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4.4 对数函数11种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）
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这是一份4.4 对数函数11种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含44对数函数11种常见考法归类原卷版docx、44对数函数11种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
1、对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注：y＝lgπx是对数函数，y＝lg2eq \f(x,3)不是对数函数．
2、对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
注：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，取相同的函数值时，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大．
①上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴．
②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
3、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
4、对数型函数的性质及应用
（1）y＝lgaf(x)型函数性质的研究
①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
②值域：在函数y＝lgaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝lgat的单调性确定函数的值域．
③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝lgat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝lgat的单调性，最后确定最值．
（2）lgaf(x)①讨论a与1的关系，确定单调性．
②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
5、判断一个函数是对数函数的方法
注：对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出．
6、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
7、求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式(组)；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域．
8、对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
9、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
10、解决有关对数型函数图象问题的技巧
(1)求函数y＝m＋lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
11、比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
注：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
12、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgaf(x)g(x)>0；②当a>1时，可转化为0(4)形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
注：解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则．
13、形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．
14、(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
15、求对数型函数值域(最值)的方法
对于形如y＝lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：
(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数．
(2)求f(x)的定义域．
(3)求u的取值范围．
(4)利用y＝lgau的单调性求解．
16、与对数函数有关的函数的奇偶性
要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝lgag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称
考点一 对数函数的概念及应用
考点二 与对数函数有关的定义域
考点三 对数函数模型的应用
考点四 对数函数的图象及应用
（一）对数型函数图象的辨析
（二）作对数型函数图象
（三）对数函数的恒过定点问题
（四）对数函数图象的应用
考点五 比较大小
考点六 解对数不等式
考点七 对数型函数的单调性
考点八 与对数函数有关的值域与最值问题
考点九 与对数函数有关的函数的奇偶性
考点十 对数型函数性质的综合应用
考点十一 反函数
考点一 对数函数的概念及应用
1．（2023秋·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.
【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②和③符合对数函数的定义，是对数函数；
④中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤中系数不是，不是对数函数.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．
故答案为：（1）（2）（3）．
3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数定义直接判断即可.
【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
5．（2023秋·全国·高一随堂练习）若函数为对数函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可.
【详解】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用对数函数的解析式，求出，然后求解函数值即可．
【详解】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查对数函数的定义，是基础题．
7．【多选】（2023秋·全国·高一随堂练习）函数中，实数的取值可能是（ ）
A．B．3
C．4D．5
【答案】AC
【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可.
【详解】因为，
所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，
故选：AC.
8．（2023秋·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法，设出函数方程，把点代入求解即可.
【详解】设，结合已知有，
∴，又且，
∴，则，
故答案为：.
考点二 与对数函数有关的定义域
9．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是.
故答案为：
10．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
11．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
12．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可.
【详解】因为，
所以，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
13．（2023秋·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根根号里的数大于等于零，分母不等于零，即可得解.
【详解】，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（2023秋·北京·高三北京二十中校考阶段练习）函数的定义域为
【答案】
【分析】由对数及分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由解析式知：或，
所以函数定义域为.
故答案为：
15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.
【详解】已知函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
又，且，解得，且，
所以定义域为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案为：.
考点三 对数函数模型的应用
17．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.
【详解】根据题意，将，代入可得；
将，代入可得；
所以可知.
故选：D
18．（2023秋·山西大同·高三校联考阶段练习）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2023年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2023年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ．
【答案】4.3/
【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案.
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.
由已知可得.
所以，.
故答案为：．
19．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，
而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，
于是，，两式相减得，解得，
所以火箭发射时的声压约为.
故选：D
20．（2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
【答案】
【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案.
【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．
故答案为：.
考点四 对数函数的图象及应用
对数型函数图象的辨析
21．（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，
（3）是，（4）是，又与关于轴对称，
（1）是．
故选：B．
22．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A,C的图象符合．
故选：AC
23．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案．
【详解】因为，即，
所以，
当时，则，
指数函数在上单调递减，且过点；
对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，
则在上单调递减且过点，故A符合题意；
当时，，
同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，
在上单调递增且过点，故B符合题意；
故选：AB．
24．（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.
【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；
对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；
对于C，时，为上增函数，图象错误；
对于D，时，为上增函数，图象错误；
故选：B
25．（2023·全国·高一专题练习）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由定义域和，使用排除法可得.
