高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,是两个不同的平面,的一个充要条件是( )
A.内有无数条直线平行于
B.存在平面,,
C.存在平面,,且
D.存在直线l,,
2．在正四面体 中, 二面角 的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则( )
A.B.C.D.
4．若一条直线与一个平面成角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
5．在正方体中,下列结论正确的是( )
A.B.平面
C.直线与所成的角为D.二面角的大小为
三、填空题
6．已知大小为的二面角的一个面内有一点,它到二面角棱的距离为2,则这个点到另一个面的距离为_________.
7．如图,在三棱锥中,底面ABC,,则这个三棱锥的四个面中,是直角三角形的个数有_____个.
四、解答题
8．正四棱锥中,,,其中O为底面中心,M为PD上靠近P的三等分点.
（1）求证:平面ACP;
（2）求四面体的体积.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,由于内有无数条直线平行于,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故A错误;
对于B,若存在平面,,,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故B错误;

对于C,存在平面,,,且,不一定得到,与也可能相交,如图所示,故C错误;
对于D,存在直线l,,,由垂直于同一直线的两个平面互相平行,可得,故D正确;
故选：D．
2．答案：B
解析：设正四面体 的棱长为 的中点为, 如图, 连接, 则, 所以 即为二面角 的平面角. 在 中, , 根据余弦定理可知.
3．答案：D
解析：如图，连接BD，，设，，
在正四棱柱中，有，，且，故平面，则平面.
连接，则即为直线与平面所成的角.
连接，易知平面，所以.又，则直线与直线所成的角即为.
设正四棱柱的底面边长为a，高为b，
则，，
所以，则，即.故选D.
4．答案：B
解析：已知直线AB是平面的斜线，A是斜足，平面，C为垂足，则直线AC是斜线AB在平面的射影.设AD是平面内的任意一条直线，且，垂足为D，又设AB与AD所成的角，与AC所成的角，平面，，由三垂线定理可得，则，，在中，，，是内的一个锐角，所以.
从上面的证明可知最小角定理，斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角，其中最大的角为，由已知中一条直线与一个平面成角，这条直线和这个平面内经过斜足的直线所成角的范围是：.故选：B.
5．答案：BCD
解析：对于A：明显四边形是矩形,但不是正方形,故其对角线不垂直,即错误,A错误;
对于B：明显,且平面,平面,故平面,B正确;
对于C：因为,则即为直线与所成的角,
又为等边三角形,所以,即直线与所成的角为,C正确;
对于D：因为面,则为二面角的平面角,又,所以二面角的大小为,D正确;
故选：BCD.
6．答案：
解析:如下图,
依据题意,设内有一点C,过C作棱的垂线,垂足B,与的夹角即为二面角,即.又因为,在中,,则有,解得.即这个点到另一个平面的距离为.
故答案为:
7．答案：4
解析:由于平面ABC,所以,,,
所以三角形PAB和三角形PAC是直角三角形.
由于,所以,三角形ABC是直角三角形.
由于,所以平面PAC,
所以,所以三角形PBC是直角三角形.
所以三棱锥四个面中,是直角三角形的个数有4个.
故答案为:4
8．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在正四棱锥中O为底面中心,连接AC,BD,
则AC与BD交于点O,且,平面ABCD,平面ABCD,
所以,又,AC,平面ACP,所以平面ACP.
（2）因为,,所以,
又M为PD上靠近P的三等分点,所以,
则.