陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品,对其质量进行了抽检,则( )
A.该市场监管局的调查方法是普查
B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量
C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品
D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数
2．已知复数,则( )
A.B.8iC.D.
3．已知复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．高一某班级有男生35人,女生15人,用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本,抽出的男生平均体重为70kg,抽出的女生平均体重为50kg,估计该班的平均体重是( )
A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg
5．某科研所对实验室培育得到的A,B两种植株种子进行种植实验,记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是( )
A.A种子;A种子B.B种子;B种子
C.A种子;B种子D.B种子;A种子
6．在四面体ABCD中,为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则下列说法正确的是( )
A.AB与CD可能垂直
B.A在平面BCD内的射影可能是B
C.AB与CD不可能垂直
D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
7．已知中,D是BC的中点,且,,则向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
8．在正方体中,平面经过点B、D,平面经过点A、,当平面,分别截正方体所得截面面积最大时,平面,所成的锐二面角大小为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设a,b为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列结论不正确的是( )
A.若,,则B.若,,,则
C.若,,b∥β,则D.若,,则
10．在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包,假设行李包所受重力为,作用在行李包上的两个拉力分别为,,且,与的夹角为,下列结论中正确的是( )
A.越小越省力,越大越费力B. 的范围为
C.当时,D.当时,
11．已知是等腰直角三角形,,用斜二测画法画出它的直观图 ,则的长可能是( )
A.B.C.D.
12．如图所示,在边长为3的等边三角形ABC中,,且点P在以AD的中点O为圆心,OA为半径的半圆上,若,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.存在最大值D.的最大值为
三、填空题
13．已知向量,,,且,则实数m的值为_________________.
14．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球,选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第3个红色球的编号为 .
15．在中,,,BC边上的高为2,则满足条件的的个数为________________.
16．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度）,如图2所示.已知球的半径为R,酒杯的容积,则其内壁表面积为____________.
四、解答题
17．已知,其中,是夹角为的单位向量.
(1)求;
(2)求与夹角的余弦值.
18．某景点某天接待了1250名游客,老年625人,中青年500人,少年125人,该景点为了提升服务质量,采用分层抽样从当天游客中抽取100人,以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照,,,,分成5组,制成如右频率分布直方图：
(1)求抽取的样本中,老年、中青年、少年的人数各是多少;
(2)估计当天游客满意度分值的分位数.
19．已知复数是方程的一个解.
（1）求a、b的值;
（2）若复数满足,求的最小值.
20．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求C;
(2)若,角C的平分线交AB于点D,点E满足,求.
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,O是AC与BD的交点,,,平面ABCD,,M是PD的中点.
(1)证明：平面ACM;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
22．如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,,,,四边形ABEF为正方形,平面平面ABCD,P为DF的中点,,垂足为N.
(1)求证：平面CDF;
(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值;
(3)求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：B
解析：该市场监管局的调查方法是随机抽样,A错误;
样本的个体是每种冷冻饮品的质量,B正确;
样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量,C错误;
样本容量是20,D错误,
故选：B.
2．答案：A
解析：因,有,则,
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：若复数为纯虚数,则,解得,
则,
故复数在复平面内对应的点为,在第一象限.
故选：A.
4．答案：C
解析：根据分层抽样的定义可得抽取男生7人,女生3人,
男生平均体重为,女生平均体重为,
该班的平均体重是,
故选：C.
5．答案：C
解析：,
;
,
;
,,故A的平均产量高,B的产量比较稳定.
故选：C.
6．答案：A
解析：如图所示：取CD的中点E,连接AE,BE
假设,因为为等边三角形,所以,
又因为,所以平面ABE,所以
又因为E是CD中点,所以,只需满足,即可做到,故A正确C错误;
对于B：若A在平面BCD内的射影为B,则有平面BCD,与题干矛盾,故B错误;
对于D：过C点可以做出一条直线,使得该直线垂直与平面BCD,A点只需在该直线上,
即满足平面BCD即可达到要求,故D错误.
故选：A.
7．答案：A
解析：因为,则,
所以,则,因为D是BC的中点,
所以,
又因为,所以为等边三角形,
故点A作交BD于点E,则E为BD中点,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
8．答案：C
解析：平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时,平面与面重合,
证明：设平面与面BCD所成的二面角为,二面角为,
当时,记平面截正方体所得截面为面BDEF,,,
则,
令,
因为,所以,
当时,显然平面截正方体所得截面面积最大时,
截面为面,
当时,平面截正方体所得截面为ABCD,,
所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面,
同理平面过A,时,截正方体所得截面面积最大时截面为面,
连接,AC,面与面所成锐二面角为,
因为面,面,
所以的所成角大小为二面角大小,
因为,所以面与面所成锐二面角大小为.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：A.若,,则或,故错误;
B. 若,,,则或与相交,故错误;
C.若,,,则与平行或相交,故错误;
D.若,,则,故正确;
故选：ABC.