【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
26．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【详解】的定义域为且，
因为，所以为奇函数，排除A，D，
当时，，B错误，
故选：C.
27．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
作对数型函数图象
28．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．
【答案】
【分析】由对数函数的图象与性质判断
【详解】由题图可知，，，．
直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案.
【详解】的定义域为，
因为，所以是偶函数，
当时，单调递增，
由此可判断出选A
故选：A
30．（2023秋·吉林长春·高三校考开学考试）函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先做出的函数图像，经过逐步变换即可求解.
【详解】先画出的函数图像，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像，
故选：B.
31．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项.
【详解】，函数定义域为，
有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.
故选：C.
32．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可
【详解】求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题
对数函数的恒过定点问题
33．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）函数（且）的图象恒过点 ．
【答案】
【分析】根据题意，令，求得，即可求解.
【详解】由函数，令，即，
可得，所以函数恒过定点.
故答案为：.
34．（2023·全国·高一专题练习）函数（且）恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质即可得解．
【详解】由于（且），
则函数（且）恒过定点．
故选：D．
35．（2023秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】令真数解得，求出，即可求出函数所过定点.
【详解】令得，
又，
所以函数过定点
即的坐标为
故答案为：
36．（2023春·浙江温州·高二校考学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标.
【详解】当时，恒等于0，恒等于1，
故恒等于，所以的图象恒过的定点是.
故选：B
37．（2023秋·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
38．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求.
【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即，
函数且的定点为，
即.
故选：D
对数函数图象的应用
39．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
41．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证.
【详解】画出函数图象，如图，
因为，且，.
所以.且即.
对A，因为，所以，故A正确；
对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；
对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，,
因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确；
对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则.
因为函数在上单调递减，所以，故D正确.
故选：ABD
42．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，
要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
43．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数，若且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
考点五 比较大小
44．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，（，且）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，.
【分析】（1）（2）（3）构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小得解.
【详解】（1）函数在上单调递增，而，所以.
（2）函数在上单调递减，而，所以.
（3）函数（，且），
当时，在上单调递减，而，所以；
当时，在上单调递增，而，所以.
45．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，而，
所以.
故选：D
46．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系.
【详解】，
故选：D
47．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性得，由指数函数的性质得，即可比较.
【详解】，，
又，所以，即.
故选：A.
48．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小.
【详解】，，，
且，
故.
故选：A
49．（2023秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性比较的大小关系，并判断c的范围，即可得答案.
【详解】由于，
且，
故，
故选：C
50．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知函数，设，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.
【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数，
而，
因为，所以，即，
因为在上为增函数，且，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
考点六 解对数不等式
51．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集，补集，并集的定义判断A，C，D；由集合间的关系判断B.
【详解】由，则，解得：，
所以，
由可得，即，则，
解得：，故， 故B错误；
故A或，故A错误；
或，，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
52．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）不等式的解集 .
【答案】
【分析】根据对数不等式的解法求得正确答案.
【详解】，
故原不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
53．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解.
【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数，
则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
54．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可.
【详解】由题设，
则，即，可得.
故答案为：
55．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数x的集合：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化同底的对数不等式，然后再利用对数函数的单调性求解即可；
（2）利用对数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
（2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
56．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域可得，将代入，结合对数函数单调性运算求解.
【详解】令，解得，可知的定义域为，
可得，解得，
关于不等式，即，
整理得，且在定义域内单调递增，
则，结合，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
57．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
考点七 对数型函数的单调性
58．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案.
【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误；
对于B，在区间上是减函数，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在区间上是增函数，故D错误；
故选：B.
59．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的严格增区间为 .
【答案】
【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解.
【详解】设，，
函数的定义域需满足，得，
根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数，
要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即，
综上可知，，即函数的严格增区间为.
故答案为：
60．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，再由复合函数单调性求出单调递减区间即得.
【详解】在函数中，，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故选：A
61．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）若幂函数过点，则函数的单调减区间是 .
【答案】
【分析】由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间.
【详解】解：∵幂函数过点，∴，即.
则函数.
由，解得：或.
∴函数的定义域为，
函数在上为减函数，而外函数为定义域内的增函数，
∴函数的单调减区间为.
故答案为：.
62．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义域和复合函数的单调性求单调区间即可.
