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拓展3-1 利用函数单调性与奇偶性解不等式的7种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）
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这是一份拓展3-1 利用函数单调性与奇偶性解不等式的7种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含拓展3-1利用函数单调性与奇偶性解不等式的7种常见考法归类原卷版docx、拓展3-1利用函数单调性与奇偶性解不等式的7种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1、单调性定义的等价形式
(1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数:
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，.
(2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数:
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x10；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，.
2、定义法判断函数奇偶性
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：
如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数；
如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数．
3、利用单调性、奇偶性解不等式原理
（1）解f(m)①利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；
②若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如f(m)（2）f(x)为奇函数，形如f(m)+f(n)<0的不等式的解法
第一步：将f(n)移到不等式的右边，得到f(m)>-f(n)；
第二步：根据f(x)为奇函数，得到f(m)>f(-n)；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解．
考点一 根据简单抽象函数的单调性解不等式
考点二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式
考点三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式
考点四 根据单调性定义构造函数解不等式
考点五 根据简单具体函数的单调性解不等式
考点六 根据复杂具体函数的单调性解不等式
考点七 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合
考点一 根据简单抽象函数的单调性解不等式
1．（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解.
【详解】因为为上的增函数，
所以由，得：，
即，即，解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：C.
2．（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.
【详解】由得，
因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
考点二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式
4．（2023上·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）已知奇函数在上单调递增，若，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用的奇偶性可得，，再结合的单调性得到，从而得解．
【详解】因为函数为上的奇函数， ，则，，
所以可化，
又函数在上单调递增，所以，解得.
故选：B．
5．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据单调性的定义得到在上单调递增，然后根据为奇函数，得到在上单调递增，，然后分和两种情况解不等式即可.
【详解】因为对任意都有，所以在上单调递增，
又为奇函数，，则在上单调递增，，
可变形为或，解得或.
故答案为：.
6．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，依题意可得在上单调递减，则在上单调递增，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，
又，，当时，，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
不等式即，等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
7．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知定义在R上的函数满足：，都有，且是奇函数，则满足的的取值范围为 ．
【答案】{或}
【分析】利用函数的单调性及奇函数的性质计算即可.
【详解】不妨设，则由，
即在区间上是单调递减函数，
又是奇函数，所以关于中心对称，
故在R上是单调递减函数，
，解之得或.
故答案为：{或}
8．（2023上·河南郑州·高一校考期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的解：，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
9．（2023上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】定义在上的奇函数在上单调递减，且，
则在上单调递减，且，，
当时，，当时，，
由可得
，或，或，
解得，或，
则满足的的取值范围是，或.
故选：A.
10．（2023上·云南昆明·高一校联考期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】因为奇函数在上为增函数，且，
所以当时，，当时，，
当时，，
又因为为奇函数，
所以，当时，，当时，，
当时，，
由得，
即或，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：A．
11．（2023上·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校联考期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解不等式即可.
【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，
所以在上递减，
因为，所以，
所以的简图如图所示，
由，得
或，
所以，或，
解得，或，
综上，
所以不等式的解集为，
故选：A
12．（2023上·江苏无锡·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得在上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.
【详解】由题设，在上单调递增且，
所以在、上，上，
对于，
当，即或，可得；
当，即，可得；
综上，解集为.
故选：A
13．（2023上·河南郑州·高一校考期中）已知函数对于一切，都有.
(1)求并证明在上是奇函数；
(2)若在区间上是减函数，解不等式.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）令求出，再令，即可得到，从而证明函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为对于一切都有，
令，则，所以，
令，则，即，
所以在上是奇函数.
（2）因为在区间上是减函数，则在区间上是减函数，
则不等式，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
14．（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.
【详解】函数为偶函数，即
函数关于直线对称，
又对都有，
函数在上单调递增，
由得，
解得或
故答案为：.
15．（2023上·广东佛山·高一校考期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由的图像关于点对称，在上单调递增和，得出为奇函数，在上单调递增，且，将转化为，根据的单调性解不等式即可．
【详解】设，因为的图像关于点对称，
所以的图像关于对称，
所以为奇函数，即，
因为，
所以为奇函数，
又因为，所以，则，
而，得，即，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，得，
即不等式的解集为．
故选：A．
考点三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式
16．（2023上·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可.
