拓展2-2 第一、二章复习（25考点105题）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20705" 考点一 根据集合中元素的个数求参数 PAGEREF _Tc20705 \h 1
\l "_Tc26416" 考点二 集合相等 PAGEREF _Tc26416 \h 1
\l "_Tc7148" 考点三 集合间基本关系的判断 PAGEREF _Tc7148 \h 1
\l "_Tc16689" 考点四 子集、真子集的问题 PAGEREF _Tc16689 \h 2
\l "_Tc18344" 考点五 根据集合的包含关系求参数 PAGEREF _Tc18344 \h 3
\l "_Tc20317" 考点六 集合交集的运算 PAGEREF _Tc20317 \h 4
\l "_Tc11547" 考点七 集合并集的运算 PAGEREF _Tc11547 \h 4
\l "_Tc8892" 考点八 补集的运算 PAGEREF _Tc8892 \h 5
\l "_Tc3323" 考点九 交、并、补的综合运算 PAGEREF _Tc3323 \h 6
\l "_Tc17867" 考点十 由集合的运算结果求参数 PAGEREF _Tc17867 \h 6
\l "_Tc27112" 考点十一 韦恩图的应用 PAGEREF _Tc27112 \h 7
\l "_Tc12889" 考点十二 集合的新定义问题 PAGEREF _Tc12889 \h 8
\l "_Tc6493" 考点十三 充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc6493 \h 8
\l "_Tc18232" 考点十四 充分条件、必要条件的探求 PAGEREF _Tc18232 \h 9
\l "_Tc26913" 考点十五 利用充分、必要条件求参数的取值范围 PAGEREF _Tc26913 \h 9
\l "_Tc17512" 考点十六 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 PAGEREF _Tc17512 \h 10
\l "_Tc25919" 考点十七 含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc25919 \h 10
\l "_Tc18855" 考点十八 不等式的性质及应用 PAGEREF _Tc18855 \h 11
\l "_Tc27348" 考点十九 利用不等式的性质求取值范围 PAGEREF _Tc27348 \h 11
\l "_Tc29331" 考点二十 基本不等式的应用 PAGEREF _Tc29331 \h 11
\l "_Tc22064" (1)直接法 PAGEREF _Tc22064 \h 11
\l "_Tc17597" (2)配凑法 PAGEREF _Tc17597 \h 12
\l "_Tc20253" (3)常数代换法 PAGEREF _Tc20253 \h 13
\l "_Tc1879" (4)消元法 PAGEREF _Tc1879 \h 14
\l "_Tc3150" (5)换元法 PAGEREF _Tc3150 \h 14
\l "_Tc6507" (6)与基本不等式有关的参数问题 PAGEREF _Tc6507 \h 14
\l "_Tc28476" (7)基本不等式的实际应用 PAGEREF _Tc28476 \h 15
\l "_Tc17087" 考点二十一 解不含参数的一元二次不等式 PAGEREF _Tc17087 \h 16
\l "_Tc9216" 考点二十二 解含参数的一元二次不等式 PAGEREF _Tc9216 \h 17
\l "_Tc7373" 考点二十三 解其他不等式 PAGEREF _Tc7373 \h 17
\l "_Tc3306" 考点二十四 由一元二次不等式的解确定参数 PAGEREF _Tc3306 \h 18
\l "_Tc23667" 考点二十五 一元二次不等式的恒成立问题 PAGEREF _Tc23667 \h 18
考点一 根据集合中元素的个数求参数
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
1、已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
2、已知集合的子集只有两个，则实数的值为______．
考点二 集合相等
3、下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4、含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
5、已知集合， ，若，则a等于（ ）
A．－1或3B．0或1
C．3D．－1
考点三 集合间基本关系的判断
集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
6、已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
7、【多选】集合，，则下列关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8、【多选】若集合，则之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
考点四 子集、真子集的问题
求集合子集、真子集的步骤
与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个
(3)A的真子集的个数为2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数为2n－2个．
具体示例如下:
注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m9、已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______.
10、【多选】以下满足的集合A有（ ）
A．B．C．D．
11、集合的子集个数为______．
12、集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
13、已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
14、已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点五 根据集合的包含关系求参数
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
15、已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
16、已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
17、已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
18、已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
考点六 集合交集的运算
集合交集的运算
(1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；
(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；
(3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
19、设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
20、已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
21、若集合，或，则集合等于（ ）
A．或B．
C．D．
考点七 集合并集的运算
1、集合并集的运算
(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成；
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．
2、求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．
22、已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
23、集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点八 补集的运算
1、补集的运算
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)符号∁UA有三层意思：
①A是U的子集，即A⊆U；
②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；
③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}．
(4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．
2、求集合补集的策略
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．
24、已知集合，则______.