【详解】由题意得，解得，
设，即求函数在中的减区间，即．
故选：C．
63．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得答案.
【详解】二次函数图象的对称轴为，
若函数在区间上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，即，
故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
64．（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．
【详解】解：令，
由题意知：在区间上单调递增且，
，解得，
则实数的取值范围是．
故选：C．
65．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】函数（且）在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
66．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当时，为增函数，当时，若单调递减，则，解方程即可得出答案.
【详解】当时，在上单调递增，
，所以在上单调递增，
而，即，解得，
所以当时，在上为增函数，
当时，，
若单调递减，则，无解.
故.
故选：A.
67．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．
【详解】因为是上的单调递减函数，
所以，解得．
故选：C．
考点八 与对数函数有关的值域与最值问题
68．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.
【详解】因为，
令，则，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
69．（2023·全国·高一专题练习）若定义运算，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.
【详解】依题意，由，得，即，解得，
由解得，因此，
显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，
所以函数的值域为.
故答案为：
70．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
71．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.
【详解】函数最小值为0，
设，
所以只要满足恒成立，
函数对称轴为，且，
①，即时，满足题意；
②，即时，
需满足，
即，得，
此时实数的取值范围是.
综上，实数的取值范围是
故答案为：.
72．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合对数函数值域可确定的值域包含，通过讨论对称轴的位置可求得的最大值，由包含关系可构造不等式求得结果.
【详解】当时，的值域为；
记，的值域为，
的值域为，；
当，即时，在上单调递增，
，解得：，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：或，或；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
73．（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 .
【答案】2
【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解.
【详解】当时，函数在区间上单调递增，
所以，解得
当时，函数在区间上单调递减，
所以，无解
故答案为：2
74．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
75．（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域；
（2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，结合可求得实数的值.
【详解】（1）对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
（2）因为且，
则，因为，则函数为上的增函数，
故，可得，又，解得.
76．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；
（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，舍去；
综上可知，；
（2）由（1）得，，
当时，，
即，化简得，
构造，
和分别在上单调递增，
在上单调递增，，
故实数的取值范围是.
考点九 与对数函数有关的函数的奇偶性
77．（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为 .
【答案】1或
【分析】由题意可得，求出，检验即可.
【详解】由题意知，定义域为，
函数是奇函数，则，
即，化解得，解得或，
经检验，或都符合要求.
故答案为：1或.
78．（2023春·四川绵阳·高二期末）若为奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，由奇函数的性质得出可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数即可.
【详解】因为，
当时，则，则函数的定义域为，
此时函数为非奇非偶函数，不合乎题意，所以，，
由可得且，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，所以，，解得，
则，
由奇函数的性质可得，解得，
此时，，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
合乎题意，故.
故答案为：.
79．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知函数为偶函数，则 .
【答案】/
【分析】利用偶函数定义即可求出的值.
【详解】根据题意，函数为偶函数，
则有，即，
变形可得，
必有；
故答案为：.
80．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 ．
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义求出a，再根据给定的单调性确定作答.
【详解】因为函数为R上的奇函数，则，，
即有恒成立，
因此对任意实数x恒成立，于是，解得，
当时，，函数与在上单调递增，
则函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，于是奇函数在上单调递增，即在R上单调递增，不符合题意，
当时，，因此函数在R上单调递减，符合题意，
所以实数a的值为1.
故答案为：1
81．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据函数的奇偶性判断周期性，带入解析式计算求函数值即可.
【详解】由题意可得，
故的一个正周期为4，即，
故答案为：1
82．（2023秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考开学考试）已知函数为奇函数，，若当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】所以，
所以是周期为的周期函数，
又函数为奇函数，当时，，
所以，即，可得，
则．
故答案为：
83．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）函数为偶函数，当时，，则时， ．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
考点十 对数型函数性质的综合应用
84．【多选】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
【答案】AB
【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可.
【详解】对于选项,函数的定义域为，解得，
即的定义域为，所以正确；
对于选项,，即为奇函数，所以正确；
对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，
所以不正确；
对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确；
故选：.
