拓展2-1 基本不等式求最值10种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

这是一份拓展2-1 基本不等式求最值10种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含拓展2-1基本不等式求最值10种常见考法归类原卷版docx、拓展2-1基本不等式求最值10种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

1. 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
2. 几个重要不等式
3. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
4. 三元均值不等式
(1)eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc).
(2)eq \f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
二维形式柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
重要不等式
使用前提
等号成立条件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
ab>0
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2
ab<0
a＝－b
ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)
a，b∈R
a＝b
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)
a，b∈R
a＝b
考点一 直接法
考点二 配凑法
（一）凑项
（二）凑系数
（三）分离
考点三 常数代换法
考点四 消元法
考点五 换元法
考点六 不等式法
考点七 利用两次基本不等式求最值
考点八 基本不等式和对勾函数
考点九 与基本不等式有关的参数问题
考点十 基本不等式的实际应用
考点一 直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
1、已知，若，则的最大值为 ．
2、已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
3、若，则的最大值为__________
4、已知，则的最大值为 .
5、【多选】（2023春·安徽滁州·高一统考期末）已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为4
C．的最小值为D．的最大值为
6、【多选】（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
考点二 配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
（一）凑项
7、若，则的最小值为__________．
8、已知，则的最小值为___________．
9、已知，求函数的最大值
（二）凑系数
10、已知，则取得最大值时x的值为（ ）
A．B．C．D．
（三）分离
11、函数的最小值为 ．
12、已知，则函数的最小值是 ．
13、函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
考点三 常数代换法
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
14、已知，且，则的最小值是_____．
15、若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
16、已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．4D．1
17、已知，均为正实数，且，则的最小值为
A．20B．24C．28D．32
18、已知，且，则的最小值为__________.
19、已知实数a>0，b>0，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
20、若，则的最小值是 ．
考点四 消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
21、已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
22、已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
23、若正数满足，则的最小值是________．
考点五 换元法
24、若正数a，b满足，则的最小值是__．
25、若，且，则的最小值为_________
考点六 不等式法
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
26、已知正数x，y满足，则的最小值为_________
27、已知，，若，则的最大值为_________
28、已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29、已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．
30、已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
考点七 利用两次基本不等式求最值
31、若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
32、已知a>0,b>0,则2ab+1a+1b的最小值是( )
A.2 B.4 C.42 D.6
考点八 基本不等式和对勾函数
33、设，则的取值范围是______．
34、函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________．
考点九 与基本不等式有关的参数问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
35、正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
36、已知不等式对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为______．
37、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点十 基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
38、某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
39、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．
40、某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值．