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江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）（Word版附解析）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A. 90B. 91C. 90.5D. 92
2. 已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与圆C始终有两个交点
B. 若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 圆C与轴相切
3. 已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
4. 高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列的前n项和分别为，记，则数列的前2021项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（ ）.
A B. C. D.
7. 已知，且，则可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时，当，若关于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. (-1,0)∪(0,+∞) B.
C. D. (2+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A.
B.
C.
D.
10. 如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期是
B. 函数的最小正周期是
C.
D.
11. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数在上满足阶李普希兹条件
B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为
C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解
D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为______象限.
13. 已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
14. 地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为___________.(参考数据：)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
16. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.
（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.
17. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
18. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A. 90B. 91C. 90.5D. 92
2. 已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与圆C始终有两个交点
B. 若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 圆C与轴相切
3. 已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
4. 高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列的前n项和分别为，记，则数列的前2021项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（ ）.
A B. C. D.
7. 已知，且，则可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时，当，若关于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. (-1,0)∪(0,+∞) B.
C. D. (2+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A.
B.
C.
D.
10. 如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期是
B. 函数的最小正周期是
C.
D.
11. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数在上满足阶李普希兹条件
B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为
C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解
D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为______象限.
13. 已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
14. 地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为___________.(参考数据：)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
16. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.
（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.
17. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
18. 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
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