85．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）．
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求解；
（2）由对数函数性质转化不等式，再进行分离参数，转化为利用单调性求函数的最值，从而得参数范围．
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立．
即，
则，即．
又因为，所以，故．
（2）因为，所以．
由，得到，
又，故只需要，即对任意恒成立．
因为，所以，故对任意的恒成立．
因为在为减函数，所以，故．
综上所述，．
86．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知幂函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数得定义与性质求解即可；
（2）先判断出函数的单调性，由函数为奇函数可得不等式，即为不等式，再根据函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，函数为偶函数，不合题意，
当时，，函数为奇函数，符合题意，
由上知；
（2）由（1）得为上的增函数，且是奇函数，
由，得，即，
所以，即，所以，
即实数的取值范围.
87．（2023秋·四川·高一四川外国语大学附属外国语学校校考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，对任意当时，单调递增，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据为偶函数确定函数的对称轴，结合单调性解抽象不等式即可.
【详解】由函数的定义域为R，为偶函数，
所以，所以关于对称，
又当时，单调递增，，
所以，即，
当时，即时，，即，解集为空集，
当时，即，，即，解得，解得，
综上所述，不等式的解集为：，
故答案为: .
88．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由偶函数性质可知在上单调递增，并化简不等式为，由单调性可得，解对数不等式即可求得结果.
【详解】因为为上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以在上单调递增；
因为，
所以，
即，
所以，即或，
解得：或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
考点十一 反函数
89．（2023·全国·高一随堂练习）写出下列指数函数的反函数：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数函数与对数函数的关系即可得到答案.
【详解】（1）根据指数函数与对数函数的关系知其反函数为；
（2）根据指数函数与对数函数的关系知其反函数为；
90．（2023·全国·高一随堂练习）写出下列对数函数的反函数（用x表示自变量，用y表示函数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据函数的反函数的定义及求法，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
（2）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
（3）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
91．（2023·全国·高一专题练习）函数的反函数过点，则 .
【答案】3
【分析】代入计算求出，根据指数函数对数的关系则得到，则求出的值.
【详解】∵过点，∴，
∴（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知.
∴.
故答案为：3.
92．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，所以.
故选：A.
93．（2023秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解.
【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则，
定义域为，且在上单调递减，
令，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：（也正确）.
1、对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注：y＝lgπx是对数函数，y＝lg2eq \f(x,3)不是对数函数．
2、对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
注：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0
①上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴．
②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
3、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．
4、对数型函数的性质及应用
（1）y＝lgaf(x)型函数性质的研究
①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
②值域：在函数y＝lgaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝lgat的单调性确定函数的值域．
③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝lgat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)
④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝lgat的单调性，最后确定最值．
（2）lgaf(x)
②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
5、判断一个函数是对数函数的方法
注：对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出．
6、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
7、求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式(组)；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域．
8、对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
9、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
10、解决有关对数型函数图象问题的技巧
(1)求函数y＝m＋lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
11、比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
注：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
12、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
(3)形如lgaf(x)
注：解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则．
13、形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数0
14、(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
15、求对数型函数值域(最值)的方法
对于形如y＝lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：
(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数．
(2)求f(x)的定义域．
(3)求u的取值范围．
(4)利用y＝lgau的单调性求解．
16、与对数函数有关的函数的奇偶性
要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝lgag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称
考点一 对数函数的概念及应用
考点二 与对数函数有关的定义域
考点三 对数函数模型的应用
考点四 对数函数的图象及应用
（一）对数型函数图象的辨析
（二）作对数型函数图象
（三）对数函数的恒过定点问题
（四）对数函数图象的应用
考点五 比较大小
考点六 解对数不等式
考点七 对数型函数的单调性
考点八 与对数函数有关的值域与最值问题
考点九 与对数函数有关的函数的奇偶性
考点十 对数型函数性质的综合应用
考点十一 反函数
考点一 对数函数的概念及应用
1．（2023秋·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.
【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②和③符合对数函数的定义，是对数函数；
④中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤中系数不是，不是对数函数.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．
故答案为：（1）（2）（3）．
3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数定义直接判断即可.
【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
5．（2023秋·全国·高一随堂练习）若函数为对数函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可.
【详解】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用对数函数的解析式，求出，然后求解函数值即可．
【详解】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查对数函数的定义，是基础题．
7．【多选】（2023秋·全国·高一随堂练习）函数中，实数的取值可能是（ ）
A．B．3
C．4D．5
【答案】AC
【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可.
【详解】因为，
所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，
故选：AC.
