4.3 对数8种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

4.3对数8种常见考法归类1、对数的概念（1）对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注：在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))x＝2成立，所以a不能小于0.a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定．（2）常用对数与自然对数2、对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.(2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化．3、对数的性质（1）loga1＝0(a>0，且a≠1)．（2）logaa＝1(a>0，且a≠1)．（3）零和负数没有对数．（4）当，且时，．4、对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．拓展：＝eq \f(n,m)logaM(n∈R，m≠0)5、换底公式（1）logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．（2）对数换底公式的重要推论①logaN＝eq \f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．②＝eq \f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注：换底公式中底数c是是大于0且不等于1的任意数．（3）可用换底公式证明以下结论：①；②；③；④；⑤.6、指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．7、对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．8、利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．9、对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．10、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧11、利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．考点一 对数的定义理解考点二 指数式与对数式的互化考点三 解对数方程考点四 利用对数的性质求值考点五 对数运算性质的应用考点六 换底公式的应用考点七 用已知对数表示其他对数考点八 对数运算性质的综合应用考点一 对数的定义理解1．（2023秋·高一课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）对数log39和log93的意义一样．( )（2）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.( )（3）对数运算的实质是求幂指数．( )（4）若ln N＝2，则N＝2e.( )2．（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（  　）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全国·高一专题练习）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ）A．①② B．②④C．①③ D．③④4．（2023·全国·高一专题练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ）A． B．C． D．考点二 指数式与对数式的互化5．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．7．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．8．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)．9．（2023·全国·高一课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考点三 解对数方程10．（2023·上海·高一专题练习）若，则的取值范围是 .11．（2023·高一课时练习）若，则 ．12．（2023秋·全国·高一随堂练习）若，则x的值为 ．13．（2023·全国·高一专题练习）方程的根为（    ）A． B．C．或 D．或14．（2023·上海·高一专题练习）若，则 .15．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，试求的值．考点四 利用对数的性质求值16．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知函数，则的值是 ．17．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）设函数，则（    ）A．1 B．2 C．0 D．18．（2023秋·山东青岛·高三统考期末）已知函数，则 .19．（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）设函数 ．20．（2023秋·安徽六安·高一六安二中校考期末）定义在上的函数满足，则 .考点五 对数运算性质的应用21．（2023秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习） ．22．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习） .23．（2023秋·山东泰安·高三山东省泰安第二中学校考阶段练习） 24．（2023·全国·高一随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．25．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．考点六 换底公式的应用26．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（    ）A． B． C．4 D．527．（2023秋·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（    ）A． B．6 C． D．28．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若，且，则实数的值为 .29．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）设，则 ．30．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，则 ．31．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则 ．32．（2023·全国·高一随堂练习）利用对数的换底公式计算：(1)；(2)．33．（2023·全国·高一课堂例题）利用换底公式证明：(1)；(2)．34．【多选】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（    ）A． B． C． D．考点七 用已知对数表示其他对数35．（2023·全国·高一随堂练习）用，，表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．36．（2023·全国·高一随堂练习）用m，n或b，c表示x，其中m，n，a，b，c均大于0，且．(1)；(2)．37．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值（用来表示）.38．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）（1）计算；（2）设，试用表示；（3）设是非零实数，，求的值.考点八 对数运算性质的综合应用39．【多选】（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．40．【多选】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知，则下列选项正确的是（    ）A． B． C．D．41．【多选】（2023秋·高一课时练习）若且，，，、，，则下列等式成立的是（　　）A．B．C．D．42．【多选】（2023春·河南焦作·高一统考期末）若，则（    ）A． B．C． D．