10．答案：AC
解析：对A：根据题意,得,
所以,
解得,因为时,单调递减,
所以越小越省力,越大越费力,故A正确;
对B：由题意知的取值范围是,故B错误;
对C：因为,所以当时,,
所以,故C正确;
对D：因为,所以当时,,
所以,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AC
解析：以BC为轴,画出直观图,如图2,此时,
A正确,
以BC为轴,则此时,
则的长度范围是,
若以AB或AC为x轴,画出直观图,如图1,以AB为轴,
则,此时过点作于点D,则,
则,,
由勾股定理得：,C正确;
故选：AC.
12．答案：ABCD
解析：对A：因为,且点P在以的中点O为圆心,OA为半径的半圆上,
所以,
则,故A正确;
对B：,
则
,故B正确;
对C、D：如图,以点O为原点建立平面直角坐标系,
则,,
因为点P在以AD的中点O为圆心,OA为半径的半圆上,
所以点P的轨迹方程为,且在x轴的下半部分,
设,
则,,
所以,
因为,所以,
所以当时,取得最大值9,故C正确;
因为,
所以,
即,
所以,
所以,
因为,所以当时,取得最大值,故D正确.
故选：ABCD.
13．答案：-4
解析：,由,可得,
即有,解得.
故答案为：-4.
14．答案：05
解析：根据随机数表,排除超过33及重复的编号,第一个编号为21,第二个编号为32,第三个编号05,故选出来的第3个红色球的编号为05.
15．答案：2
解析：因为中,,
所以的外接圆半径为,
即A位于以2为半径的圆弧上,
如图,当为正三角形时,此时顶点A到BC的距离的最大值为,
如图当A位于E,F处时,此时BE,CF为外接圆直径,则,
则,满足,,BC边上的高为2,
故满足条件的的个数为2个,
故答案为：2.
16．答案：
解析：设圆柱的高为h,内壁的表面积为S,由题意可知：,解得：.
内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积,即.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）,是夹角为的单位向量,
.
（2）,是夹角为的单位向量,
,
,
.
18．答案：(1)50人,40人,10人
(2)82.5
解析：（1）老年625人,中青年500人,少年125人,
故老年、中青年、少年的人数比例为,
故抽取100人,样本中老年人数为人,
中青年人数为人,少年人数为人;
（2）设当天游客满意度分值的分位数为x,
因为,
,
所以x位于区间内,
则,解得：,
所以估计当天游客满意度分值的分位数为82.5.
19．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）依题意得,,即,
所以,解得,;
（2）由（1）可得,设,
则,,
因为,所以,整理得.
,
故当时,取得最小值.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）由条件和正弦定理得,
所以,
展开后整理得.
因为,所以,所以,
又,所以.
（2）如图所示,因为,所以,
又因为CD为的平分线,所以.
因为,所以在中,,
又,所以为等边三角形,所以.
在中,由余弦定理可得,即,
在中,由正弦定理可得,
即,得.
21．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）连接OM,
在平行四边形ABCD中,
O为AC与BD的交点,O为BD的中点,
又M为PD的中点,,
又平面ACM,平面ACM,平面ACM;
（2）取DO的中点N,连接MN,AN,
M为PD的中点,,且,
由平面ABCD,得平面ABCD,
是直线AM与平面ABCD所成的角,
,,,
在中,,
,从而,
在中,,
直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）四边形ABEF为正方形,,
四边形ABCD为平行四边形,,
,,,
,AF,平面ACF,平面ACF,
平面AFC,,
,,CF,平面CDF,平面CDF.
（2）四边形ABCD为平行四边形,,,,
,,
四边形ABEF为正方形,平面平面ABCD,平面平面, ,平面ABCD,
平面PAC,平面PAC,,
P为DF的中点,,
设,P为DF的中点,O是BD中点,,
是异面直线BF与PC所成角,
,
,,
异面直线BF与PC所成角的正切值为.
（3）平面平面ABCD,平面平面,,平面ABEF,
平面ABCD,,
三棱锥的体积：.
A种子
48
49
50
51
52
B种子
48
48
49
49
51
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76