【详解】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，
解得．
故答案为：
17．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期中）已知函数的定义域为，当时，．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上为单调减函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解；
（2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
（3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，令，
则，得；
（2）当时，有，且当时，
，且，则，.
由，得，
有，
即，所以函数在上为单调减函数；
（3）由，得，
由，得，
即，由（1）知，
所以，
由（2）知函数在上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
18．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．
(1)证明：函数是偶函数；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；
（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.
【详解】（1）令得，即；
令得，即．
令得，即，
所以是偶函数得证；
（2）由已知定义，
所以即，所以，
因为是偶函数，且在单调递减，
所以，
即的解集为．
19．（2023上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)是上的单调递减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得；
（2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可；
（3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得.
【详解】（1）取，
则，于是，
令，
则，
又，则；
（2）是上的单调递减函数．
证明：
任取，
则，
由于当时，，易知，则，
故，
可得是上的单调递减函数．
（3）不等式可化为，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于为上的单减函数，则，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是关于的一次函数，
故只需，解得．
即，
解得
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围.
20．（2023上·江苏无锡·高一校联考期中）已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
21．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考期中）设函数是定义在上的减函数，且满足，
(1)求的值；
(2)如果，求的取值集合．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）采用赋值法，令即可求得结果；
（2）结合已知条件和单调性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，由此求解出结果.
【详解】（1）令，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以，
又因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
22．（2023上·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且时，．
(1)求；
(2)求证：函数在上单调递增；
(3)若，，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）采用赋值法令，即可计算得出；
（2）易知对于，，利用单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可；
（3）令可得为偶函数，且，根据（2）中的单调性对是否为零分类讨论，解不等式即可得解集为.
【详解】（1）令，，则，
即，
由可知.
（2）令，则，
即.
若，则，所以.
总之，.
，
又所以,
由且可知，所以；
可得，即，
所以在上单调递增.
（3）令，则，
所以为偶函数，
又，
当时，，
此时，解得，
当时，，可得或；
此时成立，所以符合不等式.
综上，原不等式的解为.
考点四 根据单调性定义构造函数解不等式
23．（2023上·湖北·高一校联考期中）设函数是定义在R上的奇函数．
(1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围；
(2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先判断函数的单调性，再求解不等式；
（2）首先设函数，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式.
【详解】（1）由题意奇函数满足，
∴变为，
又，即当时，，
∴在上单调递减，
∴，
解得，
故实数x的取值范围为；
（2）∵函数是定义在R上的奇函数，
∴为定义在R上的偶函数，
又∵，
即，，
∴在上递减，
则在上递增，
，
即，
则，
则，整理为，
解得：.
24．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数在上单调递减，结合可将不等式化为，可得不等式解集为.
【详解】根据定义域为且可知，
又，所以对，恒成立；
即可知函数在上单调递减；
又，可得，
不等式可化为，解得，
可得不等式的解集为.
故选：B
25．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个不相等的正数，，都有，则的解集为 .
【答案】
【分析】按题意构造新函数即可求解.
【详解】设，则即
由知在上递减
又，所以时的解集为
又由知是上的偶函数
所以时的解集为
综上，的解集为，此即的解集
故答案为：
26．（2023上·江苏南京·高一期中）已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，即可判断的单调性，不等式，即为，结合函数的单调性解得即可.
【详解】设，则，且，
因为对任意的实数且，，则，
即，所以在上是增函数，
所以不等式，即为，即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
27．（2023上·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件构造函数，利用函数的单调性及奇偶性解不等式即可.
【详解】由，，且，都有,
不妨令可知函数在上单调递增，
记，则，
所以为偶函数，因此在上单调递减，且，
不等式等价于，
故，解得或，故不等式的解集为：．
故选：A
28．（2023上·江西南昌·高一南昌大学附属中学校考期中）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】变换得到在上单调递增，确定关于原点对称，得到为偶函数，，根据函数的单调性解不等式得到答案.
