讨论，根据可得结果；
（2）讨论，根据可得结果；
（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.
【详解】（1）若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述：.
（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
15．（2023秋·广西贺州·高一校考阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)且
【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；
（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.
【详解】（1）若集合是空集，则，
解得.故实数的取值范围为.
（2）若集合是单元素集，则
①当时，即时，，满足题意；
②当，即时，，解得，
此时.
综上所述，或.
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.
当中有0个元素时，由(1)知；
当中有2个元素时，解得且.
综上所述，实数的取值范围为且.
考点三 根据集合的包含关系求参数
16．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
17．（2023·山东聊城·统考三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得可得答案.
【详解】若对于，都有，则，
由已知可得.
故选：B.
18．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的子集关系求解.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：B
19．【多选】（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值.
【详解】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
20．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据包含关系得到不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是.
故答案为：
21．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
22．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
23．（2023春·江西吉安·高二校联考期中）已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可.
【详解】当时，即，解得：，
此时，所以当时，，
当，即，解得：，
此时或，
因为，所以或，解得：或，
又，所以，
综上，使成立的实数m的取值范围是或，
故选：D.
24．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期中）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出；
（2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可.
【详解】（1）当时，集合，，
∴；
（2）∵，（），
，∴，
∴，
又，解得.
∴实数a的取值范围是：.
25．（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
26．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A．或1B．0或1C．1D．
【答案】B
【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【详解】解：由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
27．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少?
(2)若，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B⫋A，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
考点四 根据两个集合相等求参数
28．（2023·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
29．（2023·高一课时练习）已知，.若，则______.
【答案】
【分析】根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】因为
所以解之得：
故答案为：
30．（2023·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值．
【答案】
【分析】由集合相等可出关于实数满足的等式，进而可解得实数的值.
【详解】因为，分以下两种情况讨论：
①，解得，经检验，不满足集合元素的互异性，而适合；
②，无解.
综上所述，.
31．（2023秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为____．
【答案】0
【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.
【详解】由题意，可得，
根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，
此时集合
所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
32．（2023·高一课时练习）设a，，若集合，则_______.
【答案】2
【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.
【详解】由易知，
由两个集合相等定义可知
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解
综上可知，，，故.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题.
考点五 根据集合交集的结果求参数
33．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________．
【答案】3或
【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
又，若，若，则；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
当时，，，符合题意，
故或，
故答案为：或
34．（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．0或1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.
【详解】由于，则.
若，则，此时符合题意.
若，则或2,
时，，此时不合题意；
时，符合题意，
因此或2，
故选:C.
35．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据交集结果求出的范围，一一对照选项即可.
【详解】由题意得若，则，比较选项知C选项满足题意，
故选：C.
36．（2023·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合．
(1)求；
(2)若，求实数a的值．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】(1)根据补集的定义求解即可；
(2)根据交集的定义求解即可.
【详解】（1）解：因为R为全集，集合，
所以或；
（2）解：因为，集合，，
所以，解得.
37．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据得可得答案.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B．
38．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围.
【详解】因为，
所以，即，
因为，所以，又，
所以，
故实数的取值范围是.
故选：A.
39．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围.
【详解】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
40．（2023秋·四川成都·高一双流中学校考阶段练习）已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围.
（2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围.
(1)
已知，，要满足，
即中的任意一个元素都是中的元素，则，
即实数a的取值范围是：
(2)
当，即与没有公共元素，
因为和都不可能为空集，
所以要使得两个集合没有公共元素，则，
即实数a的取值范围：．
41．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）设集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；
(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）
当时，，
；
（2）由(1)知，，
，解得：，
所以的取值范围是.
42．（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围．
【答案】或
【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解.
【详解】因为，所以当时，；当时，，
因为，所以，
因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
考点六 根据集合并集的结果求参数
43．（2023秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知，若，求实数的值.
【答案】.
【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得
【详解】因为中，且两根之积为，又，
故，所以，则，
由上知：，所以，代入得，显然满足.
