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- 5.1 任意角与弧度制7种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 5.2.1 三角函数的概念5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 5.3 诱导公式5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 5.4 三角函数的图象与性质12种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
- 5.5 三角恒等变换11种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册） 试卷 0 次下载
5.2.2 同角三角函数的基本关系6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）
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这是一份5.2.2 同角三角函数的基本关系6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含522同角三角函数的基本关系6种常见考法归类原卷版docx、522同角三角函数的基本关系6种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1、同角三角函数的基本关系
注意以下三点：
（1） “同角”有两层含义：
一是“角相同”，
二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝eq \f(sin α,cs α)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．
2、已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cs α＝±eq \r(1－sin2α)，求得cs α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(2)若已知cs α＝m，可以先应用公式sin α＝±eq \r(1－cs2α)，求得sin α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝m⇒sin α＝mcs α及sin2α＋cs2α＝1，求得cs α＝±eq \f(1,\r(1＋m2))，sin α＝±eq \f(m,\r(1＋m2))的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
3、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
4、正、余弦齐次式的计算
(1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
5、sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的关系
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．
6、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或eq \f(左边,右边)＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简、求值
考点三 正、余弦齐次式的计算
考点四 由条件等式求正、余弦
考点五 sinθ±csθ型求值问题
考点六 三角函数恒等式的证明
考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值
1．（2023上·四川·高三统考学业考试）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数基本关系求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.
【详解】由题意得，
则，
故选：A.
3．（2023·湖北·高二统考学业考试）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.
【详解】由题设.
故选：A
4．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）设为第二象限角，若，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可.
【详解】为第二象限角，则，，
若，则有，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；
（2）已知，在第二象限，求，的值；
（3）已知，求，的值；
（4）已知，求，的值．
【答案】见解析
【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可.
【详解】（1），在第四象限，
；
（2），在第二象限，
；
（3），
，
当为第二象限角时，，
当为第四象限角时，，
（4），
当为第一象限角时，，，
当为第四象限角时，时，．
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简求值
6．（2023上·江苏·高一专题练习）化简：
(1)－；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)1
(3)．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；
（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解；
（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.
【详解】（1）原式＝.
（2）原式＝
（3）原式＝
7．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根据及求解.
（2）根据求解.
【详解】（1）.
（2）.
8．（2023·全国·高一随堂练习）化简：．
【答案】答案见详解
【分析】先根据式子有意义求的范围，然后利用平方关系化简目标式，再根据进行分类去绝对值，利用辅助角公式化简.
【详解】由题知，，得且，
当时，，原式；
当时，，，原式；
当的终边不在坐标轴上时，有，
所以，原式
当为第一象限角时，
原式；
当为第二象限角时，
原式；
当为第三象限角时，
原式；
当为第四象限角时，
原式.
综上，当时，原式；
当为第二象限角时，原式；
当为第三象限角时，原式；
当为第四象限角时，原式.
9．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.
【详解】显然，
因此，从而，
对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；
对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；
对于C ，因为为第三象限角，所以，C可能；
对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.
故选：B
10．（2023·全国·高一课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.
（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】（1）原式
．
（2）因为，所以．
原式．
考点三 正、余弦齐次式的计算
11．（2023上·山东青岛·高二校考期中）已知，则 .
【答案】
【分析】利用弦化切求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
12．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知，则 .
【答案】/
【分析】由，再将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
13．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则 .
【答案】
【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则
.
故答案为：.
14．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若，那么 ．
【答案】1
【分析】弦化切即可.
【详解】
故答案为：1
15．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么 ， ， ．
【答案】 1 /0.6 /0.6
【分析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值.
【详解】由，得，
，
．
故答案为：1，，
16．（2023上·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.
【详解】由题意知，则
，
故选：D
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
18．（2023下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.
【详解】若，则，不合题意，所以，
由，可得，解得，
所以.
故选：C.
19．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知角终边上, 且，求的值．
【答案】2或0
【分析】首先根据正切函数的定义，求，再将关于的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.
【详解】由于，故，解得.
当时, ，
当，
考点四 由条件等式求正、余弦
20．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）若，则
【答案】
【分析】由已知结合，求解、的值，由即可求解.