【详解】，，，故，
即函数在上单调递增，
函数的图象关于中心对称，则关于原点对称，
即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减.
，则，，
当时，，即，即，；
当时，，即，即，；
综上所述：.
故选：D
29．（2023上·辽宁大连·高一育明高中校考期中）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题设易得，令并判断其单调性、奇偶性，进而求不等式的解集.
【详解】由，得，
因为，，所以，即，
设，则在上单调递减，
而，则，解得；
因为为上的奇函数，所以，
则为上的偶函数，故在上单调递增，
而，则，解得；
综上，原不等式的解集为.
故答案为：
考点五 根据简单具体函数的单调性解不等式
30．（2023上·北京·高一三里屯一中校考期中）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性列不等式组求的取值范围.
【详解】易知函数在上单调递增，
由得，即，解得.
故的取值范围是.
故选：D.
31．（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为R，令函数，则
显然，
函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，
不等式化为，
即，于是，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
32．（2023上·江苏南京·高一校联考期中）已知函数，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案；
（2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明；
（3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2），
则
.
因为，
所以，，，，
所以，，
所以，，
所以，函数在上单调递增.
（3）由已知，定义域为，关于原点对称.
又，所以为奇函数.
由可得，.
由（2）函数在上单调递增，
可得，解得.
33．（2023上·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式.
(2)用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数a、b，检验即可；
（2）利用定义法证明函数的单调性，即可求解；
（3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，即可求解.
【详解】（1）∵为定义在区间上的奇函数，
∴，∴．又，∴．
检验：当，时，，
，∴为奇函数，符合题意，
∴．
（2）对任意的，
．
∵，∴，，∴．
又，，故，
∴，即，
∴函数在区间上单调递增．
（3）∵为定义在区间上的函数，
∴，解得．
∵，且为定义在区间上的奇函数，
∴．
又在区间上单调递增，
∴，解得或．
综上，实数m的取值范围是．
34．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知函数，，则使成立的实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，，
由解得，所以的定义域为.
由，解得，所以的定义域为，
由于，所以是偶函数.
当时，为增函数，
所以当时，为减函数.
由得，
所以，解得.
故选：A
【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.
35．（2023上·河南驻马店·高一泌阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性解不等式.
【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，
若，则，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：A
考点六 根据复杂具体函数的单调性解不等式
36．（2023上·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.
【详解】，，，
所以不等式可转化为，
又在R上单调递增，在R上单调递增，
进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
37．【多选】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．不等式的解集为
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．
【详解】作出函数的图象，如图实线部分．
由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；
当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，.
，再计算得，
根据图得解集为，B错；
当时，即为，恒成立；
当，即时，即，
即，解得，故此时的范围为，
当，即，则，
即为，解得，故此时的范围为，
综上，，则，反过来同样成立，故C正确；
对D，由B选项知时，，则，
则成立，D正确．
故选：ACD．
38．（2023上·安徽·高一和县第一中学校联考期中）已知函数，则使得的的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，则，利用奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】令，显然是偶函数，且在内单增.
因为，
所以，解得.
故答案为：.
39．（2023上·广东深圳·高一深圳市新安中学（集团）高中部校考期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为R，
，
所以函数为R上的偶函数；
当时，，
设，对于，且，
则，
有，
即，即函数在上单调递增，
且，为偶函数.
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由，得，解得.
故选：A.
考点七 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合
40．（2023上·吉林四平·高一统考期中）已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由，
可得，
即，
所以在R上单调递增.
由可得，，
即对任意恒成立，
所以，
整理可得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C．
41．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，分离参数求解出的取值范围.
【详解】因为，且为奇函数，
所以，
又因为函数在上为增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，
令，令，则，
易知在单调递增.
故，由于，所以.
故选：B.
42．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在上的单调性，从而将问题转化为在上恒成立，进而可求出的取值范围.
【详解】的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以可化为，
当时，，
因为和在上递增，
所以在上递增，
所以由，得在上恒成立，
所以，化简得在上恒成立，
所以，解得，
即的取值范围为，
故选：C
43．（2023上·广东广州·高一执信中学校考期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，得，即，然后构造函数，令，由基本不等式可求出其最大值，从而可求出a的取值范围.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，
所以由，得，
因为在上单调递增，所以恒成立，
所以，令，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，得或，
即a的取值范围为，
故答案为：.