所以.
44．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.
【详解】由题意可得：或
若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；
若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；
故.
故选：B
45．（2023·高一单元测试）已知集合，若，则实数的取值范围___________．
【答案】
【分析】根据题意，由可得，分类讨论即可得到结果.
【详解】因为，所以，
当时，即，解得，且满足；
当时，，解得
综上可得的取值范围为
故答案为:
46．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集定义，结合数轴即可得到实数的取值范围.
【详解】因为,所以，解得．
故选:D
47．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知集合，，且中的所有元素的和为，则______.
【答案】
【分析】根据并集的定义，分两种情况讨论，列式求解即可.
【详解】当或或时，，所有元素的和为15，不合题意；
当且且时，，由题意得，所以.
故答案为：.
48．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
【答案】(1)
(2)254
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.
【详解】（1）∵，∴，
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2）∵，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为.
49．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是____________________．
（2）若，实数的取值范围是____________________．
（3）若，实数的取值范围是____________________．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是；
②因为，即，所以，所以若，则，
则实数a的取值范围是；
③若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：①；②；③.
考点七 根据集合补集的结果求参数
50．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，可得，解得，
又由且，
可得，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为.
故答案为：.
51．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）设全集，集合，，则的值为（ ）
A．B．和C．D．
【答案】C
【分析】利用集合补集的定义求解即可.
【详解】因为，集合，，
由补集的定义可知的可能取值为3或4，
当即时，不满足题意；
当即时，，此时满足题意，
综上，
故选：C
52．（2023·高一课时练习）设，，全集，， 或，则______.
【答案】1
【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果.
【详解】因为，，所以或.
又或，所以，，所以.
故答案为：1.
考点八 根据交并补混合运算求参数
53．（2023·浙江·统考模拟预测）已知全集，集合.若，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
【答案】A
【分析】首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解；
【详解】解：因为，又，
所以，即且，又，所以；
故选：A
54．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
55．【多选】（2023秋·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值可能是（ ）
A．2B．3C．1D．
【答案】AB
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以有，因此选项AB符合条件，
故选：AB
56．（2023秋·陕西渭南·高一校考期中）已知集合，或.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集的定义即可得解；
（2）由，可得，再分和两种情况讨论，即可得解.
【详解】（1）解：∵或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴当，满足，此时；
当，则，所以，
综上，实数a的取值范围是.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上）
（1），______；
（2），______；
（3），______；
（4），______．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围．
【详解】因为为非空集合，所以，
又，
由，可得，所以实数的取值范围为．
由，可得，所以，所以实数的取值范围为．
由可得，故实数的取值范围为．
因为或，，
所以，实数的取值范围为．
故答案为：；；；.
58．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】先求出，根据，可求得结果.
【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.
故选：B.
59．（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.
【详解】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：
考点九 集合的新定义问题
60．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（ ）
A．AB．BC．D．
【答案】D
【分析】根据的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
61．（2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）定义且，若，则______
【答案】
【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.
【详解】根据集合且的定义可知，
当时，可得，；
所以
故答案为：
62．（2023·全国·高一专题练习）定义集合且，已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
63．（2023秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（ ）
A．3B．4C．12D．16
【答案】C
【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.
【详解】因为定义，且，，
所以，
中元素的个数是12，
故选：C.
64．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】计算，得到元素个数.
【详解】，则，则中元素的个数为
故选：C
65．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）定义运算：.若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用集合的新定义和交集运算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：C.
66．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论.
【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，
故选：D.
