浙江省宁波市余姚市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省宁波市余姚市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．直线与x轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．C． D．
5．下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．，，C．2，3，4D．6，8，10
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
7．如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（ ）
A． B． C．D．
8．如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．始终为等腰直角三角形
9．我们规定：当，为常数，，，时，一次函数与互为交换函数，例如：的交换函数为．一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中， 于点F， 于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为（ ）
A．7B．8C．D．
二、填空题
11．“x是正数”用不等式表示为 ．
12．写出一个经过点的函数表达式 ．
13．命题“互补的两个角一定有一个是锐角，另一个是钝角”是一个假命题，可举的反例为 ．
14．一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
15．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， cm．

16．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为 ．
三、解答题
17．解一元一次不等式组：．
18．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示．
(1)请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）；
(2)写出点B关于x轴的对称点的坐标．
19．如图，在与中，与交于点E，且，．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．小聪用元钱去购买笔记本和钢笔．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．
(1)若小聪已经购买了支钢笔，问最多还能买几本笔记本？
(2)若小聪想购买笔记本和钢笔共件，问最多能买几支钢笔？
21．如图，在中，，，点D在边上，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
22．已知甲、乙两城市之间每隔有一列动车组列车以相同的速度从甲城开往乙城．如图，是第一列动车组列车离开甲城的路程与运行时间的函数图象，是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程与运行时间的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)从图象可知，动车组列车的行驶速度为_______；
(2)请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程与时间的函数图象；
(3)若普通快车的速度为，问第一列动车组列车出发多长时间后与这列普通快车相遇？
23．如图，，，，、交于点，，平分，交于点，交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．
(1)在中，的和谐点是_______；
(2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标；
(3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
选项A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．D
【分析】由题意直接根据各象限内点的坐标特征进行分析解答即可．
【详解】解：点在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(−，+)；第三象限(−，−)；第四象限(+，−)．
3．C
【分析】令一次函数的解析式中求出x的值，即可得到直线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令直线中，则，
解得，
∴直线与x轴的交点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题．解题的关键是令中求出x的值．
4．C
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数不等式的性质不变，不等式两边同时乘以或除以一个正数不等式的方向不变，不等式两边同时乘以或除以一个负数不等式的方向改变逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴根据不等式的性质1，得；
根据不等式的性质1和2，得；
根据不等式的性质3，得；
根据不等式的性质1，得，
∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，本选项符合题意；
D、，故是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案．
【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意；
C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、∵，，，根据即可证明．
B、∵，，，根据即可证明．
C、∵，∴，∵，，根据即可证明．
D、∵，，，不能判定．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接；A：证即可判断；B：由题意可推出，，据此即可判断；C：根据即可判断；D：根据即可判断；
【详解】解：连接，
∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴．
故A选项中的结论正确．
∵，
∴，
即．
∴，
又∵，
而与不一定相等，
∴不一定等于．
故B选项中的结论错误．
在中，
∴．
故C选项中的结论正确．
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
故D选项中的结论正确．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查的知识点是新定义函数、一次函数的交点问题，解题关键是理解题意求得交换函数解析式．
先求交换函数解析式，再根据两函数有交点得到即可求解．
【详解】解：依题得：一次函数的交换函数为，且，
两函数有交点，则，
，
，
，
即一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为
故选：．
10．C
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，
∵，
∴F是中点，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出不等式．
x是正数，正数即，据此列不等式．
【详解】解：由题意得．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数．本题考查函数解析式，解题的关键是正确列出函数解析式．
【详解】解：所求函数表达式只要图象经过点即可，
如，
故答案为：（答案不唯一）．
13．两个角分别为
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：命题“互补的两个角一定有一个是锐角，另一个是钝角”是一个假命题，可举的反例为两个角分别为；
故答案为：两个角分别为．
【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握利用举反例来判断命题的真假是解题的关键．
14．m＜3
【详解】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜3．
15．
【分析】先利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，再根据进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形面积，正确理解题意得到是解题的关键．
16．
【分析】过点M作于点N，设与交于点K，如图，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，．求得，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，以及勾股定理等知识，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
17．；
【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解求解即可得到答案．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
18．(1)图见详解；
(2)；
【分析】（1）本题考查画平移图形，根据平移的方向及单位长度直接画即可得到答案；
（2）本题考查求关于坐标轴对称点的坐标，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得， 如图所示，
；
（2）解：由图像可得，，
∵点是点B关于x轴的对称的点，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，
（1）根据，，，由即可证明；
（2）由得到，则是等腰三角形，即可得到．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
20．(1)小聪最多还能买本笔记本
(2)最多能买支钢笔
【分析】（1）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案；
（2）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设小聪还能买x本笔记本，由题意得，
，
解得：，
∴小聪最多还能买本笔记本，
答：小聪最多还能买本笔记本；
（2）解：设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本本，
由题意得：，
解得：，
答：最多能买支钢笔．
21．(1)12
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式；
（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可；
（2）过点B作于点N，根据三角形的面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而根据等腰三角形的性质可得的长．
【详解】（1）解：过点A作于点M，
∵，，
∴M是的中点，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）过点B作于点N，
∵，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)见解析；
(3)第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇．
【分析】（）根据题意理解图象的实际意义，利用“速度距离时间”即可得解；
（）根据速度相同可知两直线平行，由间隔时间为小时可知直线过，画出图象即可；
（）设第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇，构建解方程即可得相遇时间；
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质及观察图象，从中获取信息是解题的关键．
【详解】（1）由图象可知，普通列车发车时间比第一列动车组晚，点纵坐标实际意义为甲、乙两城市之间的距离为，
∴动车组的速度为．
故答案为：；
（2）根据题意得：
（3）设第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇，由题意得：
，
解得，
答：第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇．
23．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，根据及得出，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得答案；
（2）根据，通过等量代换即可得答案；
（3）过点作于点，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点作于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．(1)，
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，根据定义即可进行判断；
（2）由题意得，分类讨论当时和当时，两种情况即可求解；
（3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上；即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
，
，
∴，
∴不是△ABC的和谐点；
∵，
∴，，
∴，
∵在内，
∴是的和谐点；
∵，
∴，，
∴
∵在内，
∴是的和谐点；
故答案为：，
（2）解：①由可知，当P在内部时，，
②当时，过P作轴于H，过A作于G，如图：
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
设
∵
∴
解得：
∴P
③当时，过A作交延长线于Q，如图：
∵
∴B，C关于y轴对称，
∵，
∴P在y轴上，
同②可得Q
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
在中，令得，
∴
综上所述，P的坐标为或
（3）解：由题意知，的和谐点P，满足或，
若，则点P在线段的垂直平分线上，
若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上；
设的中点为K，线段的垂直平分线交于T，如图，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设
∵，
∴
解得，
∴T，
∵线段的中点；
直线l上存在的两个和谐点，
∴直线l与y轴，线段都相交，
∴．
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识点，正确理解定义是解题关键．