1、单调性定义的等价形式
(1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数:
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，.
(2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数:
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0；
⇔任取x1,x2∈[a,b]，且x1≠x2，.
2、定义法判断函数奇偶性
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：
如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数；
如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数．
3、利用单调性、奇偶性解不等式原理
（1）解f(m)
②若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数(如f(m)
第一步：将f(n)移到不等式的右边，得到f(m)>-f(n)；
第二步：根据f(x)为奇函数，得到f(m)>f(-n)；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解．
考点一 根据简单抽象函数的单调性解不等式
考点二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式
考点三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式
考点四 根据单调性定义构造函数解不等式
考点五 根据简单具体函数的单调性解不等式
考点六 根据复杂具体函数的单调性解不等式
考点七 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合
考点一 根据简单抽象函数的单调性解不等式
1．（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解.
【详解】因为为上的增函数，
所以由，得：，
即，即，解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：C.
2．（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.
【详解】由得，
因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
考点二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式
4．（2023上·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）已知奇函数在上单调递增，若，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用的奇偶性可得，，再结合的单调性得到，从而得解．
【详解】因为函数为上的奇函数， ，则，，
所以可化，
又函数在上单调递增，所以，解得.
故选：B．
5．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对任意的都有，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据单调性的定义得到在上单调递增，然后根据为奇函数，得到在上单调递增，，然后分和两种情况解不等式即可.
【详解】因为对任意都有，所以在上单调递增，
又为奇函数，，则在上单调递增，，
可变形为或，解得或.
故答案为：.
6．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，依题意可得在上单调递减，则在上单调递增，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，
又，，当时，，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
不等式即，等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
7．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知定义在R上的函数满足：，都有，且是奇函数，则满足的的取值范围为 ．
【答案】{或}
【分析】利用函数的单调性及奇函数的性质计算即可.
【详解】不妨设，则由，
即在区间上是单调递减函数，
又是奇函数，所以关于中心对称，
故在R上是单调递减函数，
，解之得或.
故答案为：{或}
8．（2023上·河南郑州·高一校考期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的解：，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
9．（2023上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】定义在上的奇函数在上单调递减，且，
则在上单调递减，且，，
当时，，当时，，
由可得
，或，或，
解得，或，
则满足的的取值范围是，或.
故选：A.
10．（2023上·云南昆明·高一校联考期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】因为奇函数在上为增函数，且，
所以当时，，当时，，
当时，，
又因为为奇函数，
所以，当时，，当时，，
当时，，
由得，
即或，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：A．
11．（2023上·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校联考期中）已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解不等式即可.
【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，
所以在上递减，
因为，所以，
所以的简图如图所示，
由，得
或，
所以，或，
解得，或，
综上，
所以不等式的解集为，
故选：A
12．（2023上·江苏无锡·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得在上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.
【详解】由题设，在上单调递增且，
所以在、上，上，
对于，
当，即或，可得；
当，即，可得；
综上，解集为.
故选：A
13．（2023上·河南郑州·高一校考期中）已知函数对于一切，都有.
(1)求并证明在上是奇函数；
(2)若在区间上是减函数，解不等式.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）令求出，再令，即可得到，从而证明函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为对于一切都有，
令，则，所以，
令，则，即，
所以在上是奇函数.
（2）因为在区间上是减函数，则在区间上是减函数，
则不等式，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
14．（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.
【详解】函数为偶函数，即
函数关于直线对称，
又对都有，
函数在上单调递增，
由得，
解得或
故答案为：.
15．（2023上·广东佛山·高一校考期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由的图像关于点对称，在上单调递增和，得出为奇函数，在上单调递增，且，将转化为，根据的单调性解不等式即可．
【详解】设，因为的图像关于点对称，
所以的图像关于对称，
所以为奇函数，即，
因为，
所以为奇函数，
又因为，所以，则，
而，得，即，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，得，
即不等式的解集为．
故选：A．
考点三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式
16．（2023上·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可.