67．（2023秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）若，则，就称是伙伴关系集合．集合___________（填“是”或“不是”）伙伴关系集合；集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________．
【答案】 不是
【分析】根据集合的新定义，即可直接判断集合不是伙伴关系集合；在元素“”中，具有伙伴关系的元素有“”，“”，“和”，“和”，利用集合的子集个数公式求解集合的所有非空子集的个数．
【详解】对于集合，由，但，所以集合不是伙伴关系集合；
因为，；，；，；，；
这样所求集合即由“”，“”，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，
所以满足条件的集合的个数为．
故答案为：不是；15．
68．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9B．4C．27D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
69．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由题中定义可知，而，
所以，因此真子集个数为，
故选：C
1、解决与集合有关的参数问题的对策
集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点，也是一个易错点。其学习要点在于正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况。高考关于集合中含参数问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式等相结合，考查的题型主要以小题形式出现，有时渗透于解答题之中。
（1）三个注意点：
①如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
②如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
③在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（2）常见类型如下：
类型一：元素与集合关系中的含参数问题
已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围要注意两点：一是合理确定分类标准，做到不重不漏；二是要将所求得的参数值代入集合进行检验。
类型二：集合中元素个数的含参数问题
解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。
类型三：集合基本关系中的含参数问题
①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.
类型四：集合基本运算中的含参数问题
集合基本运算中的含参数问题，一般通过观察得到两个集合间元素之间的关系，再列方程或不等式求解。
2、解决与集合有关的新定义问题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
考点一 根据元素与集合的关系求参数
考点二 根据集合中元素的个数求参数
考点三 根据集合的包含关系求参数
考点四 根据两个集合相等求参数
考点五 根据集合交集的结果求参数
考点六 根据集合并集的结果求参数
考点七 根据集合补集的结果求参数
考点八 根据交并补混合运算求参数
考点九 集合的新定义问题
考点一 根据元素与集合的关系求参数
1．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【答案】或
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】因为2∈A，所以或，即或.
故答案为：或
2．（2023·高一课时练习）若，则a的值为______.
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数________.
【答案】1
【分析】依题意可得，解得，再检验即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．
故答案为：
4．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数__________.
【答案】1
【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.
【详解】由，可得，
故答案为：1
5．【多选】（2023秋·高一课时练习）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ）
A．
B．
C．
D．或或
【答案】AB
【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可.
【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确；
对于B，当时，，满足题意，B正确；
对于C，当时，，不合题意，C错误；
对于D，由ABC知：或，D错误.
故选：AB.
6．（2023秋·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，所以，解得，
故选:C.
7．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为________.
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
考点二 根据集合中元素的个数求参数
8．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素，
所以，解得.
故选：C
9．（2023·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.
【答案】0或
【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可
【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合，
即方程有唯一解
（1）当时，，方程有唯一解；
（2）当时，，
即，解得.
综上0或.
10．（2023·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解.
【详解】由题意得且，解得且.
故实数k的取值范围为且．
11．（2023秋·江西吉安·高一永新中学校考期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．
【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）
【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.
【详解】依题意可得，解得，
则．
所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，
所以，解得．
故答案为：7（答案不唯一）.
12．（2023秋·北京·高三北师大二附中校考期中）已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由题设得求参数范围，即可得结果.
【详解】由题设且，可得，
所以，符号条件的一个a值为2.
故答案为：2（答案不唯一）
13．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
14．（2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）讨论，根据可得结果；
（2）讨论，根据可得结果；
（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.
【详解】（1）若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述：.
（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
15．（2023秋·广西贺州·高一校考阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)且
【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；
（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.
【详解】（1）若集合是空集，则，
解得.故实数的取值范围为.
（2）若集合是单元素集，则
①当时，即时，，满足题意；
②当，即时，，解得，
此时.
综上所述，或.
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.
当中有0个元素时，由(1)知；
当中有2个元素时，解得且.
综上所述，实数的取值范围为且.
考点三 根据集合的包含关系求参数
16．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
17．（2023·山东聊城·统考三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得可得答案.
【详解】若对于，都有，则，
由已知可得.
故选：B.
18．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的子集关系求解.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：B
19．【多选】（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值.
【详解】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
20．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据包含关系得到不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是.
故答案为：
21．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
22．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
23．（2023春·江西吉安·高二校联考期中）已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可.