8．（2023秋·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法，设出函数方程，把点代入求解即可.
【详解】设，结合已知有，
∴，又且，
∴，则，
故答案为：.
考点二 与对数函数有关的定义域
9．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是.
故答案为：
10．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
11．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
12．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可.
【详解】因为，
所以，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
13．（2023秋·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根根号里的数大于等于零，分母不等于零，即可得解.
【详解】，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（2023秋·北京·高三北京二十中校考阶段练习）函数的定义域为
【答案】
【分析】由对数及分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由解析式知：或，
所以函数定义域为.
故答案为：
15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.
【详解】已知函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
又，且，解得，且，
所以定义域为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案为：.
考点三 对数函数模型的应用
17．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.
【详解】根据题意，将，代入可得；
将，代入可得；
所以可知.
故选：D
18．（2023秋·山西大同·高三校联考阶段练习）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2023年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2023年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ．
【答案】4.3/
【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案.
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.
由已知可得.
所以，.
故答案为：．
19．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，
而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，
于是，，两式相减得，解得，
所以火箭发射时的声压约为.
故选：D
20．（2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
【答案】
【分析】设甲、乙游客的声强分别为、，大喝一声激起的涌泉最高高度为、米，则代入两式相减可得答案.
【详解】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．
故答案为：.
考点四 对数函数的图象及应用
对数型函数图象的辨析
21．（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，
（3）是，（4）是，又与关于轴对称，
（1）是．
故选：B．
22．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A,C的图象符合．
故选：AC
23．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案．
【详解】因为，即，
所以，
当时，则，
指数函数在上单调递减，且过点；
对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，
则在上单调递减且过点，故A符合题意；
当时，，
同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，
在上单调递增且过点，故B符合题意；
故选：AB．
24．（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.
【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；
对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；
对于C，时，为上增函数，图象错误；
对于D，时，为上增函数，图象错误；
故选：B
25．（2023·全国·高一专题练习）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由定义域和，使用排除法可得.
【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
26．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【详解】的定义域为且，
因为，所以为奇函数，排除A，D，
当时，，B错误，
故选：C.
27．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
作对数型函数图象
28．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．
【答案】
【分析】由对数函数的图象与性质判断
【详解】由题图可知，，，．
直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案.
【详解】的定义域为，
因为，所以是偶函数，
当时，单调递增，
由此可判断出选A
故选：A
30．（2023秋·吉林长春·高三校考开学考试）函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先做出的函数图像，经过逐步变换即可求解.
【详解】先画出的函数图像，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像，
故选：B.
31．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项.
【详解】，函数定义域为，
有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.
故选：C.
32．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可
【详解】求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题
对数函数的恒过定点问题
33．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）函数（且）的图象恒过点 ．
【答案】
【分析】根据题意，令，求得，即可求解.
【详解】由函数，令，即，
可得，所以函数恒过定点.
故答案为：.
34．（2023·全国·高一专题练习）函数（且）恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质即可得解．
【详解】由于（且），
则函数（且）恒过定点．
故选：D．
35．（2023秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】令真数解得，求出，即可求出函数所过定点.
【详解】令得，
又，
所以函数过定点
即的坐标为
故答案为：
36．（2023春·浙江温州·高二校考学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数，对数函数的性质，令，求出函数恒过的点的坐标.
【详解】当时，恒等于0，恒等于1，
故恒等于，所以的图象恒过的定点是.
故选：B
37．（2023秋·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
38．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求.
【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即，
函数且的定点为，
即.
故选：D
对数函数图象的应用
39．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
41．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证.
【详解】画出函数图象，如图，
因为，且，.
所以.且即.
对A，因为，所以，故A正确；
对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；
对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，,
因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确；
对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则.
因为函数在上单调递减，所以，故D正确.
故选：ABD
42．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，
要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
43．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数，若且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
考点五 比较大小
44．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，（，且）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，.
【分析】（1）（2）（3）构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小得解.
【详解】（1）函数在上单调递增，而，所以.
（2）函数在上单调递减，而，所以.
（3）函数（，且），
当时，在上单调递减，而，所以；
当时，在上单调递增，而，所以.
45．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，而，
所以.
故选：D
46．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系.
【详解】，
故选：D
47．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性得，由指数函数的性质得，即可比较.
【详解】，，
又，所以，即.