【详解】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，
解得．
故答案为：
17．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期中）已知函数的定义域为，当时，．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上为单调减函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解；
（2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
（3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，令，
则，得；
（2）当时，有，且当时，
，且，则，.
由，得，
有，
即，所以函数在上为单调减函数；
（3）由，得，
由，得，
即，由（1）知，
所以，
由（2）知函数在上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
18．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．
(1)证明：函数是偶函数；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；
（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.
【详解】（1）令得，即；
令得，即．
令得，即，
所以是偶函数得证；
（2）由已知定义，
所以即，所以，
因为是偶函数，且在单调递减，
所以，
即的解集为．
19．（2023上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)是上的单调递减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得；
（2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可；
（3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得.
【详解】（1）取，
则，于是，
令，
则，
又，则；
（2）是上的单调递减函数．
证明：
任取，
则，
由于当时，，易知，则，
故，
可得是上的单调递减函数．
（3）不等式可化为，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于为上的单减函数，则，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是关于的一次函数，
故只需，解得．
即，
解得
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围.
20．（2023上·江苏无锡·高一校联考期中）已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
21．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考期中）设函数是定义在上的减函数，且满足，
(1)求的值；
(2)如果，求的取值集合．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）采用赋值法，令即可求得结果；
（2）结合已知条件和单调性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，由此求解出结果.
【详解】（1）令，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以，
又因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
22．（2023上·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且时，．
(1)求；
(2)求证：函数在上单调递增；
(3)若，，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）采用赋值法令，即可计算得出；
（2）易知对于，，利用单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可；
（3）令可得为偶函数，且，根据（2）中的单调性对是否为零分类讨论，解不等式即可得解集为.
【详解】（1）令，，则，
即，
由可知.
（2）令，则，
即.
若，则，所以.
总之，.
，
又所以,
由且可知，所以；
可得，即，
所以在上单调递增.
（3）令，则，
所以为偶函数，
又，
当时，，
此时，解得，
当时，，可得或；
此时成立，所以符合不等式.
综上，原不等式的解为.
考点四 根据单调性定义构造函数解不等式
23．（2023上·湖北·高一校联考期中）设函数是定义在R上的奇函数．
(1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围；
(2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先判断函数的单调性，再求解不等式；
（2）首先设函数，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式.
【详解】（1）由题意奇函数满足，
∴变为，
又，即当时，，
∴在上单调递减，
∴，
解得，
故实数x的取值范围为；
（2）∵函数是定义在R上的奇函数，
∴为定义在R上的偶函数，
又∵，
即，，
∴在上递减，
则在上递增，
，
即，
则，
则，整理为，
解得：.
24．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数在上单调递减，结合可将不等式化为，可得不等式解集为.
【详解】根据定义域为且可知，
又，所以对，恒成立；
即可知函数在上单调递减；
又，可得，
不等式可化为，解得，
可得不等式的解集为.
故选：B
25．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个不相等的正数，，都有，则的解集为 .
【答案】
【分析】按题意构造新函数即可求解.
【详解】设，则即
由知在上递减
又，所以时的解集为
又由知是上的偶函数
所以时的解集为
综上，的解集为，此即的解集
故答案为：
26．（2023上·江苏南京·高一期中）已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，即可判断的单调性，不等式，即为，结合函数的单调性解得即可.
【详解】设，则，且，
因为对任意的实数且，，则，
即，所以在上是增函数，
所以不等式，即为，即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
27．（2023上·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件构造函数，利用函数的单调性及奇偶性解不等式即可.
【详解】由，，且，都有,
不妨令可知函数在上单调递增，
记，则，
所以为偶函数，因此在上单调递减，且，
不等式等价于，
故，解得或，故不等式的解集为：．
故选：A
28．（2023上·江西南昌·高一南昌大学附属中学校考期中）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】变换得到在上单调递增，确定关于原点对称，得到为偶函数，，根据函数的单调性解不等式得到答案.
【详解】，，，故，
即函数在上单调递增，
函数的图象关于中心对称，则关于原点对称，
即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减.
，则，，
当时，，即，即，；
当时，，即，即，；
综上所述：.