【详解】当时，即，解得：，
此时，所以当时，，
当，即，解得：，
此时或，
因为，所以或，解得：或，
又，所以，
综上，使成立的实数m的取值范围是或，
故选：D.
24．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期中）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出；
（2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可.
【详解】（1）当时，集合，，
∴；
（2）∵，（），
，∴，
∴，
又，解得.
∴实数a的取值范围是：.
25．（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
26．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A．或1B．0或1C．1D．
【答案】B
【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【详解】解：由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
27．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少?
(2)若，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B⫋A，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
考点四 根据两个集合相等求参数
28．（2023·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
29．（2023·高一课时练习）已知，.若，则______.
【答案】
【分析】根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】因为
所以解之得：
故答案为：
30．（2023·高一课前预习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，求实数的值．
【答案】
【分析】由集合相等可出关于实数满足的等式，进而可解得实数的值.
【详解】因为，分以下两种情况讨论：
①，解得，经检验，不满足集合元素的互异性，而适合；
②，无解.
综上所述，.
31．（2023秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为____．
【答案】0
【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.
【详解】由题意，可得，
根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，
此时集合
所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
32．（2023·高一课时练习）设a，，若集合，则_______.
【答案】2
【解析】由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.
【详解】由易知，
由两个集合相等定义可知
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解
综上可知，，，故.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题.
考点五 根据集合交集的结果求参数
33．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________．
【答案】3或
【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
又，若，若，则；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
当时，，，符合题意，
故或，
故答案为：或
34．（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．0或1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.
【详解】由于，则.
若，则，此时符合题意.
若，则或2,
时，，此时不合题意；
时，符合题意，
因此或2，
故选:C.
35．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据交集结果求出的范围，一一对照选项即可.
【详解】由题意得若，则，比较选项知C选项满足题意，
故选：C.
36．（2023·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合．
(1)求；
(2)若，求实数a的值．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】(1)根据补集的定义求解即可；
(2)根据交集的定义求解即可.
【详解】（1）解：因为R为全集，集合，
所以或；
（2）解：因为，集合，，
所以，解得.
37．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据得可得答案.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B．
38．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围.
【详解】因为，
所以，即，
因为，所以，又，
所以，
故实数的取值范围是.
故选：A.
39．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围.
【详解】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
40．（2023秋·四川成都·高一双流中学校考阶段练习）已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围.
（2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围.
(1)
已知，，要满足，
即中的任意一个元素都是中的元素，则，
即实数a的取值范围是：
(2)
当，即与没有公共元素，
因为和都不可能为空集，
所以要使得两个集合没有公共元素，则，
即实数a的取值范围：．
41．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）设集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；
(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）
当时，，
；
（2）由(1)知，，
，解得：，
所以的取值范围是.
42．（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围．
【答案】或
【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解.
【详解】因为，所以当时，；当时，，
因为，所以，
因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
考点六 根据集合并集的结果求参数
43．（2023秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知，若，求实数的值.
【答案】.
【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得
【详解】因为中，且两根之积为，又，
故，所以，则，
由上知：，所以，代入得，显然满足.
所以.
44．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.
【详解】由题意可得：或
若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；
若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；
故.
故选：B
45．（2023·高一单元测试）已知集合，若，则实数的取值范围___________．
【答案】
【分析】根据题意，由可得，分类讨论即可得到结果.
【详解】因为，所以，
当时，即，解得，且满足；
当时，，解得
综上可得的取值范围为
故答案为:
46．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集定义，结合数轴即可得到实数的取值范围.
【详解】因为,所以，解得．
故选:D
47．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知集合，，且中的所有元素的和为，则______.
【答案】
【分析】根据并集的定义，分两种情况讨论，列式求解即可.
【详解】当或或时，，所有元素的和为15，不合题意；
当且且时，，由题意得，所以.
故答案为：.
48．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
【答案】(1)
(2)254
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.
【详解】（1）∵，∴，
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2）∵，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为.