故选：A.
48．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小.
【详解】，，，
且，
故.
故选：A
49．（2023秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性比较的大小关系，并判断c的范围，即可得答案.
【详解】由于，
且，
故，
故选：C
50．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知函数，设，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.
【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数，
而，
因为，所以，即，
因为在上为增函数，且，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
考点六 解对数不等式
51．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集，补集，并集的定义判断A，C，D；由集合间的关系判断B.
【详解】由，则，解得：，
所以，
由可得，即，则，
解得：，故， 故B错误；
故A或，故A错误；
或，，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
52．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）不等式的解集 .
【答案】
【分析】根据对数不等式的解法求得正确答案.
【详解】，
故原不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
53．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解.
【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数，
则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
54．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可.
【详解】由题设，
则，即，可得.
故答案为：
55．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数x的集合：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化同底的对数不等式，然后再利用对数函数的单调性求解即可；
（2）利用对数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
（2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且，
所以，所以，所以使成立的实数x的集合为.
56．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域可得，将代入，结合对数函数单调性运算求解.
【详解】令，解得，可知的定义域为，
可得，解得，
关于不等式，即，
整理得，且在定义域内单调递增，
则，结合，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
57．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
考点七 对数型函数的单调性
58．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案.
【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误；
对于B，在区间上是减函数，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在区间上是增函数，故D错误；
故选：B.
59．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的严格增区间为 .
【答案】
【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解.
【详解】设，，
函数的定义域需满足，得，
根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数，
要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即，
综上可知，，即函数的严格增区间为.
故答案为：
60．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，再由复合函数单调性求出单调递减区间即得.
【详解】在函数中，，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故选：A
61．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）若幂函数过点，则函数的单调减区间是 .
【答案】
【分析】由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间.
【详解】解：∵幂函数过点，∴，即.
则函数.
由，解得：或.
∴函数的定义域为，
函数在上为减函数，而外函数为定义域内的增函数，
∴函数的单调减区间为.
故答案为：.
62．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义域和复合函数的单调性求单调区间即可.
【详解】由题意得，解得，
设，即求函数在中的减区间，即．
故选：C．
63．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得答案.
【详解】二次函数图象的对称轴为，
若函数在区间上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，即，
故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
64．（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．
【详解】解：令，
由题意知：在区间上单调递增且，
，解得，
则实数的取值范围是．
故选：C．
65．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】函数（且）在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
66．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当时，为增函数，当时，若单调递减，则，解方程即可得出答案.
【详解】当时，在上单调递增，
，所以在上单调递增，
而，即，解得，
所以当时，在上为增函数，
当时，，
若单调递减，则，无解.
故.
故选：A.
67．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．
【详解】因为是上的单调递减函数，
所以，解得．
故选：C．
考点八 与对数函数有关的值域与最值问题
68．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.
【详解】因为，
令，则，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
69．（2023·全国·高一专题练习）若定义运算，则函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.
【详解】依题意，由，得，即，解得，
由解得，因此，
显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，
所以函数的值域为.
故答案为：
70．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
71．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.
【详解】函数最小值为0，
设，
所以只要满足恒成立，
函数对称轴为，且，
①，即时，满足题意；
②，即时，
需满足，
即，得，
此时实数的取值范围是.
综上，实数的取值范围是
故答案为：.
72．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合对数函数值域可确定的值域包含，通过讨论对称轴的位置可求得的最大值，由包含关系可构造不等式求得结果.
【详解】当时，的值域为；
记，的值域为，
的值域为，；
当，即时，在上单调递增，
，解得：，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：或，或；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
73．（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 .
【答案】2
【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解.
【详解】当时，函数在区间上单调递增，
所以，解得
当时，函数在区间上单调递减，
所以，无解
故答案为：2
74．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
75．（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域；
（2）求得，求出的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数的等式，结合可求得实数的值.
【详解】（1）对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
（2）因为且，
则，因为，则函数为上的增函数，
故，可得，又，解得.
76．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；
（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，舍去；
综上可知，；
（2）由（1）得，，
当时，，
即，化简得，
构造，
和分别在上单调递增，
在上单调递增，，
故实数的取值范围是.
考点九 与对数函数有关的函数的奇偶性
77．（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为 .
【答案】1或
【分析】由题意可得，求出，检验即可.