故选：D
29．（2023上·辽宁大连·高一育明高中校考期中）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题设易得，令并判断其单调性、奇偶性，进而求不等式的解集.
【详解】由，得，
因为，，所以，即，
设，则在上单调递减，
而，则，解得；
因为为上的奇函数，所以，
则为上的偶函数，故在上单调递增，
而，则，解得；
综上，原不等式的解集为.
故答案为：
考点五 根据简单具体函数的单调性解不等式
30．（2023上·北京·高一三里屯一中校考期中）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性列不等式组求的取值范围.
【详解】易知函数在上单调递增，
由得，即，解得.
故的取值范围是.
故选：D.
31．（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为R，令函数，则
显然，
函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，
不等式化为，
即，于是，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
32．（2023上·江苏南京·高一校联考期中）已知函数，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案；
（2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明；
（3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2），
则
.
因为，
所以，，，，
所以，，
所以，，
所以，函数在上单调递增.
（3）由已知，定义域为，关于原点对称.
又，所以为奇函数.
由可得，.
由（2）函数在上单调递增，
可得，解得.
33．（2023上·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式.
(2)用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数a、b，检验即可；
（2）利用定义法证明函数的单调性，即可求解；
（3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，即可求解.
【详解】（1）∵为定义在区间上的奇函数，
∴，∴．又，∴．
检验：当，时，，
，∴为奇函数，符合题意，
∴．
（2）对任意的，
．
∵，∴，，∴．
又，，故，
∴，即，
∴函数在区间上单调递增．
（3）∵为定义在区间上的函数，
∴，解得．
∵，且为定义在区间上的奇函数，
∴．
又在区间上单调递增，
∴，解得或．
综上，实数m的取值范围是．
34．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）已知函数，，则使成立的实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，，
由解得，所以的定义域为.
由，解得，所以的定义域为，
由于，所以是偶函数.
当时，为增函数，
所以当时，为减函数.
由得，
所以，解得.
故选：A
【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.
35．（2023上·河南驻马店·高一泌阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性解不等式.
【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，
若，则，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：A
考点六 根据复杂具体函数的单调性解不等式
36．（2023上·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.
【详解】，，，
所以不等式可转化为，
又在R上单调递增，在R上单调递增，
进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
37．【多选】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．不等式的解集为
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．
【详解】作出函数的图象，如图实线部分．
由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；
当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，.
，再计算得，
根据图得解集为，B错；
当时，即为，恒成立；
当，即时，即，
即，解得，故此时的范围为，
当，即，则，
即为，解得，故此时的范围为，
综上，，则，反过来同样成立，故C正确；
对D，由B选项知时，，则，
则成立，D正确．
故选：ACD．
38．（2023上·安徽·高一和县第一中学校联考期中）已知函数，则使得的的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，则，利用奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】令，显然是偶函数，且在内单增.
因为，
所以，解得.
故答案为：.
39．（2023上·广东深圳·高一深圳市新安中学（集团）高中部校考期中）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为R，
，
所以函数为R上的偶函数；
当时，，
设，对于，且，
则，
有，
即，即函数在上单调递增，
且，为偶函数.
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由，得，解得.
故选：A.
考点七 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合
40．（2023上·吉林四平·高一统考期中）已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由，
可得，
即，
所以在R上单调递增.
由可得，，
即对任意恒成立，
所以，
整理可得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C．
41．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，分离参数求解出的取值范围.
【详解】因为，且为奇函数，
所以，
又因为函数在上为增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，
令，令，则，
易知在单调递增.
故，由于，所以.
故选：B.
42．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在上的单调性，从而将问题转化为在上恒成立，进而可求出的取值范围.
【详解】的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以可化为，
当时，，
因为和在上递增，
所以在上递增，
所以由，得在上恒成立，
所以，化简得在上恒成立，
所以，解得，
即的取值范围为，
故选：C
43．（2023上·广东广州·高一执信中学校考期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，得，即，然后构造函数，令，由基本不等式可求出其最大值，从而可求出a的取值范围.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，
所以由，得，
因为在上单调递增，所以恒成立，
所以，令，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，得或，
即a的取值范围为，
故答案为：.
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