25、设全集或，则＝（ ）
A．或B．或
C．D．{0，1，2，3，4，5，6}
26、已知集合，，则（ ）
A．B．或
C．或D．或
考点九 交、并、补的综合运算
27、已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
28、设全集，，，则（ ）
A．{1，2}B．
C．D．
考点十 由集合的运算结果求参数
集合运算中参数问题的求解策略
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
29、已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ）
A．B．C．D．
30、已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是____________________．
（2）若，实数的取值范围是____________________．
（3）若，实数的取值范围是____________________．
31、设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
32、已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
33、已知集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
34、已知集合，，全集为.
(1)求集合；
(2)若，求实数m的取值范围.
考点十一 韦恩图的应用
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
35、设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
36、已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（ ）
A．B．C．D．
37、如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）
A．IB．IIC．IIID．IV
考点十二 集合的新定义问题
集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
38、集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31B．63C．32D．64
39、已知集合，.
(1)求；
(2)定义，求.
40、设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．
考点十三 充分条件与必要条件的判断
充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
①若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
②是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
③是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
④是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
41、已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
42、设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点十四 充分条件、必要条件的探求
把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
43、使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞0B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3D．x＜0
44、使不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
45、一元二次不等式的解集为R的一个充要条件是（ ）
A．a>0,Δ>0B．a>0,Δ<0C．a<0,Δ>0D．a<0,Δ<0
考点十五 利用充分、必要条件求参数的取值范围
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
46、设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
47、已知集合，在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
48、已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
49、已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点十六 根据全称（存在）量词命题的真假求参数
50、已知命题：，都有是真命题，则实数的取值范围是______．
51、若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
考点十七 含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定
全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
52、命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
53、命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
考点十八 不等式的性质及应用
利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
54、下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
55、若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
56、如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
考点十九 利用不等式的性质求取值范围
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
57、设，，求，，的范围.
58、已知，求的取值范围 ．
考点二十 基本不等式的应用
(1)直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
59、已知，若，则的最大值为 ．
60、若，则的最大值为__________
61、已知，则的最大值为 .
62、【多选】已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为4
C．的最小值为D．的最大值为
63、【多选】已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
(2)配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
64、若，则的最小值为__________．
65、已知，则的最小值为___________．
66、已知，求函数的最大值
67、已知，则取得最大值时x的值为（ ）
A．B．C．D．
68、函数的最小值为 ．
69、已知，则函数的最小值是 ．
70、函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
(3)常数代换法
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
71、已知，且，则的最小值是_____．
72、若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
73、已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．4D．1
74、若，则的最小值是 ．
(4)消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
75、已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
76、已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
(5)换元法
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
77、已知正数x，y满足，则的最小值为_________
78、已知，，若，则的最大值为_________
79、已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．
(6)与基本不等式有关的参数问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
80、正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
81、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是
（7）基本不等式的实际应用
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
82、某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
83、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．
84、已知，.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值.
85、已知正数x，y满足.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
86、已知实数，，，求
(1)的取值范围；
(2)的取值范围；
87、已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
(1)求的最小值；
(2)若4x + 1﹣mxy ≥ 0恒成立，求实数m的最大值．
88、设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
考点二十一 解不含参数的一元二次不等式
解一元二次不等式的方法和步骤
89、不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
90、解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
考点二十二 解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式的步骤

91、解不等式
92、解关于的不等式.
93、当a≤0时，解关于x的不等式．
考点二十三 解其他不等式
94、不等式的解集为______________．
95、不等式的解集为__________.
96、已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
97、已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
98、不等式的解集为__________．
考点二十四 由一元二次不等式的解确定参数
99、【多选】不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
100、【多选】已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的解集为或
考点二十五 一元二次不等式的恒成立问题
1、一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ≤0))；
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ≤0)).
注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解．
设f(x)的最大值为M，最小值为m.
(1)k(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
具体如下：
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
注：①。
②
3、给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
101、若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
102、若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）
103、已知函数.
(1)若且的最小值为，求不等式的解集；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
104、已知，当m∈[0，1]时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1
105、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
集合A
所有子集
子集个数
真子集个数
非空真子集个数
{a}
∅，{a}
2＝21
1
0
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4＝22
3
2
{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8＝23
7
6
A＝{a1，a2，…，an}
2n
2n－1
2n－2
命题
命题的否定