【详解】由题意知，定义域为，
函数是奇函数，则，
即，化解得，解得或，
经检验，或都符合要求.
故答案为：1或.
78．（2023春·四川绵阳·高二期末）若为奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，由奇函数的性质得出可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数即可.
【详解】因为，
当时，则，则函数的定义域为，
此时函数为非奇非偶函数，不合乎题意，所以，，
由可得且，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，所以，，解得，
则，
由奇函数的性质可得，解得，
此时，，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
合乎题意，故.
故答案为：.
79．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知函数为偶函数，则 .
【答案】/
【分析】利用偶函数定义即可求出的值.
【详解】根据题意，函数为偶函数，
则有，即，
变形可得，
必有；
故答案为：.
80．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为 ．
【答案】1
【分析】利用奇函数的定义求出a，再根据给定的单调性确定作答.
【详解】因为函数为R上的奇函数，则，，
即有恒成立，
因此对任意实数x恒成立，于是，解得，
当时，，函数与在上单调递增，
则函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，于是奇函数在上单调递增，即在R上单调递增，不符合题意，
当时，，因此函数在R上单调递减，符合题意，
所以实数a的值为1.
故答案为：1
81．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据函数的奇偶性判断周期性，带入解析式计算求函数值即可.
【详解】由题意可得，
故的一个正周期为4，即，
故答案为：1
82．（2023秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考开学考试）已知函数为奇函数，，若当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.
【详解】所以，
所以是周期为的周期函数，
又函数为奇函数，当时，，
所以，即，可得，
则．
故答案为：
83．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）函数为偶函数，当时，，则时， ．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
考点十 对数型函数性质的综合应用
84．【多选】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．为奇函数
C．在定义域上是增函数D．的值域为
【答案】AB
【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可.
【详解】对于选项,函数的定义域为，解得，
即的定义域为，所以正确；
对于选项,，即为奇函数，所以正确；
对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，
所以不正确；
对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确；
故选：.
85．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）．
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求解；
（2）由对数函数性质转化不等式，再进行分离参数，转化为利用单调性求函数的最值，从而得参数范围．
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立．
即，
则，即．
又因为，所以，故．
（2）因为，所以．
由，得到，
又，故只需要，即对任意恒成立．
因为，所以，故对任意的恒成立．
因为在为减函数，所以，故．
综上所述，．
86．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知幂函数是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数得定义与性质求解即可；
（2）先判断出函数的单调性，由函数为奇函数可得不等式，即为不等式，再根据函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，函数为偶函数，不合题意，
当时，，函数为奇函数，符合题意，
由上知；
（2）由（1）得为上的增函数，且是奇函数，
由，得，即，
所以，即，所以，
即实数的取值范围.
87．（2023秋·四川·高一四川外国语大学附属外国语学校校考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，对任意当时，单调递增，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据为偶函数确定函数的对称轴，结合单调性解抽象不等式即可.
【详解】由函数的定义域为R，为偶函数，
所以，所以关于对称，
又当时，单调递增，，
所以，即，
当时，即时，，即，解集为空集，
当时，即，，即，解得，解得，
综上所述，不等式的解集为：，
故答案为: .
88．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由偶函数性质可知在上单调递增，并化简不等式为，由单调性可得，解对数不等式即可求得结果.
【详解】因为为上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以在上单调递增；
因为，
所以，
即，
所以，即或，
解得：或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
考点十一 反函数
89．（2023·全国·高一随堂练习）写出下列指数函数的反函数：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数函数与对数函数的关系即可得到答案.
【详解】（1）根据指数函数与对数函数的关系知其反函数为；
（2）根据指数函数与对数函数的关系知其反函数为；
90．（2023·全国·高一随堂练习）写出下列对数函数的反函数（用x表示自变量，用y表示函数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据函数的反函数的定义及求法，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
（2）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
（3）解：由函数的值域为，解得，所以其反函数为；
91．（2023·全国·高一专题练习）函数的反函数过点，则 .
【答案】3
【分析】代入计算求出，根据指数函数对数的关系则得到，则求出的值.
【详解】∵过点，∴，
∴（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知.
∴.
故答案为：3.
92．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，所以.
故选：A.
93．（2023秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解.
【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则，
定义域为，且在上单调递减，
令，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：（也正确）.
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