【详解】由可得：，
由 可得：，
解得：或，
因为，所以，
所以，，，
故答案为：.
21．（2023上·四川南充·高一统考期末）若，则 .
【答案】
【解析】根据同角三角函数关系变形即可得解.
【详解】因为，所以，
由题：，
即，
所以.
故答案为：
【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.
22．（2023上·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，
所以.
故选：D
23．（2023上·高一课时练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故选：C.
24．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值.
【详解】由题设，又，
所以，
则.
故选：C
25．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知，那么的值为（ ）
A．6B．4C．2D．0
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，则，代入即可求解.
【详解】，则，
解得或（舍去），
故，.
故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题.
考点五 sinθ±csθ型求值问题
26．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知，且则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由两边平方得到，进而得到，联立求出，得到答案.
【详解】由，两边平方得，
因为，所以，
又，
又因为，所以，，得，
联立与，
求得，故
故选：C
27．【多选】（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先利用题给条件求得的值，进而得到的范围，的值和的值.
【详解】由可得，，
则，即
解之得或,
又，则，故，则选项B判断正确；
由，可得为第四象限角，
又，则，则选项A判断错误；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断正确.
故选：BD
28．【多选】（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对A， 由平方法求得的符号，结合角的范围即可判断；对BCD，结合平方关系及角的范围即可求解判断.
【详解】对A，，∵，则，∴，∴，A对；
对BCD，∵，，联立可解得，，BD对，C错.
故选：ABD.
29．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足，则 ．
【答案】
【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由是第四象限角，可得，则，
因为，可得，
可得，
又由，
因为，可得，
联立方程组，可得，所以.
故答案为：.
30．（2023上·江苏·高一专题练习）已知（），求和的值．
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.
【详解】由，得，即，
解得，而，则，
因此，
所以，.
31．（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则 ．
【答案】/
【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.
【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或，
由根与系数的关系得：，所以：，
即：，解得：，（舍去），
.
故答案为：.
32．【多选】（2023上·山东济南·高一济南三中校考期末）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
考点六 三角函数恒等式的证明
33．（2023下·河南许昌·高一校考期中）证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.
【详解】左边右边.
所以.
34．（2023上·高一课时练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵，
∴＝.
35．（2023·高一单元测试）求证:.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果.
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
1、同角三角函数的基本关系
注意以下三点：
（1） “同角”有两层含义：
一是“角相同”，
二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝eq \f(sin α,cs α)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．
2、已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cs α＝±eq \r(1－sin2α)，求得cs α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(2)若已知cs α＝m，可以先应用公式sin α＝±eq \r(1－cs2α)，求得sin α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝m⇒sin α＝mcs α及sin2α＋cs2α＝1，求得cs α＝±eq \f(1,\r(1＋m2))，sin α＝±eq \f(m,\r(1＋m2))的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
3、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
4、正、余弦齐次式的计算
(1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
5、sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的关系
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．
6、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或eq \f(左边,右边)＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简、求值
考点三 正、余弦齐次式的计算
考点四 由条件等式求正、余弦
考点五 sinθ±csθ型求值问题
考点六 三角函数恒等式的证明
考点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值
1．（2023上·四川·高三统考学业考试）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数基本关系求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.
【详解】由题意得，
则，
故选：A.
3．（2023·湖北·高二统考学业考试）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.
【详解】由题设.
故选：A
4．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）设为第二象限角，若，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可.
【详解】为第二象限角，则，，
若，则有，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；
（2）已知，在第二象限，求，的值；
（3）已知，求，的值；
（4）已知，求，的值．
【答案】见解析
【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可.
【详解】（1），在第四象限，
；
（2），在第二象限，
；
（3），
，
当为第二象限角时，，
当为第四象限角时，，
（4），
当为第一象限角时，，，
当为第四象限角时，时，．
考点二 利用同角三角函数的基本关系化简求值
6．（2023上·江苏·高一专题练习）化简：
(1)－；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)1
(3)．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；
（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解；
（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.
【详解】（1）原式＝.
（2）原式＝
（3）原式＝
7．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根据及求解.
（2）根据求解.
【详解】（1）.
（2）.
