4.2 指数函数10种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
注：为什么底数应满足a>0且a≠1?①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2、两类指数模型
（1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
（2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当03、指数函数的图象和性质
注：（1）指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
（2）指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当04、比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
5、解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
6、指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0注：（1）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0（2）如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？①定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．
7、判断一个函数是否为指数函数的方法
①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征；
②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．
8、已知某函数是指数函数求参数值的方法
①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程；
②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．
注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件.
9、求指数函数的解析式或函数值
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
10、解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
12、利用变换作图法作图要注意：
①选择哪个指数函数作为起始函数．
②平移的方向及单位长度．
③常用的变换作图法主要有：

此外，函数的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．
13、处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
14、比较幂值大小的3种类型及处理方法
15、指数方程的类型可分为：
①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；
②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用换元法求解．
16、简单的指数不等式的解法
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)17、指数型函数的单调性
(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．
(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是018、指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法：
(1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算．
(2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x<0时，0当x>0时，y>1
当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称
考点一指数函数的概念
考点二求指数函数的解析式或函数值
考点三指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
考点四指数函数的定义域和值域
考点五指数函数的图象及应用
（一）指数函数的图象特征
（二）指数函数的图象变换
（三）指数函数过定点问题
（四）指数函数图象的应用
考点六比较大小
考点七简单的指数不等式的解法
考点八指数型函数的单调性与最值
考点九指数型函数的奇偶性
考点十指数函数的综合应用
考点一指数函数的概念
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数为指数函数的是（）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（）
A．B．
C．D．
3．【多选】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）
A．
B．
C．
D．（且）
4．（2023·全国·高一专题练习）给定下列函数：
①；
②；
③，且；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧.
其中是指数函数的有 .（填序号）
考点二求指数函数的解析式或函数值
5．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）若函数是指数函数，则等于（）
A．或B．C．D．
6．（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（）
A．或B．且
C．D．
7．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（）
A．B．C．3D．9
8．（2023·全国·高一课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和．
9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（）
A．2B．4C．5D．7
10．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数，则（）
A．2B．1C．D．
11．（2023秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设函数，则 .
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则 .
考点三指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
13．（2023·山东·校联考模拟预测）某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（）
A．B．C．D．
14．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）某化工厂生产过程中产生的废气含有大量的有毒、有害物质，需经过滤后排放．过滤过程中废气中的有毒、有害物质的含量（单位：与时间（单位：）间的关系为（为常数），若在过滤后消除了的有毒、有害物质，则后剩余的有毒、有害物质大约为原来有毒、有害物质的（）（附：）
A．B．C．D．
15．（2023·全国·高二随堂练习）某城市2007年底人口为500万，人均住房面积为，到2023年底该市的人均住房面积翻了一番．假定该市人口的年平均增长率为1％，求这10年中该市每年新增住房的平均面积（精确到）．
16．（2023·全国·高一随堂练习）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．（结果写成（，n为正整数）的形式，a精确到0.01）
考点四指数函数的定义域和值域
17．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 .
18．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是．
19．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是 .
20．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)．
22．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)
(6)
23．（2023·全国·高一随堂练习）求函数在区间上的最大值和最小值．
24．（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.
25．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（）
A．B．C．D．
26．（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）函数的值域为 .
27．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为．
28．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
29．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）已知函数在区间上的值域为，则实数的值为 .
30．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点五指数函数的图象及应用
指数函数的图象特征
31．（2023·全国·高一专题练习）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（）
A．①B．②C．③D．④
32．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）函数（，且）的图象可能是（）
A． B．
C． D．
33．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的图象可能是（）
A． B．
C． D．
34．（2023秋·高一课时练习）函数的图象如图所示，则的图象是（）
A．B．
C．D．
35．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（）
A． B．
C． D．
36．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
指数函数的图象变换
37．（2023·全国·高一课堂例题）说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)；
(2).
38．（2023秋·高一课时练习）请画出函数的图象.
39．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图象是（）
A． B．
C． D．
40．（2023秋·吉林·高三辉南县第一中学校考阶段练习）函数，且的图象大致是（）
A．B．
C．D．
41．【多选】（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（）
A．. B．
C． D．
指数函数过定点问题
42．（2023秋·福建泉州·高一校考期中）函数（且）的图像一定过点 .
43．（2023秋·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）不论且为何值，函数的图象一定经过点，则点的坐标为．
44．（2023·全国·高一专题练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
45．（2023春·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考期中）已知幂函数，则过定点（）
A．B．C．D．
46．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 .
47．（2023秋·重庆石柱·高三校考阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）
A．9B．C．D．
指数函数图象的应用
48．（2023·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）

A．B．
C．D．
49．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（）
A．B．C．D．
50．（2023秋·湖南永州·高二校考阶段练习）已知，则函数的图象恒过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
51．【多选】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．
52．（2023·全国·高一随堂练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.

53．（2023·全国·高一专题练习）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 .
54．（2023·全国·高三专题练习）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
55．（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是．
考点六比较大小
56．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)，；
(2)，．
57．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
58．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，．
59．（2023秋·安徽·高二合肥市第六中学校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
60．（2023秋·北京东城·高一校考期中）已知，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
考点七简单的指数不等式的解法
61．（2023秋·北京海淀·高三校考阶段练习）已知集合，则（）
A．B．C．D．
62．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数x的集合：
(1)；
(2)．
63．（2023秋·山东泰安·高一泰安一中校考期中）不等式的解集为 .
64．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．
65．（2023秋·高一课时练习）关于的不等式的解集为．
66．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是．
67．（2023秋·浙江·高一期末）设函数则满足的x取值范围为．
68．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为．
考点八指数型函数的单调性与最值
69．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（）
A．B．
C．D．
70．（2023秋·北京东城·高一校考期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A．B．C．D．
71．【多选】（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，则（）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
72．【多选】（2023秋·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
73．（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
74．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
75．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（）
A．B．
C．D．
76．（2023·全国·高一课堂例题）讨论函数的单调性，并求最值．
77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
78．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=
考点九指数型函数的奇偶性
79．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知奇函数在R上为增函数，则（）
A．1B．C．2D．
80．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为 .
81．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为 .
82．（2023秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为．
考点十指数函数的综合应用
83．（2023秋·安徽·高一校联考期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（）
A．B．C．D．
84．（2023秋·北京延庆·高一统考期末）已知函数，则关于的不等式的解集为 .
85．（2023·全国·高一专题练习）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求不等式的解集．
86．（2023秋·浙江·高二长兴县华盛高级中学校联考阶段练习）已知是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
87．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断的单调性并证明你的结论；
(3)若恒成立，求实数k的取值范围．
88．（2023秋·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特一中校考阶段练习）已知为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)解不等式