49．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是____________________．
（2）若，实数的取值范围是____________________．
（3）若，实数的取值范围是____________________．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是；
②因为，即，所以，所以若，则，
则实数a的取值范围是；
③若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：①；②；③.
考点七 根据集合补集的结果求参数
50．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，可得，解得，
又由且，
可得，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为.
故答案为：.
51．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）设全集，集合，，则的值为（ ）
A．B．和C．D．
【答案】C
【分析】利用集合补集的定义求解即可.
【详解】因为，集合，，
由补集的定义可知的可能取值为3或4，
当即时，不满足题意；
当即时，，此时满足题意，
综上，
故选：C
52．（2023·高一课时练习）设，，全集，， 或，则______.
【答案】1
【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果.
【详解】因为，，所以或.
又或，所以，，所以.
故答案为：1.
考点八 根据交并补混合运算求参数
53．（2023·浙江·统考模拟预测）已知全集，集合.若，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
【答案】A
【分析】首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解；
【详解】解：因为，又，
所以，即且，又，所以；
故选：A
54．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
55．【多选】（2023秋·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值可能是（ ）
A．2B．3C．1D．
【答案】AB
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以有，因此选项AB符合条件，
故选：AB
56．（2023秋·陕西渭南·高一校考期中）已知集合，或.
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集的定义即可得解；
（2）由，可得，再分和两种情况讨论，即可得解.
【详解】（1）解：∵或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴当，满足，此时；
当，则，所以，
综上，实数a的取值范围是.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上）
（1），______；
（2），______；
（3），______；
（4），______．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围．
【详解】因为为非空集合，所以，
又，
由，可得，所以实数的取值范围为．
由，可得，所以，所以实数的取值范围为．
由可得，故实数的取值范围为．
因为或，，
所以，实数的取值范围为．
故答案为：；；；.
58．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】先求出，根据，可求得结果.
【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.
故选：B.
59．（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.
【详解】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：
考点九 集合的新定义问题
60．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（ ）
A．AB．BC．D．
【答案】D
【分析】根据的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
61．（2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）定义且，若，则______
【答案】
【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.
【详解】根据集合且的定义可知，
当时，可得，；
所以
故答案为：
62．（2023·全国·高一专题练习）定义集合且，已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
63．（2023秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（ ）
A．3B．4C．12D．16
【答案】C
【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.
【详解】因为定义，且，，
所以，
中元素的个数是12，
故选：C.
64．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】计算，得到元素个数.
【详解】，则，则中元素的个数为
故选：C
65．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）定义运算：.若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用集合的新定义和交集运算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：C.
66．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论.
【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，
故选：D.
67．（2023秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）若，则，就称是伙伴关系集合．集合___________（填“是”或“不是”）伙伴关系集合；集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________．
【答案】 不是
【分析】根据集合的新定义，即可直接判断集合不是伙伴关系集合；在元素“”中，具有伙伴关系的元素有“”，“”，“和”，“和”，利用集合的子集个数公式求解集合的所有非空子集的个数．
【详解】对于集合，由，但，所以集合不是伙伴关系集合；
因为，；，；，；，；
这样所求集合即由“”，“”，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，
所以满足条件的集合的个数为．
故答案为：不是；15．
68．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9B．4C．27D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
69．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由题中定义可知，而，
所以，因此真子集个数为，
故选：C
相关试卷
4.1 指数6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）： 这是一份4.1 指数6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含41指数6种常见考法归类原卷版docx、41指数6种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
拓展4-2 函数不等式恒成立与能成立问题6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）： 这是一份拓展4-2 函数不等式恒成立与能成立问题6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含拓展4-2函数不等式恒成立与能成立问题6种常见考法归类原卷版docx、拓展4-2函数不等式恒成立与能成立问题6种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
拓展1-4 常用逻辑用语5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）： 这是一份拓展1-4 常用逻辑用语5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含拓展1-4常用逻辑用语5种常见考法归类原卷版docx、拓展1-4常用逻辑用语5种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
