4.5.2 用二分法求方程的近似解2种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注：（1）二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
（2）二分法的解题原理是函数零点存在定理．
2、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
（2）求区间(a，b)的中点c.
（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
注：关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
如计算，精确到0.01，即0.33
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
3、运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
4、利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
考点一 二分法概念的理解
考点二 用二分法求方程的近似解
考点一 二分法概念的理解
1．（2023秋·高一课时练习）判断正误（正确的打正确，错误的打错误）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
（2）精确度就是近似值．( )
（3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．( )
（4）在一定精确度下，近似值是唯一的．( )
2．【多选】（2023·全国·高一假期作业）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则在上不存在零点B．若，则在上至少有一个零点C．若在内有且只有一个零点，则D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
3．（2023秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．【多选】（2023秋·高一课时练习）下列函数图象与轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C．D．
5．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·高一单元测试）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 .
考点二 用二分法求方程的近似解
10．（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ．
11．（2023·全国·高一假期作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）.
12．（2023秋·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 .
13．（2023·全国·高一随堂练习）判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
14．（2023秋·全国·高一随堂练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
15．（2023·全国·高一专题练习）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）
A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5
16．（2023秋·高一课时练习）下表是连续函数在区间上一些点的函数值:
由此可判断，方程的一个近似解为 （误差不超过0.1）.
17．（2023·全国·高一专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)．
18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7B．6次0.6
C．5次0.7D．5次0.6
19．【多选】（2023秋·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（ ）
A．可以确定的一个零点，满足
B．第二次应计算，若，第三次应计算
C．第二次应计算，若，第三次应计算
D．第二次应计算，若，第三次应计算
20．（2023秋·高一课时练习）一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A．次B．次
C．次D．次
x
1
1.25
1.375
1.5
2
0.625
6
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483