山东省菏泽市定陶区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份山东省菏泽市定陶区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，则锐角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( )
A．﹣1B．2C．﹣1或3D．3
3．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．
5．从下列4个函数：①；②；③；④中任取一个，函数值随自变量的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A．B．
C．D．
7．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
9．如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论：
①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．函数的自变量的取值范围是 ．
12．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
13．将分别标有“最”、“美”、“菏”、“泽”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“菏泽”的概率是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
15．如图，在中，，，，则的半径为 ．
四、填空题
16．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
五、解答题
17．（1）解方程：
（2）计算：
18．若方程有实数根
(1)求的取值范围；
(2)若有一个根为，求另一个根及的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
20．一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于左右．
(1)请你估计箱子里红色小球的个数；
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
21．如图，已知的边是⊙O的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？
23．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元．
(1)当每月获利5250元时，求此时每顶头盔的售价．
(2)当每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
(1)求点到的距离；
(2)求点E运动的距离．
25．如图，已知抛物线经过点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点（点P在直线的下方），过点P作轴，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，求线段的长（用含m的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接、，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
26．（1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值；
（2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度（点E在的内部），如图2，连接，求的值；
（3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，如图3，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．据此解答即可．
【详解】解：∵，为锐角，
∴．
故选：C．
2．A
【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．
【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，
解得：a=-1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
【分析】根据圆周角定理解决问题即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
4．D
【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论．根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解．
【详解】解：当关于x的方程是一元一次方程时，
∴，
∴方程为，有实数根，符合题意；
当关于x的方程是一元二次方程时，
∵方程有实数根，
∴，，
解得：，且，
综上所述，实数k的取值范围是．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了函数的增减性，概率计算，先根据函数的性质，再运用简单地概率计算求解即可．
【详解】根据题意，得有4种等可能性，其中．①；②；④，函数值随自变量的增大而增大，有3种等可能性，
故函数值随自变量的增大而增大的概率是，
故选C．
6．B
【分析】由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件182万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件50万个，五、六月份平均每月的增长率为，
∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A
【详解】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．
8．A
【分析】根据反比例函数y系数的几何意义得到，，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵轴于点A，交于点B，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
9．A
【分析】过点作于点，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，
∵，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断①；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断②；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥；综上即可得答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为，
∴，，
∴，故①正确，
∵抛物线轴的一个交点在和之间，
∴图像与轴的另一个交点在和之间，
∴时，即，故②错误，
∵图像与轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，故③错误，
由图像可知：时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
∵抛物线的对称轴为，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
∴，
∴，故⑤正确，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的两个根的和为2，
∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥正确，
综上所述：正确的结论有①④⑤⑥，共个，
故选：D．
11．且
【分析】本题考查求自变量的取值范围，分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数．由此即可求解．
【详解】解：由题意知，，
解得且，
故答案为：且．
12．
【分析】反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．
【详解】解：由题意得，
解得．
【点睛】本题是反比例函数的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
13．
【分析】本题考查列表法与树状图，概率的知识。解题的关键是根据题意，画出树状图得到所有的结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如下：

由树状图可知：共种等可能结果，其中两次摸出的球组成“荷泽”的有种结果，
∴两次摸出的球组成“荷泽”的概率为：．
故答案为：．
14．
【分析】根据矩形的性质得出∠B=∠DAB=90°，AD=BC=AE=2，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD=BC=2，
∴∠B=∠DAB=90°，AD=AE=2，
∵AB= ，
∴cs∠BAE=
∴∠BAE=30°，∠EAD=60°，
∴BE= AE=1，
∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形EAD
=×2- ××1-=
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．
15．
【分析】过点A作交的延长线于点E，连接，先求出，则，利用等腰直角三角形的性质得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：过点A作交的延长线于点E，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．/
【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意得：，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
当时，，
．
所以通过隧道车辆的高度限制应为米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
17．（1），；（2）
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）首先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，有理数的乘方和绝对值，然后计算加减．
【详解】（1）
解：，，，
．
，；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值，有理数的乘方，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根为，则是解题的关键．
（1）根据根的判别式可得，建立关于的不等式，求解即可；
（2）设方程的另一根为，根据根与系数关系得，，求解即可．
【详解】（1）解：
方程总有实数根，
，
；
（2）解：设方程的另一根为，根据根与系数关系，得
，
，
19．(1)；
(2)或
【分析】（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴将代入，得，
∴.
将，代入，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由可知，
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
20．(1)箱子里红色小球的个数为
(2)
【分析】（1）根据摸到白色小球的频率稳定于左右，得到摸到白色小球的概率是，设红色小球的个数为，根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求出概率即可．
【详解】（1）解：∵摸到白色小球的频率稳定于左右，
∴摸到白色小球的概率是，
设红色小球的个数为，由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解；
∴箱子里红色小球的个数为；
（2）画出树状图，如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用切线的性质得出，由得出，由得出，即可证明，再根据平行线的性质即可得证即可．
（2）利用，在中计算解题即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的切线，切点为E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：设的半径为r，
∵，，
∴，
在中，，
解得： ，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的性质，涉及到三角函数的运算，能够熟练运用圆的性质，切线的性质及三角函数的定义进行计算是解题关键．
22．秒或秒
【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间，本题运用了分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．解题的关键是掌握相似三角形的性质．
【详解】解：设当移动秒时，两三角形相似，
∵动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，，，，
∴的取值范围为，，，
∴，
（1）当时，则，
∴，
解得：；
（2）当时，则，
∴，
解得：，
验证可知（1）（2）两种情况下所求的的值均满足条件，
综上所述，当运动时间为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似．
23．(1)头盔的销售单价为65元
(2)当每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
（1）设降价元，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）设降价元，每月的利润为元，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设降价元，每月的利润为5250元，
根据题意，得，
解得，（不合题意舍去），
答：头盔的销售单价为65元．
（2）设降价元，每月的利润为元，
根据题意得，，
不能亏本且降价不低于0元，
当时，每月的销售利润最大，
答：当每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元．
24．(1)厘米
(2)厘米
【分析】（1）过点作交于F，在中，可求得，由题意得四边形是矩形，且，从而可求得的长；
（2）连接，由勾股定理求得扇形半径长，由弧长公式即可求得结果．
【详解】（1）解：过点作交于F，如图，
由旋转知，厘米
∵，厘米，
∴在中，厘米，
由题意得四边形是矩形，
∴厘米，
∴厘米；

即点到BC的距离厘米；
（2）解：连接，如图，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：（厘米），
∴点E运动的距离为：（厘米）．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求点运动路径长等知识，把实际问题转化为数学问题是问题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题为二次函数综合题，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数性质等知识．
（1）根据待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）求出直线解析式为，则，即可得到；
（3）根据即可求出，根据二次函数性质得到当 时，S取最大值 ，此时，即可得到．
【详解】（1）解：把 点和点代入 得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线解析式为，
∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∵点P的横坐标为m，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴
．
∵，
∴当 时，S取最大值 ，此时，
∴．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到；
（2）先证明，再由，可证明，则；
（3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．