8．（2023·全国·高一随堂练习）化简：．
【答案】答案见详解
【分析】先根据式子有意义求的范围，然后利用平方关系化简目标式，再根据进行分类去绝对值，利用辅助角公式化简.
【详解】由题知，，得且，
当时，，原式；
当时，，，原式；
当的终边不在坐标轴上时，有，
所以，原式
当为第一象限角时，
原式；
当为第二象限角时，
原式；
当为第三象限角时，
原式；
当为第四象限角时，
原式.
综上，当时，原式；
当为第二象限角时，原式；
当为第三象限角时，原式；
当为第四象限角时，原式.
9．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.
【详解】显然，
因此，从而，
对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；
对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；
对于C ，因为为第三象限角，所以，C可能；
对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.
故选：B
10．（2023·全国·高一课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.
（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】（1）原式
．
（2）因为，所以．
原式．
考点三 正、余弦齐次式的计算
11．（2023上·山东青岛·高二校考期中）已知，则 .
【答案】
【分析】利用弦化切求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
12．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知，则 .
【答案】/
【分析】由，再将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
13．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则 .
【答案】
【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则
.
故答案为：.
14．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若，那么 ．
【答案】1
【分析】弦化切即可.
【详解】
故答案为：1
15．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么 ， ， ．
【答案】 1 /0.6 /0.6
【分析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值.
【详解】由，得，
，
．
故答案为：1，，
16．（2023上·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.
【详解】由题意知，则
，
故选：D
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
18．（2023下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.
【详解】若，则，不合题意，所以，
由，可得，解得，
所以.
故选：C.
19．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知角终边上, 且，求的值．
【答案】2或0
【分析】首先根据正切函数的定义，求，再将关于的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.
【详解】由于，故，解得.
当时, ，
当，
考点四 由条件等式求正、余弦
20．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）若，则
【答案】
【分析】由已知结合，求解、的值，由即可求解.
【详解】由可得：，
由 可得：，
解得：或，
因为，所以，
所以，，，
故答案为：.
21．（2023上·四川南充·高一统考期末）若，则 .
【答案】
【解析】根据同角三角函数关系变形即可得解.
【详解】因为，所以，
由题：，
即，
所以.
故答案为：
【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.
22．（2023上·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，
所以.
故选：D
23．（2023上·高一课时练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故选：C.
24．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值.
【详解】由题设，又，
所以，
则.
故选：C
25．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知，那么的值为（ ）
A．6B．4C．2D．0
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，则，代入即可求解.
【详解】，则，
解得或（舍去），
故，.
故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题.
考点五 sinθ±csθ型求值问题
26．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知，且则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由两边平方得到，进而得到，联立求出，得到答案.
【详解】由，两边平方得，
因为，所以，
又，
又因为，所以，，得，
联立与，
求得，故
故选：C
27．【多选】（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先利用题给条件求得的值，进而得到的范围，的值和的值.
【详解】由可得，，
则，即
解之得或,
又，则，故，则选项B判断正确；
由，可得为第四象限角，
又，则，则选项A判断错误；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断正确.
故选：BD
28．【多选】（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对A， 由平方法求得的符号，结合角的范围即可判断；对BCD，结合平方关系及角的范围即可求解判断.
【详解】对A，，∵，则，∴，∴，A对；
对BCD，∵，，联立可解得，，BD对，C错.
故选：ABD.
29．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足，则 ．
【答案】
【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由是第四象限角，可得，则，
因为，可得，
可得，
又由，
因为，可得，
联立方程组，可得，所以.
故答案为：.
30．（2023上·江苏·高一专题练习）已知（），求和的值．
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.
【详解】由，得，即，
解得，而，则，
因此，
所以，.
31．（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则 ．
【答案】/
【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.
【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或，
由根与系数的关系得：，所以：，
即：，解得：，（舍去），
.
故答案为：.
32．【多选】（2023上·山东济南·高一济南三中校考期末）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
考点六 三角函数恒等式的证明
33．（2023下·河南许昌·高一校考期中）证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.
【详解】左边右边.
所以.
34．（2023上·高一课时练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵，
∴＝.
35．（2023·高一单元测试）求证:.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果.
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
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